黃小寧

（廣東 廣州510631）

“科學(xué)”共識：數(shù)學(xué)尤其是“非常成熟”的初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域絕不可有顛覆性創(chuàng)新。人類自識自然數(shù)5千年來一直認定沒最大自然數(shù);自有函數(shù)概念幾百年來數(shù)學(xué)一直認定有對應(yīng)變量y（x）=kx（正常數(shù)k≠1）且“可取一切正數(shù)”的x≥0的變域與y=kx≥0的變域相等。推翻此中學(xué)“常識、定理”的“反科學(xué)”的神話般發(fā)現(xiàn)分別來自于太淺顯的（1）幾何常識c：重合相等的圖形必全等；（2）集合起碼常識d：所謂非空數(shù)(點)集A=B是說A的元x與B的元y可一一對應(yīng)相等即有x?y=x；顯然若無人能證有x?y=x則A必≠B。

1 集合起碼常識推翻百年集論和幾百年函數(shù)“常識”——有“更無理”正數(shù)x的對應(yīng)x/2是數(shù)學(xué)以外數(shù)

D=[0，1]各元x保序變?yōu)?x組成Z≠D是因沒人能證Z各元2x與D各元x可一一對應(yīng)相等。同樣各元x≥0均有對應(yīng)數(shù)2x的無窮集A各元x≥0保序變?yōu)閥=2x組成B各元2x與A各x也不可一一對應(yīng)相等：顯然A各x只可與各2x=x+x∈B中的x一一對應(yīng)相等而不可與各（x+x）本身一一對應(yīng)相等；將各（x+x）中加號左邊的x都提取出來組成的集就是A，x+x變?yōu)閤+0.0001x≈x+0，B就≈A——說明A各x變?yōu)閗x（kffgt;0）組成B，當(dāng)且僅當(dāng)k→1時B與A趨于重合相等，這變化趨勢說明k=1時才有B與A相等。據(jù)常識d（和h定理）“A=B”是幾百年直觀錯覺。同樣任一無窮集A各元x保距變?yōu)閥=x+非0常數(shù)c組成B各元x+c與A各x也不可一一對應(yīng)相等；...。

h定理：可形象化為無窮點集的無窮數(shù)集A=B的必要條件之一：A各元x到0的距離|x|=|y|（B各元y到0的距離）即y=±x。

證2（證1見[1]）：集隨元的變換而變換。任兩無窮集A與B（可=A），B可看成是由A的元的變換而變來的，例A=｛1，2｝中的1變?yōu)?，2變?yōu)橐粚?shù)：7和9，A就變換為B=｛3，7，9｝；...。點集B可看成是由點集A的元的變換而變來的，顯然若A=B則變換必是保距變換即必有A≌B,因相等的點集（圖形）必全等；也就是說A變?yōu)锽=A不一定是恒等變換，但一定是保距變換。這說明有：A（B）中任兩異元x與x+△x（y與y+△y）之間的距離是變量|△x|(|△y|)，顯然若A與B是同一集則|△x|與|△y|必是同一變量即|△y|=|△x|，△y=±△x。而變量y=±x和y=±x+非0常數(shù)c時才可有△y=±△x，而各x與各對應(yīng)y=±x+c是不可一一對應(yīng)相等的。證畢。

L=[0，2]=D∪（1，2]的一部分D=[0，1]各元x保序變?yōu)閥=2x∈L組成Z～（對等于）D，L各元x≥0到0的距離x-0=x≥0與Z各元2x≥0到0的距離2x≥0不是同一關(guān)于x的距離函數(shù)，據(jù)h定理Z≠L。數(shù)學(xué)幾百年來一直認定Z=L而將兩異集誤為同一集——使康脫誤以為D～L。其實無人能證Z與L的元可一一對應(yīng)相等就足已說明Z≠L。

L內(nèi)滿足y=2x（x=y/2∈D）的元y的全體組成了Z。包含Z的L≠Z說明Z～D與D一樣只是L的真子集——表明L內(nèi)還有無窮多用而不知的不可納入Z的“更無理”數(shù)x=x0無對應(yīng)數(shù)x0/2∈D，顯然若x0/2是正數(shù)則其是數(shù)學(xué)以外的數(shù)，詳論見[1];其實不必害怕使用這類數(shù)，如使用虛數(shù)可求出實數(shù)一樣，使用數(shù)學(xué)以外的數(shù)進行推理同樣能得正確的數(shù)學(xué)內(nèi)的數(shù)。但限于篇幅本文無法詳談。文[1]由h定理證明L有最小正數(shù)元x=0′使其對應(yīng)數(shù)x/2等是數(shù)學(xué)以外的另類正數(shù)，正如比普朗克長度短的非0長度是物理學(xué)外的長度一樣。否認這類“更無理”數(shù)使現(xiàn)有數(shù)學(xué)出現(xiàn)違反真正數(shù)學(xué)常識的重大自相矛盾。

R?V=[0，1]各元x的對應(yīng)數(shù)y=x2的全體組成J，據(jù)h定理J≠V（V各元x的絕對值是x本身，J各元y=x2的絕對值是x2。）即定義域是V的y=x2的值域J≠V。同理定義域是V的y=x3、y=x4、...的值域均≠V；自有變域概念幾百年來數(shù)學(xué)一直搞錯了y（x）的值域而將兩異集誤為同一集。用h定理檢驗知課本上類似這樣將兩異集誤為同一集的錯誤比比皆是，例R+各元xffgt;0的對應(yīng)數(shù)y=kx（或=x2ffgt;0等等）（正常數(shù)k≠1）ffgt;0的全體組成W，據(jù)h定理W≠R+。...。真正建立在此重大錯誤之上的理論必是錯上加錯的更重大錯誤，不及時糾正會使人在錯誤的泥坑里越陷越深以致無力自拔。

2 函數(shù)常識凸顯二千多年初等幾何有重大錯誤

只有追根究底地說到肉眼不可見的“點子”上才能對圖形的認識提高到知其所以然的科學(xué)程度。有在分子水平上的分子生物學(xué),也應(yīng)有在“點子”水平上的數(shù)學(xué)。然而“圖形被放大了，但組成圖形的點卻沒增加也沒被‘拉扯’大”——這顯然不合科學(xué)常理。這背后一定隱藏有重大數(shù)學(xué)奧秘。這反映幾何學(xué)還不能真正成功地在“點子”水平上來認識與解釋圖形變化。應(yīng)有幾何科學(xué)常識：元點與圖形的關(guān)系：若各點沒移動就沒圖形的整體移動，若各點沒被放大、變形等（點的多少沒變）就沒圖形的整體被放大、變形等。

初等幾何一直認定形狀與大小相同的圖形必可通過平移等而重合使兩圖的點一一對應(yīng)重合相等。其實這是肉眼直觀錯覺。

按“橡皮幾何學(xué)”觀點R2面可看成是橡皮面而可彈性伸縮。兩重合相等的點（集）稱為二重點（集）。兩相等的復(fù)平面z=x+yi成二重點集（由一對對二重點（z，z）組成），其中一平面z伸展成平面2z疊壓在另一平面z上。顯然平面2z≠平面z,正如直線y=x≠直線y=2x一樣。理由：①函數(shù)常識e：滿足某函數(shù)關(guān)系式的點的全體形成某圖形T，T隨關(guān)系式的改變而改變例關(guān)系式y(tǒng)=x變?yōu)閥=2x，相應(yīng)的直線y=x也變?yōu)閥=2x。函數(shù)關(guān)系f與函數(shù)關(guān)系f′分別決定的兩圖形T與T′疊壓在一起（肉眼）看起來似二重點集。由T、T′是分別滿足f、f′的點t∈T與點t′∈T′的全體組成的圖知：若T=T′則f必=f′，若f≠f′則T必≠T′。否則就不合邏輯了,因若T=T′則兩圖各自的組成成員（點t、t′）與組織結(jié)構(gòu)是完全相同的。因變域為R×R的z與2z不是同一關(guān)于z的函數(shù)（f（2z）=2z是關(guān)于2z的函數(shù)）故它們的圖形：平面z（滿足x、y∈R的點z=x+yi的全體組成的平面）與平面2z，也必非同一平面。緣于它們的組成成員不同：z面由點z組成，而2z面由點2z組成。②二重點集中的z?z′=z中的z′變?yōu)?2z使z?z′=z變?yōu)閦?z′=2z就無人能證點z′=2z與點z能一一對應(yīng)重合相等了。③伸縮變換是非保距變換，此類變換前后的點集不全等，當(dāng)然就更不相等。

平面z有圓盤A：|z|≤1以及包含A的圓盤B：|z|≤2。A各點z變?yōu)辄c2z∈平面2z使A伸展成元是點2z的圓盤B′：|2z|=2|z|≤2疊壓在B上（讀者可作圖），數(shù)學(xué)一直認定B′（～A）=B。其實這是違反函數(shù)常識e從而使數(shù)學(xué)自相矛盾的肉眼直觀錯覺。理由：①因|z|≤2與|2z|≤2不是同一關(guān)于z的函數(shù)故據(jù)常識e它們的圖形：圓盤B與B′也必非同一圖形。②無人能證B各點z與B′各點2z能一一對應(yīng)相等。③B各點z到點z=0的距離是ρ1（z）=|z|≤2,B′各點2z到點2z=z=0的距離是ρ2（z）=|2z|=2|z|≤2;顯然若B與B′是同一圓盤則ρ1與ρ2必是同一變量，故由ρ1與ρ2不是同一函數(shù)推知B′≠B。

同理可證平面z的子部直線z=x+xi=x（1+i）伸展成直線2z疊壓在原直線z上是≠直線z的,直線2z不是平面z的子部。詳論見[1]。

文[1]證明產(chǎn)生上述重大錯誤的最根本原因是二千多年的“點無大小”公理使書中“無窮點集”確是如朱梧槚、肖奚安、杜國平、宮寧生4位數(shù)學(xué)家所說“是自相矛盾的非集[2]”（“沒大小的點可聚集成有大小的圖形”顯然是自相矛盾概念），其實點有大小，直線也有因元點變長（短）的伸縮變換——這是“化學(xué)變化”：改變了組成線的“分子”。將“分子”點不同的線混為一談就如將棉線誤為銅線那樣是根本錯誤。而平面是直線的集合。文[1]證明了圓盤A各點z均膨脹變大為點2z∈平面2z才使A伸展成元是點2z的圓盤B′——B′各點2z均非組成平面z的元點，正如照相館將相片放大為原來的2倍的原因是將相片的像素點均放大為原來的2倍一樣。不明此真相使人們誤以為“圖形的部分點可與全部點一樣多”。但限于篇幅本文無法詳談。

3 人類由認識自然數(shù)到發(fā)現(xiàn){1，2，...，n，...}有末項竟須歷時5千多年

x軸一切非負元點x≥0組成的射線x≥0記為A。中學(xué)生就須研究定義域為A的X=x+1的值域=？去掉A的子部線段[0，1）就得A的子部：射線x≥1，記其為B（元是點x≥1）；A各元點x≥0沿x軸正向平移距離1成為點X=x+1生成元是點X的射線X=x+1≥1，記其為B′。中學(xué)數(shù)學(xué)一直認定B′=B（即認定定義域為A的X=x+1的值域B′=B）。其實這是重大錯誤。B′疊壓在B上（讀者可作圖）使兩者看似成二重點集，B各元點x≥1到點x=0的距離是ρ3（x）=x-0≥1,B′各元點X=x+1≥1到點x=0的距離是ρ4（x）=X=x+1(x≥0)≥1;顯然若B′與B是同一射線則ρ3與ρ4必是同一變量，故由ρ3=x≥1與ρ4=X=x+1(x≥0)≥1不是同一函數(shù)（畫出兩函數(shù)的二維圖像立刻看出兩圖不是二重點集）推知B′≠B。平面z(可平移成平面z+1)的射線z=x≥0沿x軸正向平移距離1成射線z+1=x+1≥1（疊壓在射線z=x≥1上）與射線z=x≥1顯然不相等(z+1≥1與z≥1顯然不是同一關(guān)于z的函數(shù))，中學(xué)一直將這兩異線誤為同一線。

同理可證射線z=x≥0伸縮為射線kz=kx（正常數(shù)k≠1）≥0(疊壓在射線z=x≥0上)是≠射線z=x≥0的,中學(xué)一直將無窮多各異線誤為同一線：射線z=x≥0。同理可證x軸可伸縮平移成X=kx+b軸(疊壓在x軸上)≠x軸，其中實常數(shù)kffgt;0是伸縮因子，b≠0是平移因子；X（x）軸是由無窮多實數(shù)軸組成的一族實數(shù)軸中的一元軸；“X軸與x軸重合”是中學(xué)解析幾何的直觀錯覺，是搞錯X=kx+b的值域的以井代天錯誤。

x軸上的自然數(shù)點序列N={0，1，2，...，n，...}各點n≥0均沿x軸正向平移距離1成為點n的后繼點y=n+1ffgt;n生成后繼點序列H={1，2，...，n+1，...}(n≥0)～N,數(shù)學(xué)一直認定H=N的子部H′={1，2，...，n≥1,...};其實這是重大錯誤。H′各點n≥1到點n=0的距離是ρ5（n）=n≥1,H各點n+1(n≥0)到點n=0的距離是ρ6（n）=n+1(n≥0);顯然若H′與H是同一點列則ρ5與ρ6必是同一變量;故由ρ5=n≥1與ρ6=n+1(n≥0)不是同一函數(shù)（畫出兩函數(shù)的二維圖像立刻...）推知H′≠H。因H′各點n≥1都是點n-1∈N的后繼點n∈后繼點序列H，故H包含H′。包含H′的H≠H′說明H中必至少有一H′外的正整數(shù)點y0=n0+1ffgt;n0∈N，顯然n0是數(shù)列N的最大數(shù)Ω——其后繼n0+1=Ω+1是H′外即N外數(shù)。若數(shù)列N由一切自然數(shù)組成則Ω+1等是超自然數(shù)。

5千年數(shù)學(xué)一直不知H={1，2，...，n+1，...}(n的變域是N)中“深藏”有數(shù)列N外數(shù)從而一直誤以為其是N的子部H′。所以給H增添新首項0得

與N似是而非。人類由認識自然數(shù)到發(fā)現(xiàn)此推翻百年自然數(shù)公理的假N竟須歷時5千多年！發(fā)現(xiàn)的異常艱難性由此可見一斑。但其實y=n+1ffgt;n=0,1，2，…（數(shù)列N）一目了然地表達y必可ffgt;N的一切n,因式中n可一個不漏地遍取N一切數(shù)n使代表后繼數(shù)的y必可一個不漏地遍比N一切n都大而代表（?。㎞外數(shù)。但為了考試人們不得不扼殺自己的正常思維能力。這是個“光身皇帝”是否光身的問題。語文常識表明“對R+從小到大一個不漏的每一元x（全稱量詞）都有同屬R+的對應(yīng)數(shù)y=x+1ffgt;xffgt;0”是病句：R+至少有一數(shù)yffgt;R+一切元x；y=x+1ffgt;xffgt;0表示y必可ffgt;x的變域R+一切元x而取R+外正數(shù)?？梢姇小皩臃ǚ忾]”的“R軸”確是如朱梧槚等4位數(shù)學(xué)家所說“是自相矛盾的非集”。以非集為集的理論必是錯上加錯的更重大錯誤。

所以中學(xué)幾百年“定義域均為N的無窮多函數(shù)y（n）=n+k（k=1，2，…）及=kn，…所能取的值y都∈N”是一系列搞錯y的變域的重大錯誤而將無窮多根本不是N的一部分的集誤為其一部分。

5千年數(shù)學(xué)一直不識Ω和其它無窮大自然數(shù)Ω-1（相應(yīng)有無窮數(shù)列0，1，2，...，Ω-1）等使初等數(shù)學(xué)對無窮數(shù)列的認識一直存在極重大缺陷與錯誤：將無窮多各異數(shù)列誤為同一數(shù)列。據(jù)h定理等也得上述各結(jié)論。詳論見[1][3][4][5]。

4 結(jié)束語

育人課本一系列重大根本錯誤能否及時糾正與每一人的切身利益息息相關(guān)。有了“測距儀”使人一下子測知有后繼點n+1ffgt;n突破了N的“框框”而遠在N={n}外。深入到“點”這一層次上來看問題使人一下子洞察到被舉世公認二千多年的“圓盤B=B′”其實是直觀錯覺。真正站在前人肩膀上的人必能見前人所不能見。停留在“肉眼”階段的數(shù)學(xué)認識就不能消除上述違反常識c、d、e的重大自相矛盾。學(xué)習(xí)前人知識是為了見前人所不能見以創(chuàng)造前所未有的知識（杰出人才的特征），而非為了簡單重復(fù)前人認識和應(yīng)付考試。應(yīng)試教育摧殘人的智力與學(xué)力。有過人科學(xué)洞察力的錢學(xué)森與眾不同地清醒認為應(yīng)試教育和有關(guān)科研方面的思想路線（例“外國科學(xué)家都未能有此發(fā)現(xiàn)，中國人就更不能有此發(fā)現(xiàn)?！保?、方針政策上的問題使中國總“冒”不出杰出人才，錢老對此十分焦慮，熱切希望能盡早改變此現(xiàn)狀。

［1］黃小寧.著名數(shù)學(xué)家朱梧槚的發(fā)現(xiàn)揭示課本有一系列重大錯誤——發(fā)現(xiàn)最小、大正數(shù)推翻百年集論破解2500年芝諾著名世界難題[J].科技視界,2014(10).

［2］朱梧槚,肖奚安,杜國平,宮寧生.關(guān)于無窮集合概念的不相容性問題的研究[J].南京郵電大學(xué)學(xué)報：自然版,2006(6).

［3］黃小寧.數(shù)學(xué)課本一系列重大錯誤使康脫誤入百年歧途——讓“深藏”5千年的最大自然數(shù)一下子暴露出來[J].科技視界,2013(31).

［4］黃小寧.證明數(shù)偶集{(1,2)(3,4)...(2n-1,2n)...}有最大數(shù)元——反復(fù)論證集有奇、偶型之分糾正課本重大錯誤[J].科技視界,2014(24).

［5］黃小寧.中學(xué)極重大根本錯誤：無窮數(shù)列必?zé)o末項——“一對一”常識推翻五千年科學(xué)“常識”：無最大自然數(shù)[J].科技信息,2011(1).