譚高山，汪忠志

（安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山234002）

線性代數(shù)課程內(nèi)容主要涉及行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型等六大板塊。目前大部分教材把線性方程組與其他內(nèi)容割裂開來，作為單獨(dú)的一部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)。雖然學(xué)生反映線性代數(shù)比高等數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)等其它課程容易學(xué)，但對(duì)知識(shí)的掌握停留在記概念、性質(zhì)、公式及其相關(guān)計(jì)算的層面上，仍以做練習(xí)題為主要手段。這就導(dǎo)致知識(shí)枯燥抽象，學(xué)生不能理解相關(guān)概念和理論之間的內(nèi)在聯(lián)系，更無法應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題，因此很難激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。線性方程組是整個(gè)代數(shù)理論重要的研究對(duì)象和研究工具，與其它知識(shí)板塊緊密聯(lián)系。其它知識(shí)為方程組理論及其求解提供有力的支持，線性方程組也為它們提供應(yīng)用背景，降低抽象性，并為相關(guān)問題提供方程求解策略。另外，作為科學(xué)研究和工程實(shí)際中廣泛存在的模型，方程組的求解至關(guān)重要，在教學(xué)中要對(duì)方程組AX＝b的求解進(jìn)行完備。

一、線性代數(shù)課程與教材分析

長期以來我國主流的線性代數(shù)教材絕大多數(shù)屬于傳統(tǒng)的“塊狀”體系，課程的內(nèi)容基本包括以下部分：

行列式－矩陣－線性方程組－相似矩陣與矩陣對(duì)角化－二次型。這似乎已經(jīng)成為眾多教材體系的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式。自然，不同教材前三章的安排次序也有互異，例如：有的教材矩陣在前，有的則方程組在前，等等。在這種塊狀結(jié)構(gòu)下線性代數(shù)教學(xué)的情形并不像微積分那樣有一條清晰的主線－極限。擺在學(xué)生面前的每一個(gè)“塊”行列式、矩陣、線性方程組、特征值、二次型等等，仿佛都是一個(gè)孤立的“山包”，登上一個(gè)并不意味著就能順利通向另一個(gè)。學(xué)生似乎總是遇到一個(gè)個(gè)陌生的面孔，還得從頭認(rèn)識(shí)、熟悉起來。由此看來，線性代數(shù)之所以難教、難學(xué)，在很大程度上正是源于它的這種塊狀結(jié)構(gòu)。在多年的教學(xué)實(shí)踐中，我們逐步摸索出一條以線性方程組為主線的教學(xué)模式，以此為核心貫穿整個(gè)教學(xué)過程，不僅脈絡(luò)分明，而且簡捷明了。

二、線性方程組在線性代數(shù)發(fā)展中的地位

線性代數(shù)起源于線性方程組的求解。早在中國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中對(duì)此就有比較完整的論述，其方法本質(zhì)上就是對(duì)方程組的增廣矩陣實(shí)施初等變換以消去未知量的方法，即高斯消元法。17世紀(jì)后期萊布尼茨就已開展線性方程組的研究，他曾研究具有兩個(gè)未知量的三個(gè)線性方程組成的方程組的求解問題。對(duì)線性方程組的研究無疑促成了行列式和矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展。行列式概念第一次在西方出現(xiàn)，是1693年在萊布尼茨給洛必達(dá)的一系列信中出現(xiàn)的，據(jù)此，萊布尼茨得到了發(fā)明行列式的榮譽(yù)。然而，1683年在日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和（被譽(yù)為“算圣”、“日本的牛頓”）的著作《解伏題元法》中就有了行列式的概念。1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆在其著作《線性代數(shù)分析導(dǎo)引》中，對(duì)行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們稱之為解線性方程組的克萊姆法則。行列式在18世紀(jì)已成為獨(dú)立的數(shù)學(xué)課題，但并未形成統(tǒng)一的理論，符號(hào)記法也沒有能得到很好的規(guī)范。稍后，數(shù)學(xué)家Bezout（1730～1783）將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線性方程組有非零解。

19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家史密斯和道奇森在研究線性方程組理論的基礎(chǔ)上，分別引進(jìn)了線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的概念，證明了線性方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等，這是現(xiàn)代方程組理論中的核心成果之一?，F(xiàn)在我們講解線性方程組求解問題正是通過對(duì)增廣矩陣施行初等行變換來進(jìn)行的。

三、線性方程組與線性代數(shù)相關(guān)理論的內(nèi)在聯(lián)系

某種程度上，線性代數(shù)是研究線性方程組求解的科學(xué)。目前大部分線性代數(shù)教材以行列式、矩陣展開教學(xué)，這樣知識(shí)結(jié)構(gòu)比較“干凈”，教學(xué)也容易進(jìn)行。但是學(xué)生不能掌握知識(shí)內(nèi)在的邏輯關(guān)系，在學(xué)時(shí)普遍緊張的情況下，教師只能照本宣科，學(xué)生只能死記硬背，照搬照抄應(yīng)付考試。以線性方程組為主線的線性代數(shù)教學(xué)［1］是一種有益的教學(xué)嘗試。線性代數(shù)主要內(nèi)容與線性方程組聯(lián)系緊密，相互依存，相互發(fā)展。下面我們分述之：

（一）矩陣、行列式和向量為方程組理論及其求解提供有力的支撐

1．線性方程組與矩陣。低階方程組可以直接用方程組的形式表示，但實(shí)際問題往往具有多個(gè)未知量，方程的階數(shù)很高，有時(shí)甚至成千上萬。因此有必要借助矩陣來表示和求解方程組。抽去線性方程組中的未知量與運(yùn)算，即是線性方程組的矩陣表示。

2．線性方程組與初等變換、矩陣的秩。初等變換求解線性方程組就是去掉多余的方程，并得到方程組的標(biāo)準(zhǔn)等價(jià)形式。矩陣行階梯型的非零行行數(shù)即獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)，也等于增廣矩陣的秩。增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩相等時(shí)，方程組才有解。

3．線性方程組與行列式、克萊姆法則。對(duì)于有n個(gè)未知量、n個(gè)方程的特殊方程組，當(dāng)系數(shù)行列式不為零時(shí)，可用克萊姆法則求解，需要計(jì)算n＋1個(gè)n階行列式。

4．線性方程組與向量組的線性表出、線性相關(guān)性以及極大無關(guān)組。方程組右端向量可由系數(shù)列向量組線性表出等價(jià)于方程組有解，且表出系數(shù)即方程組的解。向量組線性相關(guān)（無關(guān)），對(duì)應(yīng)線性方程組有（無）非零解。利用解向量組的極大無關(guān)組可以表示方程組的解空間。

（二）方程組為相關(guān)概念和理論提供實(shí)例解釋，便于抽象理論的理解和掌握

線性代數(shù)一般開設(shè)在大一下學(xué)期，這個(gè)時(shí)期的學(xué)生思維還是以具體形象思維為主，不習(xí)慣在一門課中短時(shí)間接觸這么多抽象的數(shù)學(xué)研究對(duì)象，因此教學(xué)中要能夠讓這些抽象的概念“落地”，要形象，要能夠落實(shí)到計(jì)算中去。教材中，矩陣的秩定義為矩陣的最高階非零子式的階數(shù)或者標(biāo)準(zhǔn)型的非零行數(shù)，抽象難懂，特別是前一種定義可操作性很差。教學(xué)中結(jié)合線性方程組，指出矩陣的秩就是真正的方程的個(gè)數(shù)，一些“假”的方程，可以通過方程的等價(jià)變換，也就是行初等變換消去，這樣一來矩陣秩的概念變得易于理解。這種直觀介紹概念的教學(xué)策略使抽象概念變得具體明了。再如，線性無關(guān)等價(jià)于對(duì)應(yīng)齊次線性方程組只有零解，也就是任何一個(gè)向量都沒辦法用其他向量線性表出，所以向量彼此“無關(guān)”，同樣的辦法可以解釋向量線性相關(guān)的概念。這是一種概念形象化、具體化策略。另外，矩陣逆的定義AB＝E更加抽象難懂，教學(xué)中經(jīng)常會(huì)碰到有的學(xué)生甚至不知道矩陣的逆仍然是個(gè)矩陣。從方程求解入手，對(duì)于AX＝b和XA＝b，啟發(fā)學(xué)生利用一元一次方程ax＝b（a≠0）的求解思想 （方程左右同時(shí)乘以1／a，消去等式左邊的a）在方程組兩邊同乘以一個(gè)矩陣使得方程組左邊為X，右邊即得方程解，所以有矩陣B滿足BA＝E和BA＝E，從而引入矩陣逆的概念。類比法使得抽象難懂的概念與已有知識(shí)建立關(guān)聯(lián)，可以形成知識(shí)的遷移，當(dāng)然也要注意負(fù)遷移。

綜上，線性方程組理論貫穿整個(gè)線性代數(shù)，因此在教學(xué)中要注意抓住線性方程組這條主線。這樣既可系統(tǒng)全面地研究線性方程組，又可清晰明了地學(xué)習(xí)矩陣、向量、行列式等知識(shí)。我們認(rèn)為如下教學(xué)內(nèi)容的講授順序比較合理：首先引入線性方程組，然后講矩陣、初等變換、矩陣的逆、矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型，并由標(biāo)準(zhǔn)型定義矩陣的秩；接著介紹行列式；然后講授向量組、線性表出、線性相關(guān)性、極大無關(guān)組；繼而再完善解空間理論；最后是特征值與特征向量。如果學(xué)時(shí)較多可講授二次型。

四、以線性方程組理論貫穿線性代數(shù)教學(xué)

線性方程組不僅是線性代數(shù)的研究對(duì)象，也是線性代數(shù)處理問題的基本工具?！叭巳藶槲?，我為人人”的這種和諧關(guān)系在線性代數(shù)里得以完美體現(xiàn)。下面分述方程組在線性代數(shù)教學(xué)中的若干應(yīng)用。

（一）利用線性方程組理論求解特征值并通過解方程計(jì)算屬于某一特征值的特征向量

由特征值和特征向量的定義知，矩陣A的屬于特征值λ的特征向量X滿足AX＝λX，其中X≠0，即（λE－A）X＝0有非零解，由齊次線性方程組解的理論，知│λE－A│＝0，由此可得特征值，將某一特征值代入方程求非零解即得屬于該特征值的特征向量。這是方程組在線性代數(shù)中最直接、最重要的應(yīng)用。

（二）利用系數(shù)行列式（不）為零時(shí)方程組（沒）有非零解證明向量相關(guān)性問題

利用齊次方程組的解進(jìn)行判定向量組的線性相關(guān)性是相關(guān)性定義的具體化，判定更容易實(shí)施。下面舉例說明之。

例1：設(shè)S是實(shí)數(shù)域上的函數(shù)空間，討論線性空間S中函數(shù)x2，x，1的線性相關(guān)性。

解：設(shè)k1x2＋k2x＋k3＝0，其中ki（i＝1，2，3）為實(shí)數(shù)，要想得到x2，x，1的線性相關(guān)性，只要研究ki（i＝1，2，3）的取值情況，對(duì)x求一階、二階導(dǎo)數(shù)，得到方程組

這是關(guān)于未知量k1，k2，k3的線性方程組，系數(shù)行列式不為0，故只有零解，x2，x，1線性無關(guān)。

在證明一組變量全為零時(shí)，可以構(gòu)造以這組變量為未知量的線性方程組，并證明方程組只有零解。

例2：已知fi（x）（i＝1，2，3，4）是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且滿足下列整除

x4＋x3＋x2＋x＋1│（x3f1（x5）＋x2f2（x5）＋xf3（x5）＋f4（x5））

證明：f1（1）＝f2（1）＝f3（1）＝f4（1）≡0。

證：設(shè)x滿足x5＝1，則五個(gè)不同根分別為ε1＝ε，ε2＝ε2，ε3＝ε3，ε4＝ε4，ε5＝1，由假設(shè)得

方程組系數(shù)行列式是一個(gè)范德蒙行列式，由于行列式不為零，故只有零解，結(jié)論得證。［2］

分析以上兩個(gè)例題，很容易想到利用齊次線性方程組解的理論可以證明有關(guān)未知量全零或者不全為零的問題。

（三）利用方程組解的情況證明矩陣秩的關(guān)系

由于矩陣秩的概念非常抽象，實(shí)際計(jì)算也不好操作，所以關(guān)于秩的證明題比較難。線性方程組的解與系數(shù)矩陣、增廣矩陣的秩密切相關(guān)。設(shè)系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩是r，則解空間的維數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)減去r。

例3：證明r（ATA）＝r（A）．

證：設(shè)X（＊）是 AX＝0的解，即 AX（＊）＝0，等式兩邊左乘AT，得到ATAX（＊）＝0，故X（＊）也是方程 ATAX＝0的解；設(shè)X（＊）是 ATAX＝0的解，則 ATAX（＊）＝0，左邊乘以（X（＊））T，得（X（＊））TATAX（＊）＝0，即（AX（＊））T（AX（＊））＝0，則AX（＊）＝0，即X（＊）是 AX＝0的解。因此AX＝0和ATAX＝0同解，兩方程組的解空間維數(shù)相同，因此系數(shù)矩陣秩相同，故r（ATA）＝r（A）。［3］

例4：設(shè)A∈Rm×n，B∈Rn×S，且AB＝0，則r（A）＋r（B）≤n。

證：記B＝（β1，L，βs），則 Aβi＝0（i＝1，L，s），因此βi屬于AX＝0的解空間，故r（B）≤n－r（A），即r（A）＋r（B）≤n。

由以上兩個(gè)例題可知，線性方程組系數(shù)矩陣的秩、解空間維數(shù)和未知量個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是證明秩的有力工具。

（四）待定系數(shù)法求解未知量

待定系數(shù)法是一種求未知量的方法，它是解決許多問題最容易想到和理解的辦法。先設(shè)未知量，然后找到未知量滿足的方程組，如果方程組又恰好是線性的，解之。對(duì)于線性方程組的這一應(yīng)用，大一的學(xué)生應(yīng)該非常熟悉，中學(xué)有三點(diǎn)確定一條拋物線的題目。通過低階線性方程組把線性代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)相聯(lián)系。教學(xué)中可從學(xué)生熟悉的三點(diǎn)確定拋物線引入線性方程組的這一應(yīng)用，讓學(xué)生歸納總結(jié)待定系數(shù)法這一重要數(shù)學(xué)思想在線性方程組輔助下的實(shí)施，從而提高學(xué)生處理線性問題的能力。

例5：在R3中按通常內(nèi)積定義求一單位向量與兩個(gè)向量（1，1，－1），（1，－1，－1）正交。

解：設(shè)所求向量為（x1，x2，x3），由正交向量內(nèi)積為零得：

方程組系數(shù)矩陣秩為2，有無窮多解（c，0，c），其中單位向量即為所求。

線性方程組的應(yīng)用十分廣泛，引導(dǎo)學(xué)生利用線性方程組求解問題，不僅豐富了線性代數(shù)解題技巧，還可以提高學(xué)生解決問題的能力，使學(xué)生體會(huì)到學(xué)以致用的樂趣，并激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

五、線性方程組的求解策略

線性方程組廣泛存在于科學(xué)研究和工程實(shí)際中，其教學(xué)要面向應(yīng)用，滿足專業(yè)需要。因此方程組求解是一個(gè)值得研究的問題。這一問題的處理可以采用探討式教學(xué)方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與問題解決的積極性，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所需要講授的課題進(jìn)行探索、討論，從而培養(yǎng)學(xué)生的思考能力和協(xié)作精神。這種教學(xué)方式能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲望和創(chuàng)新潛能，燃起創(chuàng)新激情?？傊?，探討式教學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生親自參加探索、研究和實(shí)踐，在這個(gè)過程中學(xué)生可以提高自身發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，還可能感受到知識(shí)所賦予的快樂，從而提高學(xué)習(xí)興趣。

方程組的解的情況有三種：唯一解、無窮多解和無解，目前線性代數(shù)教材只研究了前兩者的初等變換求解方法，特別地，唯一解情形也可以用克萊姆法則求解。教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)線性方程組的求解進(jìn)行全面分析和探討。

（一）有唯一解的方程組求解

這類方程可以用求逆法、初等變換法、克萊姆法則和矩陣分解法求解，也可借用Excel的函數(shù)功能求解。［4］求逆法X＝A－1b中，若 A－1用初等變換求解，則求逆法與初等變化法一致；若A－1用公式法求解，則求逆法與克萊姆法則一致。Excel法本質(zhì)上是初等變換。教學(xué)中可以利用軟件實(shí)現(xiàn)方程組的求解方法，讓學(xué)生體會(huì)方程求解的樂趣。有唯一解的大規(guī)模方程組常采用迭代法求數(shù)值解，迭代法屬于數(shù)值計(jì)算的范疇，適當(dāng)指出可以對(duì)高階線性方程組的求解給出一個(gè)出路，也是滿足工科后續(xù)課程的需要。

（二）矛盾方程求解

方程個(gè)數(shù)遠(yuǎn)多于未知量個(gè)數(shù)的情況在工程中非常普遍，可以利用創(chuàng)設(shè)情境法讓學(xué)生求多點(diǎn)確定的直線。雖然按照線性代數(shù)理論，這類方程組無精確解，但可求其最小二乘解，可以利用微分法解決線性方程組的求解問題，這樣學(xué)生可以建立不同學(xué)科之間的聯(lián)系。當(dāng)然也可從代數(shù)的角度推導(dǎo)ATAX＝ATb或者直接用奇異值分解法求解。

（三）有多個(gè)解的方程組求解

當(dāng)方程個(gè)數(shù)不足以唯一確定未知量時(shí)，方程有多個(gè)解，此時(shí)可用初等變換法求解。

一些線性方程組也可用優(yōu)化方法求解，如用牛頓法求解方程平方和最小等。線性方程組的求解策略的完備對(duì)于提高學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)造能力具有重要意義。使線性代數(shù)從一門由零散知識(shí)點(diǎn)堆積的抽象課程變成了實(shí)用的工具。

線性代數(shù)是理工科院校三大重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之一，是科學(xué)研究和工程實(shí)踐的重要對(duì)象，其重要性自不待言。我們在線性代數(shù)教學(xué)中要著力注重線性方程組的主導(dǎo)地位，使學(xué)生牢牢掌握線性方程組這一知識(shí)點(diǎn)，以線性方程組為主線來學(xué)習(xí)行列式、矩陣、秩以及二次型等相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生利用線性代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

［1］ 施武杰，戴桂生．高等代數(shù)［M］．北京：高等教育出版社，2005．

［2］ 楊成．線性方程組理論的妙用［J］．中國民航飛行學(xué)院學(xué)報(bào)，2000（1）：45－47．

［3］ 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)（第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［4］ 張戰(zhàn)軍．用Excel求解線性方程組［J］．鄭州輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，21（3）：71－73．

［5］ 線性代數(shù)發(fā)展史［EB／OL］．Http：／／baike．baidu．com／view／1347143．htm．

［6］ David C．Lay．Linear Algebra and Its Applications［M］．北京：電子工業(yè)出版社，2010．