施純長(zhǎng)

[內(nèi)容摘要]平移是初中數(shù)學(xué)幾何變換的常用方法之一，它是圖形的一種變換，在這種變換中圖形的形狀和大小都不改變（不變性），只是改變了圖形的位置（改變性）。利用平移的不變性和改變性，對(duì)解決零散圖形的求值問題特別有效，利用平移的思想可以把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在幾何問題中有著廣泛應(yīng)用，同樣也是中考的熱點(diǎn)。

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué);平移;運(yùn)用;證明

平移是將幾何圖形中的各頂點(diǎn)沿它們所在的一組平行線向同一方向移動(dòng)相同的距離，這種幾何變換的方法叫平移變換。平移變換有如下性質(zhì)：平移后的圖形與原來圖形連結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或在同一條直線上）且相等;對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等;對(duì)應(yīng)角相等;圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化。平移變換只改變圖形的位置，而不改變圖形的大小和特征，但是它可以將線段和角平移到一個(gè)新的位置，從而把比較分散的已知條件集中到一起，使問題得以解決。平移包括以下三個(gè)方面的應(yīng)用：第一，集中分散的條件;第二，將復(fù)雜圖形變得簡(jiǎn)單明了;第三，轉(zhuǎn)換題目的形式。下面筆者通過具體的例題來說明平移思想在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用。

一、平移在三角形相關(guān)題目運(yùn)算和證明中的運(yùn)用

1.利用平移證明角之間的關(guān)系

例：已知三角形ABC，利用平移說明∠A+∠B+∠C=180°。

分析：如圖，將AB平移到CD，并將BC延長(zhǎng)，得到∠B=∠DCE，∠A=∠ACD，即∠A+∠B+∠C=∠ACD+∠DCE+∠ACB=180°。

2.利用平移求三角形邊長(zhǎng)

例：如圖為某樓梯，測(cè)得樓梯的長(zhǎng)為5米，高3米，計(jì)劃在樓梯的表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要多少米？

分析：由勾股定理可知AC= =4m，將樓梯平行于BC的邊都平移到BC上，平行于AC的邊都平移到AC上，因此地毯的長(zhǎng)度等于AC+BC=7米。

二、平移在梯形相關(guān)題目運(yùn)算和證明中的運(yùn)用

初中階段在學(xué)習(xí)與梯形有關(guān)的幾何證明和運(yùn)算中，平移思想的運(yùn)用幾乎涵蓋了大半題型，因此這也成為我們?cè)谥v授與梯形有關(guān)內(nèi)容時(shí)必須重視的地方。

1.平移一腰或兩腰

平移一腰或兩腰時(shí)，注意把握以下要領(lǐng)：平移一腰，使之經(jīng)過梯形的另一個(gè)頂點(diǎn)或另一條腰的中點(diǎn);或者同時(shí)移動(dòng)兩腰使它們交于一點(diǎn)。

例：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

分析：過點(diǎn)E分別作EH∥AB、EG∥CD，分別交BC于H、G。

由于EH∥AB、AD∥BC，從而四邊形ABHE是平行四邊形，同理可得四邊形CDEG是平行四邊形，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到EH=EG，推導(dǎo)得出四邊形ABCD是等腰梯形，故∠B=∠C。

題目需要證明的幾條線段是分散的，通過平移變換可以將AB、EF、DC集中到一起。此時(shí)，各個(gè)條件都能很好地得以應(yīng)用。

2.平移對(duì)角線

平移一條對(duì)角線，使之經(jīng)過梯形的另一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形，利用有關(guān)平行線的性質(zhì)解決問題。

三、利用平移求面積

由于圖形的平移不改變圖形的形狀和大小，因此在求一些圖形的面積時(shí)，利用圖形的平移可以巧妙地將這些原本很難直接解決的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)單。

例：如圖a，在一個(gè)長(zhǎng)方形的草坪上有兩條等寬且互相垂直的長(zhǎng)方形小路（長(zhǎng)度單位：m），那么草坪的面積為 ? ? ? ? m2。

分析：將兩條小路分別作如圖b所示的平移，則草坪的面積就是空白部分（長(zhǎng)方形）的面積，即（50-2）×（30-2），為1344m2。如果用傳統(tǒng)方法求面積，計(jì)算過程相對(duì)繁瑣，學(xué)生容易把中間的重疊部分重復(fù)計(jì)算，從而使計(jì)算產(chǎn)生錯(cuò)誤，利用平移方法求幾何圖形的面積，使圖形又變成一個(gè)矩形，計(jì)算十分方便、準(zhǔn)確。

總之，平移可以將一些復(fù)雜的問題通過簡(jiǎn)單的平移轉(zhuǎn)換題目的形式，使題目由復(fù)雜變簡(jiǎn)單，使題目得以解決。一些看似棘手的問題常?？梢酝ㄟ^平移及平移的性質(zhì)獲得巧解，對(duì)于某些幾何計(jì)算題，在不改變面積的前提下，采用平移的方法適當(dāng)改變圖形的形狀或位置，可以更好地解決問題。我會(huì)在今后的教學(xué)中更加重視平移思想的滲透，讓學(xué)生更多地了解平移的使用價(jià)值。

（責(zé)任編輯 馮 璐）