陳光平

（1.四川文理學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，四川 達(dá)州635000；2.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710600）

0 引言

自1995年人類首次在實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)稀薄堿金屬原子氣體的玻色愛因斯坦凝聚實(shí)驗(yàn)以來(lái)，關(guān)于玻色愛因斯坦凝聚體的研究一直是一個(gè)熱點(diǎn)問題.作為典型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)破缺的渦旋，廣泛存在于諸如超流3He，2He等領(lǐng)域，近幾年來(lái)吸引了各類理論和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家的興趣.隨著實(shí)驗(yàn)和工程技術(shù)的發(fā)展，人們從旋轉(zhuǎn)的玻色愛因斯坦凝聚體（BECs）中觀察到單個(gè)渦旋結(jié)構(gòu)，[1-2]加快凝聚體的旋轉(zhuǎn)速率，會(huì)出現(xiàn)更多的渦旋，甚至?xí)霈F(xiàn)成百上千個(gè)渦旋.[3-6]通常人們把玻色愛因斯坦凝聚體囚禁于簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中，但是當(dāng)玻色愛因斯坦凝聚體的旋轉(zhuǎn)頻率接近囚禁簡(jiǎn)諧勢(shì)的振動(dòng)頻率ω⊥時(shí)，強(qiáng)大的離心力將使得勢(shì)阱約束力減弱導(dǎo)致凝聚體散落；為了克服這一局限，最近實(shí)驗(yàn)上通過藍(lán)諧激光耦合構(gòu)造一個(gè)四次勢(shì)阱，再將它與簡(jiǎn)諧勢(shì)阱結(jié)合，形成一個(gè)簡(jiǎn)諧勢(shì)＋四次勢(shì)的新勢(shì)阱，因四次勢(shì)阱的存在，加強(qiáng)了勢(shì)阱對(duì)凝聚體的約束，凝聚體在這種勢(shì)阱中以較小速率Ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)渦旋，隨著旋轉(zhuǎn)速率Ω增加，渦旋數(shù)目逐漸增加，最后形成一個(gè)大的渦旋格子.在這種簡(jiǎn)諧勢(shì)＋四次勢(shì)的勢(shì)阱中，即使旋轉(zhuǎn)速率Ω＞ω⊥，凝聚體也不會(huì)散落，而且會(huì)進(jìn)一步形成更多的渦旋格子；但是當(dāng)角速率大于一個(gè)臨界值Ωc時(shí)，凝聚體的中心會(huì)出現(xiàn)一個(gè)空洞，中心部分的渦旋消失.再進(jìn)一步增加旋轉(zhuǎn)速度時(shí)，凝聚體的基態(tài)會(huì)形成一個(gè)巨大的環(huán)狀結(jié)構(gòu)，渦旋完全消失.[7]最近也有作者研究耦合中心雙勢(shì)阱中旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦和自旋軌道耦合作用下的基態(tài)問題.[8-10]

基于上述研究，本文主要研究?jī)煞至啃D(zhuǎn)玻色愛因斯坦凝聚體的基態(tài)結(jié)構(gòu).研究旋轉(zhuǎn)頻率、原子種間相互作用強(qiáng)度對(duì)渦旋結(jié)構(gòu)的影響，以期發(fā)現(xiàn)它們對(duì)凝聚體性能的作用規(guī)律.

1 基態(tài)的理論模型

本節(jié)主要研究在一個(gè)二維（x，y）平面內(nèi)，囚禁于簡(jiǎn)諧勢(shì)＋四次勢(shì)阱中的旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦凝聚體的基態(tài)模型，勢(shì)阱函數(shù)描述為：

g11為第一類原子種內(nèi)相互作用強(qiáng)度，g22為第二類原子種內(nèi)相互作用強(qiáng)度，g12是第一類原子與第二類原子之間的種間相互作用強(qiáng)度，它們都可以通過Feshbance共振方法對(duì)它們進(jìn)行調(diào)節(jié)為ψi的概率密度為凝聚體的旋轉(zhuǎn)角動(dòng)量算符.

經(jīng)過無(wú)量綱化處理后得到兩組分旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦凝聚體的Gross-Pitaevskii方程如下

采用虛時(shí)演化和有限差分方法對(duì)方程（4）進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，調(diào)整不同的種間相互作用強(qiáng)度g12和旋轉(zhuǎn)速率Ω可得系統(tǒng)的不同基態(tài)結(jié)構(gòu).

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了得到玻色愛因斯坦凝聚體的基態(tài)波函數(shù)，設(shè)種內(nèi)原子相互作用強(qiáng)度g11＝g22＝g，為了簡(jiǎn)單起見，設(shè)定g＝100；再設(shè)種間原子相互作用強(qiáng)度g12＝g21，固定四次勢(shì)系數(shù)λ＝0.5，我們將討論凝聚體的旋轉(zhuǎn)速率和種間原子相互作用強(qiáng)度對(duì)基態(tài)的影響.

圖1 兩組分旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦凝聚體的基態(tài)相圖（組分1（↑）和組分2（↓））與種間相互作用強(qiáng)度、旋轉(zhuǎn)頻率之間的關(guān)系.從第一列到第四列依次對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)頻率Ω＝0，1.5，2.5，3.5；從第一排到第五排依次對(duì)應(yīng)種間相互作用強(qiáng)度g12＝0，50，80，100，120；其它參數(shù)為種內(nèi)相互作用強(qiáng)度g＝100，四次勢(shì)強(qiáng)度系數(shù)λ＝0.5；簡(jiǎn)諧勢(shì)振動(dòng)頻率ω⊥＝1.

從第一列相圖可以看出，在沒有旋轉(zhuǎn)（Ω＝0）的情況下，當(dāng)種間相互作用強(qiáng)度g12＜g時(shí)，組分1和組分2相圖相互重疊，都呈現(xiàn)出無(wú)對(duì)稱破缺的圓盤狀分布；當(dāng)g12＝g＝100時(shí)，組分1和組分2的相圖開始呈現(xiàn)出分裂的趨勢(shì)，但是仍然處于相混合狀態(tài)；然而當(dāng)g12＞g的時(shí)候，兩組分發(fā)生了相分離；不過此時(shí)兩組分相圖依然是呈現(xiàn)出翻折對(duì)稱.造成這一現(xiàn)象的原因，是兩組分原子的種內(nèi)相互作用強(qiáng)度和種間相互作用強(qiáng)度均相等，簡(jiǎn)諧勢(shì)和四次勢(shì)也是對(duì)稱勢(shì)能，所以在無(wú)其它相互作用（如旋轉(zhuǎn)）下，其基態(tài)呈現(xiàn)出對(duì)稱性分布是正確合理的；當(dāng)然，當(dāng)種間相互作用強(qiáng)度小于種內(nèi)相互作用強(qiáng)度時(shí)，種內(nèi)相互作用起主導(dǎo)作用，基態(tài)相圖呈現(xiàn)出相混合狀態(tài)；而當(dāng)種間相互作用大于種內(nèi)相互作用時(shí)，兩組分分布排斥（g12＞0是排斥，g12＜0是吸引）力加大，所以兩組分呈現(xiàn)出相分離.可見，在無(wú)旋轉(zhuǎn)作用下，種間相互作用影響著基態(tài)相圖結(jié)構(gòu)，但是不改變相圖分布的對(duì)稱性.

隨著旋轉(zhuǎn)速率的引入并加快，Ω＞1取1.5時(shí)，如第二列圖，玻色愛因斯坦凝聚體并沒有因?yàn)樾D(zhuǎn)過快而出現(xiàn)散落，而是出現(xiàn)了對(duì)稱破缺的渦旋.隨著種間相互作用增強(qiáng)，渦旋的個(gè)數(shù)在增加，渦旋的結(jié)構(gòu)不對(duì)稱性越來(lái)越明顯；當(dāng)種間相互作用增強(qiáng)到關(guān)鍵值g12≥g時(shí)，基態(tài)相圖基本呈現(xiàn)出相分離，因種間相互排斥作用的增大發(fā)生相分離而使得兩組分各自分布在一個(gè)較小的空間，所以這種壓迫使得原來(lái)的渦旋被壓塌，因此渦旋個(gè)數(shù)逐漸減少.

從圖一的第一、二、三排圖可知隨著玻色愛因斯坦凝聚體的旋轉(zhuǎn)速率的增加，當(dāng)旋轉(zhuǎn)速率增大時(shí)，系統(tǒng)基態(tài)出現(xiàn)渦旋結(jié)構(gòu)，隨著旋轉(zhuǎn)速率的增加渦旋數(shù)增加，但是離心力也在增強(qiáng)，所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)速率增加到Ω＝2.5時(shí)（第三列），在基態(tài)相圖的中心原有渦旋消失逐漸形成空洞，在環(huán)狀相圖上仍然保持少量渦旋個(gè)數(shù)；進(jìn)一步增大旋轉(zhuǎn)速率Ω＝3.5時(shí)（第四列），渦旋完全消失，相圖形成一個(gè)環(huán)形；但是，因?yàn)間12＜g，旋轉(zhuǎn)速率的增加始終不會(huì)改變相混合的狀態(tài).

從圖一第四、五排圖，我們可以看出當(dāng)旋轉(zhuǎn)速率Ω增加時(shí)，組分1和組分2分出多個(gè)塊狀，并且隨著Ω的進(jìn)一步加強(qiáng)，這些塊狀的原子團(tuán)被推向外側(cè)，形成近似圓環(huán)狀分布，因?yàn)殡x心力過大，所以環(huán)的寬度縮小，兩組分原子占據(jù)的空間進(jìn)一步被壓縮，導(dǎo)致塊與塊之間發(fā)生部分重疊，最后都形成環(huán)形狀，占據(jù)相同的空間，導(dǎo)致相混合狀態(tài)出現(xiàn).由此可見，只要增加旋轉(zhuǎn)速率到足夠大，不論旋轉(zhuǎn)時(shí)是相混合還是相分離狀態(tài)，最終都會(huì)走向相混合，這是旋轉(zhuǎn)的一個(gè)重要效果.

3 總結(jié)

本文主要研究了囚禁于簡(jiǎn)諧勢(shì)＋四次勢(shì)阱中兩組分玻色愛因斯坦凝聚體的基態(tài)結(jié)構(gòu)，研究發(fā)現(xiàn)，與單組分玻色愛因斯坦凝聚體不同，組分間的相互作用強(qiáng)度對(duì)基態(tài)相圖有重要的影響，它可以使兩組分玻色愛因斯坦凝聚體原子由相混合轉(zhuǎn)向相分離；在四次勢(shì)的作用下，旋轉(zhuǎn)凝聚體的旋轉(zhuǎn)速率可以增大到超過簡(jiǎn)諧勢(shì)的振蕩頻率而不致凝聚體因離心力增大而散落，同時(shí)，旋轉(zhuǎn)速率的增加可以在一定程度上增加渦旋產(chǎn)生的個(gè)數(shù)，然而，旋轉(zhuǎn)速率超過一定程度后，強(qiáng)大的離心力將使渦旋消失而形成環(huán)狀分布，并且不管無(wú)旋轉(zhuǎn)時(shí)基態(tài)相圖是相分離還是相混合，在旋轉(zhuǎn)速率增大到一定程度后，都會(huì)最終演變?yōu)橄嗷旌蠣顟B(tài).總之，種間相互作用、旋轉(zhuǎn)體速率均對(duì)基態(tài)相圖結(jié)構(gòu)有著重要的影響，這為我們?cè)趯?shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)兩組分旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦凝聚體和認(rèn)知它的基態(tài)結(jié)構(gòu)有著重要的指導(dǎo)意義.

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