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        試論初中階段如何解一元二次不等式

        2014-12-03 10:59:58劉粉喜
        關(guān)鍵詞:空集求根分式

        劉粉喜

        初中階段,一元二次不等式的解題方法有很多種,只要方法選擇得當(dāng),就能夠快速、準(zhǔn)確地解題,達到事半功倍的成效.

        本文通過實例,對一元二次不等式的解題方法進行探討.

        一、一元二次不等式的因式分解法

        這種方法的優(yōu)點:易理解、易接受,思路清晰簡單.具體操作如下:

        第一,將一元二次不等式標(biāo)準(zhǔn)化為ax2+bx+c>0(<0),其中,a>0.

        第二,如果在實數(shù)范圍內(nèi)ax2+bx+c>0被因式分解,就可以將其分解成為a(x-x1)(x-x2)>0(<0),其中,a>0,這樣可以得到同ax2+bx+c>0(<0)等價的不等式組.

        第三,如果在實數(shù)范圍內(nèi)ax2+bx+c>0無法進行因式分解,那么ax2+bx+c>0(<0)就只可能存在兩種解:一是一切實數(shù),二是空集.

        注:分式不等式f(x)g(x)>0f(x)>0或者f(x)<0,

        g(x)>0或者g(x)<0.

        分式不等式f(x)g(x)≥0f(x)≥0或者f(x)≤0,

        g(x)≥0或者g(x)≤0.

        二、含參數(shù)的一元二次不等式解法

        在面對含有字母系數(shù)的問題之時,不能刻意去做分類,而是應(yīng)該注意到能不分類就不分類,根據(jù)規(guī)則到了無法繼續(xù)解答的時候,再進行分類.同時,分類的標(biāo)準(zhǔn)也會相應(yīng)出現(xiàn).簡單而言,就是以不變應(yīng)萬變.具體步驟如下:

        第一,定下不等式的名分——屬于一元一次不等式,還是一元二次不等式,而x2的系數(shù)是否為0決定了其屬于一次還是二次.

        第二,對于二次不等式,應(yīng)該重視兩個重要問題:其一,開口方向;其二,兩根大小.

        例如,解關(guān)于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R).

        分析:考慮到x2的系數(shù)為a,所以,在解決不等式時有兩個問題:第一,不等式屬于哪一種類型;第二,相應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向以及兩根具體的大小.所以,既要考慮系數(shù)a是否為0及其正負情況,還需要考慮到兩根具體的大小.

        解:原不等式可化為(ax-1)(x-2)<0.

        第一, 當(dāng)a=0時,得到-x+2<0,所以x>2.

        第二,當(dāng)a≠0時,方程(ax-1)(x-2)=0的兩個根x1=1a,x2=2.

        如果a<0,那么1a<2,且此時二次函數(shù)的圖象開口向下,就可以得到x<1a或x>2.

        如果a>0,那么1a-2=1-2aa;且此時二次函數(shù)的圖象開口向上,

        其中,如果1-2a>0,那么02,可以得到2

        其中,如果1-2a<0,那么a>12,這時1a<2,可以得到1a

        其中,如果1-2a=0,那么a=12,這時1a=2,則得到(x-2)2<0,所以x∈.

        綜上所述,當(dāng)a=0時,原不等式的解集為{x|x>2};

        當(dāng)a<0時,原不等式的解集為:{x|x<1a或者x>2};

        當(dāng)0

        當(dāng)a>12時,原不等式的解集為:{x|1a

        當(dāng)a=12時,原不等式的解集為:空集.

        并非所有的不等式都能進行因式分解,這時的求根需要考慮到求根公式,并且并非在遇到任何的參數(shù)的時候,都需要將其與0進行比較,而是要根據(jù)具體的題目來決定是否進行分類,如何分類.比如,(x-a2)(x-a2-1)<0,考慮到a2

        總之,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,尤其是一元二次不等式教學(xué),教師應(yīng)該讓學(xué)生掌握更加輕松的解題方式,這樣才能夠讓學(xué)生不再對其產(chǎn)生為難情緒,在解決問題時也能夠輕松應(yīng)對,確保在今后的應(yīng)用當(dāng)中能夠選擇最短的路徑或者是最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法來解決一元二次不等式.

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