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        波利亞解題表在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解題中的應(yīng)用

        2014-12-02 05:13:14黃兆芹
        科學(xué)中國(guó)人 2014年22期
        關(guān)鍵詞:波利亞四邊形拋物線

        黃兆芹

        江蘇省泰州市姜堰區(qū)里華初級(jí)中學(xué)

        中考是人生中的第一次挑戰(zhàn),解題是中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中最重要的活動(dòng)形式之一,因此提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力可以說(shuō)是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)。喬治.波利亞是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家,他是解題方法論的鼻祖。波利亞主張數(shù)學(xué)教育的主要目的之一是發(fā)展學(xué)生的解決問(wèn)題的能力,教會(huì)學(xué)生思考。波利亞致力于解題的研究,為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來(lái)的”這個(gè)令人困惑的問(wèn)題,他專(zhuān)門(mén)研究了解題的過(guò)程應(yīng)包括四大步驟:“弄清題意”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”。為了解決一個(gè)問(wèn)題,首先我們必須了解問(wèn)題,弄清楚要求什么;其次,我們必須了解各個(gè)量之間有怎樣的聯(lián)系,未知數(shù)和已知數(shù)之間有什么關(guān)系,為了得到解題的思路,應(yīng)該制定一個(gè)計(jì)劃;再次,實(shí)現(xiàn)我們的計(jì)劃,檢驗(yàn)每一個(gè)步驟;最后,驗(yàn)算所得到的解,并將結(jié)果和方法試著用于其他問(wèn)題。[1]

        下面是實(shí)踐波利亞解題表的一個(gè)示例。

        例:如圖,已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B,與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為D,且直線DC的解析式為y=x+3

        (1)求二次函數(shù)的解析式;

        (2)若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),求四邊形ACPB的面積最大值。

        講解:第一,弄清問(wèn)題

        問(wèn)題1.你要求解的是什么?

        問(wèn)題2.有哪些已知條件?

        本題需要求解的(1)二次函數(shù)的解析式(2)四邊形ACPB的面積最大值。已知二次函數(shù)的一般式,其中有兩個(gè)待定系數(shù)b、c,直線的解析式,P是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)這些條件。

        在例21中,作者以權(quán)威機(jī)構(gòu)的數(shù)據(jù)來(lái)支持自己的立場(chǎng)觀點(diǎn);同樣,在例22中,說(shuō)話者以一個(gè)具體的調(diào)查來(lái)質(zhì)疑“一帶一路”倡議,一方面增加其立場(chǎng)態(tài)度的可信度,另一方面壓縮其他觀點(diǎn)的可能性。

        弄清問(wèn)題階段,就是教會(huì)學(xué)生形成正確的審題方法。審清題目中的文字?jǐn)⑹觯阂阎鞘裁??未知是什么?已知條件是什么?未知條件是什么?滿足條件是否可能?比如有的數(shù)學(xué)問(wèn)題的給出是以數(shù)學(xué)語(yǔ)言直接給出,這時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生借助圖像、圖表將題目中的條件之間的關(guān)系表示出來(lái)。對(duì)于幾何證明題,我們可以將已知條件標(biāo)注在圖中,這樣就一目了然了。

        第二,擬定計(jì)劃

        問(wèn)題3.怎樣求出?

        分析:要求二次函數(shù)的解析式,已知二次函數(shù)的一般式,其中有兩個(gè)待定系數(shù)b、c,就需要已知拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)。題中標(biāo)出A、B、C、D,沒(méi)有哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是已知的,但是我們知道C、D兩點(diǎn)比較特殊,它們既在拋物線上,同時(shí)也在直線CD上,具有雙重身份,且C為直線DC:y=x+3與y軸的交點(diǎn),因此可以很快求出C點(diǎn)的坐標(biāo),C(0,3),代入拋物線就可以求出c,只剩下一個(gè)待定的系數(shù)b。D點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),就可以將頂點(diǎn)坐標(biāo)D用還有b的代數(shù)式表示出來(lái),再代入直線CD,求出b,從而二次函數(shù)的解析式就求出來(lái)了。

        要求四邊形ACPB的面積最大值,A、B、C三點(diǎn)是固定的,則四邊形ACPB的面積取決于P點(diǎn)坐標(biāo)的確定。S四邊形ACPB=S△ABC+S△BCP,△ABC的面積是固定的,△BCP的面積是變化的,但是可將不變的BC看作底邊,實(shí)際上求四邊形ACPB的面積最大值,就是求△BCP的面積的最大值,就是求BC邊上的高的最大值,就是過(guò)拋物線上的點(diǎn)P作BC的垂線段,求垂線段的最大值,則當(dāng)與BC平行的直線與拋物線相切時(shí),過(guò)P點(diǎn)的垂線段最大。可以先求出BC的直線方程,設(shè)與BC平行的直線,與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),直線解析式,從而求出此時(shí)的高,問(wèn)題解決了。

        擬定計(jì)劃階段,實(shí)際上是充分暴露思維過(guò)程的階段。教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題過(guò)程進(jìn)行分析、歸納,指導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題常見(jiàn)的一些策略:以退求進(jìn)、問(wèn)題轉(zhuǎn)化、模式識(shí)別等。

        至此,我們?cè)谝阎臀粗g建立了一個(gè)不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng),解題思路全部溝通。

        第三,實(shí)現(xiàn)計(jì)劃(解題過(guò)程)

        實(shí)現(xiàn)計(jì)劃階段,要求學(xué)生規(guī)范運(yùn)算過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、一絲不茍的品質(zhì)。

        第四,回顧

        ①正面驗(yàn)證每一步推理是合理的、有效的,計(jì)算是精確的。

        ②還能用其他方法得到這個(gè)結(jié)果嗎?條條大道通羅馬,萬(wàn)事不是絕對(duì)的,我們應(yīng)該在信念上堅(jiān)信每道題目都是有多種解法的,那么,本例有沒(méi)有其他解法呢?有,下面是本例的另兩解。

        解法二:

        (1) 能將本例的方法運(yùn)用于其他的問(wèn)題嗎?能!

        例:如圖,直角梯形 ABCD 中,AD//BC,∠B=90°,BC=2AB=2AD=4,以AB為直徑作⊙0,點(diǎn)P在梯形內(nèi)的半圓弧上運(yùn)動(dòng),則△CPD的最小面積是_________。在這里我們也運(yùn)用了在“變中尋求不變量”的思想。

        可見(jiàn),這是本題解決問(wèn)題的“泉眼”,勤于分析已知條件,對(duì)于培養(yǎng)解數(shù)學(xué)題的“靈感”是非常有必要的。

        回顧階段,善于一題多變及多題不變(在變中尋求不變量)提高學(xué)生的解題能力?;仡欕A段,實(shí)際上就是反思階段。我們不僅要反思審題過(guò)程,特別對(duì)那些有過(guò)反復(fù)曲折過(guò)程的問(wèn)題進(jìn)行反思,而且要反思解題的思路,特別做完一道題后,應(yīng)認(rèn)真分析解題過(guò)程有沒(méi)有思維回路,哪些過(guò)程可以合并或轉(zhuǎn)換,還有沒(méi)有更好的解題途徑。有時(shí)我們還需反思題目的結(jié)論,能否從其它角度重新審視題目,將問(wèn)題的結(jié)論進(jìn)行推廣。

        波利亞也曾說(shuō)過(guò):在你找到第一個(gè)蘑菇時(shí),繼續(xù)觀察,就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇。在問(wèn)題解決后,我們不妨“回頭看看”,可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行一題多解、一題多變、多題尋求不變。注意數(shù)學(xué)的思想和方法的總結(jié)、提煉和升華,進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維、優(yōu)化解題過(guò)程。只要我們平時(shí)多采用波利亞的解題理論多分析,就能提高學(xué)生的自我意識(shí)、自我評(píng)價(jià),提高學(xué)生的獨(dú)立分析問(wèn)題和解決能力的能力,從而能在中考中考出自己的水平。

        [1][美]波利亞.怎樣解題:數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海:上??萍冀逃霭嫔纾?007.

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