杜厚維

（長(zhǎng)江大學(xué)一年級(jí)教學(xué)工作部，湖北 荊州434025）

秦超

（荊州市文星中學(xué)，湖北 荊州434000）

陳忠

（長(zhǎng)江大學(xué)一年級(jí)教學(xué)工作部，湖北 荊州434025）

判別級(jí)數(shù)的斂散性方法比較多，將級(jí)數(shù)一般項(xiàng)或者部分和進(jìn)行放縮，借助經(jīng)放縮后級(jí)數(shù)的斂散性來(lái)判斷原級(jí)數(shù)的斂散性，是其中方法之一。而函數(shù)的單調(diào)性、曲線的凹凸性都可用于證明不等式，下面筆者將利用函數(shù)單調(diào)性、曲線的凹凸性來(lái)判斷一類級(jí)數(shù)的斂散性。

1 基本概念

定義1［1］設(shè)f（x）在區(qū)間Ⅰ上連續(xù)，如果對(duì)Ⅰ上任意2點(diǎn)x1、x2恒有：

則稱f（x）在區(qū)間Ⅰ上的圖形是凸的。

如果恒有：

則稱f（x）在區(qū)間Ⅰ上的圖形是凹的。

引理1［1］設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則：

1）若在（a，b）內(nèi)f″（x）＞0，則f（x）在［a，b］上的圖形是凹的；

2）若在（a，b）內(nèi)f″（x）＜0，則f（x）在［a，b］上的圖形是凸的。

引理2［1］設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)， 在（a，b）內(nèi)f″（x）＜0，則：

定義2［1］若級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。

引理3［1］若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)收斂。

引理4［1］若0≤un≤vn，級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂。

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)當(dāng)x∈［0，＋∞）時(shí)，f′（x）＞0，f″（x）＜0. 且F（x）為f（x）在［0，＋∞）上的原函數(shù)，則：

證明 由f′（x）＞0可知f（x）在區(qū)間［0，＋∞）單調(diào)遞增，從而：

則：

又：

由引理2，令a＝i－1，b＝i（i＝1，2，…，n），可得：

綜合式（1）和式（2）即得定理1結(jié)論。

3 算例

解 令un＝

若0＜α＜1，令f（x）＝xα，則f（x）滿足定理1的條件，故而級(jí)數(shù)收斂，由引理3，引理4知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。

解 令：

可取適當(dāng)正整數(shù)N0，當(dāng)x∈［N0，＋∞）時(shí)：

由定理1得：

其中，C1，C2僅與N0相關(guān)。

例3［2］證明

由定理1有：

即得：

定理1是例3結(jié)論的一種推廣。

除上述應(yīng)用外，定理1還能與夾逼準(zhǔn)則相結(jié)合，用于求極限。

［1］同濟(jì)大學(xué) .高等數(shù)學(xué) ［M］.北京 ：高等教育出版社，2001.

［2］劉培杰數(shù)學(xué)工作室 .歷屆美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題集 ［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.