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        高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中類比思維的運用

        2014-11-26 22:38:17李紅玉
        理科考試研究·高中 2014年11期
        關(guān)鍵詞:新舊課本題目

        李紅玉

        類比思維是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一種很重要的思維,對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有舉一反三的效果.學(xué)生充分地掌握類比思維,能夠使其在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中起到事半功倍的作用.所以我們必須重視類比思維,在教學(xué)的過程中充分推行類比思維,讓學(xué)生能夠掌握并且運用類比思維.

        一、類比思維能夠促進(jìn)學(xué)生對新舊知識進(jìn)行對比,加強學(xué)生新舊知識之間的聯(lián)系

        高中數(shù)學(xué)中的知識點很多,但是很多知識點之間都是相互聯(lián)系的.通過運用類比思維在新舊知識點之間建立聯(lián)系,能夠促使學(xué)生對于新舊知識的不同點進(jìn)行強化記憶.避免使用過程中的混亂,同時能夠促使學(xué)生在舊的知識基礎(chǔ)之上進(jìn)行新的知識的學(xué)習(xí),使學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師應(yīng)該對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo),讓學(xué)生能夠充分發(fā)揮類比思維.同時,使同學(xué)們在新知識與舊知識之間形成聯(lián)系,從而促使學(xué)生能夠?qū)εf知識進(jìn)行鞏固,同時促使新知識的記憶.這不僅鍛煉了學(xué)生的類比思維還使得學(xué)生的想象力得以充分發(fā)揮,開拓了學(xué)生的思路,提升了數(shù)學(xué)課堂的趣味性.例如,在講述數(shù)列知識時,教師可以利用等差與等比數(shù)列之間的聯(lián)系做文章,使得學(xué)生在兩者之間產(chǎn)生類比,減輕學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān).

        二、類比思維能夠促使學(xué)生的知識更加系統(tǒng)

        高中數(shù)學(xué)知識中存在著很多個知識點,這些知識點之間存在著很多的聯(lián)系,如果沒有形成系統(tǒng)意識,很容易造成知識點遺漏、記憶混亂、概念不系統(tǒng)以及記憶不深刻的現(xiàn)象.類比思維通過加強知識之間的聯(lián)系,讓同學(xué)們在各個知識點之間建立聯(lián)系,從而使知識點串成知識線,最后形成知識面,使同學(xué)們在高中數(shù)學(xué)課堂中所學(xué)習(xí)到的知識都處在一個完整的系統(tǒng)之中,方便學(xué)生記憶和運用.同時,通過類比思維的運用,學(xué)生們在所形成的系統(tǒng)知識中能夠發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,實現(xiàn)對知識的深化理解.例如:在等差數(shù)列中,各系數(shù)之間的關(guān)系如下:(n-p)am+(p-m)an=0,同時,m,n,p屬于正整數(shù),n>m>p, ap=0,運用類比思維對其在等比數(shù)列中的狀況進(jìn)行分析.

        結(jié)論“若等比數(shù)列中ap=1”,得出結(jié)論:an-pm·ap-mn=1.

        解題過程等差的內(nèi)容是和差,等比主要是積商,所以,在等差中( n-p )am表示(n-p)個am相加,類比到等比即是an-pm,就是(n-p)個am相乘,同樣的ap-nmn,將題中的加法變?yōu)槌朔ǎ梢暂p易得出結(jié)論為1.(結(jié)論不為0,主要是等比數(shù)列的性質(zhì)決定的:等比數(shù)列的項不能為零,所以乘積也不能是0,所以結(jié)論只能是1),最后通過計算進(jìn)行檢驗,確實為1(最后能夠得出左式=an-mp=1=右式).

        三、類比思維能夠讓學(xué)生的解題思想更加深入,更具創(chuàng)造力

        類比思維是一種舉一反三的思維,從一個題目中能夠找到另一個題目答案的影子,通過對從不同角度命題的題目進(jìn)行類比,往往能夠發(fā)現(xiàn)新的解題思維,能夠在解題中實現(xiàn)對知識的深化理解.很多學(xué)生在高中數(shù)學(xué)題目的解答過程中不知道題目要用哪部分的知識進(jìn)行解答,沒有對題目形成一個完成的概念,究其原因,就是因為缺乏對知識的深入理解,沒有充分明白出題意圖.通過類比思維的運用,學(xué)生在做題的過程中能夠很清楚地理解出題者要考查的是哪部分知識,并且這部分知識的重難點在哪,常規(guī)思路應(yīng)該如何解答,以及如何通過新的思路進(jìn)行解答等一系列問題.換句話說,就是掌握了類比思維,學(xué)生的解題思想能夠更加深入,更加符合數(shù)學(xué)邏輯,更有創(chuàng)造力.

        例如:三角形的面積S=1/2(n+m+p)r, n ,m, p是表示三角形的三個邊的邊長,r是三角形內(nèi)切圓的半徑,試運用類比思維推導(dǎo)三棱錐的體積.

        答案:V=1/3Sr,S是三棱錐表面積,r是內(nèi)切球半徑.

        思路如下:由二維到三維,故內(nèi)切圓應(yīng)該變?yōu)閮?nèi)切球,此即答案中r的由來,至于總長度(a+b+c)就應(yīng)該拓展為三棱錐總面積,即其表面積S,至于1/3的來法可以被理解為二維到三維中的“2”到“3”.

        四、類比思維能夠促使學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中不斷提出新的問題

        在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師可以加以引導(dǎo),指導(dǎo)學(xué)生開辟新的領(lǐng)域,從而完成對所知識的深化和升華.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師應(yīng)該對學(xué)生的類比思維加以指導(dǎo),鼓勵學(xué)生進(jìn)行類比思維,并且在類比思維的過程中不斷地提出新問題,解決新問題,從而達(dá)到源于課本,高于課本;源于知識,高于知識的境界.

        例如,在高考數(shù)學(xué)題目中,經(jīng)常有按照課本知識進(jìn)行等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法,在這類題目的解答過程中,一般都可以通過參考課本中對于相關(guān)共識進(jìn)行推導(dǎo)的方法來解決.通過對各因式進(jìn)行仔細(xì)觀察和分析,利用跟其特性相關(guān)的推導(dǎo)方法進(jìn)行試代入和試推理,都能夠得到理想的結(jié)果.

        這類題目一般都從小中見大,從平常中見創(chuàng)新,利用對課本知識的理解來解決新的題目.這種類比解題思路能夠促使學(xué)生們在對課本知識的學(xué)習(xí)過程中超出課本,以課本知識為原點不斷地進(jìn)行發(fā)散思維和類比思維的培養(yǎng),在實際的學(xué)習(xí)和解題過程中做到舉一反三,達(dá)到以一當(dāng)百的效果.

        綜上所述,類比思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題的過程中有著非常巨大的作用,能夠促進(jìn)學(xué)生對新舊知識進(jìn)行對比,加強學(xué)生新舊知識之間的聯(lián)系、能夠促使學(xué)生的知識更加系統(tǒng)、能夠讓學(xué)生的解題思想更加深入,更具創(chuàng)造力、能夠促使學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中不斷提出新的問題.所以我們在通常的數(shù)學(xué)教學(xué)和解題過程中應(yīng)該充分利用各種條件對學(xué)生的類比思維加以培養(yǎng)和鼓勵,使學(xué)生們能夠從類比思維中充分受益.

        類比思維是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一種很重要的思維,對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有舉一反三的效果.學(xué)生充分地掌握類比思維,能夠使其在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中起到事半功倍的作用.所以我們必須重視類比思維,在教學(xué)的過程中充分推行類比思維,讓學(xué)生能夠掌握并且運用類比思維.

        一、類比思維能夠促進(jìn)學(xué)生對新舊知識進(jìn)行對比,加強學(xué)生新舊知識之間的聯(lián)系

        高中數(shù)學(xué)中的知識點很多,但是很多知識點之間都是相互聯(lián)系的.通過運用類比思維在新舊知識點之間建立聯(lián)系,能夠促使學(xué)生對于新舊知識的不同點進(jìn)行強化記憶.避免使用過程中的混亂,同時能夠促使學(xué)生在舊的知識基礎(chǔ)之上進(jìn)行新的知識的學(xué)習(xí),使學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師應(yīng)該對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo),讓學(xué)生能夠充分發(fā)揮類比思維.同時,使同學(xué)們在新知識與舊知識之間形成聯(lián)系,從而促使學(xué)生能夠?qū)εf知識進(jìn)行鞏固,同時促使新知識的記憶.這不僅鍛煉了學(xué)生的類比思維還使得學(xué)生的想象力得以充分發(fā)揮,開拓了學(xué)生的思路,提升了數(shù)學(xué)課堂的趣味性.例如,在講述數(shù)列知識時,教師可以利用等差與等比數(shù)列之間的聯(lián)系做文章,使得學(xué)生在兩者之間產(chǎn)生類比,減輕學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān).

        二、類比思維能夠促使學(xué)生的知識更加系統(tǒng)

        高中數(shù)學(xué)知識中存在著很多個知識點,這些知識點之間存在著很多的聯(lián)系,如果沒有形成系統(tǒng)意識,很容易造成知識點遺漏、記憶混亂、概念不系統(tǒng)以及記憶不深刻的現(xiàn)象.類比思維通過加強知識之間的聯(lián)系,讓同學(xué)們在各個知識點之間建立聯(lián)系,從而使知識點串成知識線,最后形成知識面,使同學(xué)們在高中數(shù)學(xué)課堂中所學(xué)習(xí)到的知識都處在一個完整的系統(tǒng)之中,方便學(xué)生記憶和運用.同時,通過類比思維的運用,學(xué)生們在所形成的系統(tǒng)知識中能夠發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,實現(xiàn)對知識的深化理解.例如:在等差數(shù)列中,各系數(shù)之間的關(guān)系如下:(n-p)am+(p-m)an=0,同時,m,n,p屬于正整數(shù),n>m>p, ap=0,運用類比思維對其在等比數(shù)列中的狀況進(jìn)行分析.

        結(jié)論“若等比數(shù)列中ap=1”,得出結(jié)論:an-pm·ap-mn=1.

        解題過程等差的內(nèi)容是和差,等比主要是積商,所以,在等差中( n-p )am表示(n-p)個am相加,類比到等比即是an-pm,就是(n-p)個am相乘,同樣的ap-nmn,將題中的加法變?yōu)槌朔ǎ梢暂p易得出結(jié)論為1.(結(jié)論不為0,主要是等比數(shù)列的性質(zhì)決定的:等比數(shù)列的項不能為零,所以乘積也不能是0,所以結(jié)論只能是1),最后通過計算進(jìn)行檢驗,確實為1(最后能夠得出左式=an-mp=1=右式).

        三、類比思維能夠讓學(xué)生的解題思想更加深入,更具創(chuàng)造力

        類比思維是一種舉一反三的思維,從一個題目中能夠找到另一個題目答案的影子,通過對從不同角度命題的題目進(jìn)行類比,往往能夠發(fā)現(xiàn)新的解題思維,能夠在解題中實現(xiàn)對知識的深化理解.很多學(xué)生在高中數(shù)學(xué)題目的解答過程中不知道題目要用哪部分的知識進(jìn)行解答,沒有對題目形成一個完成的概念,究其原因,就是因為缺乏對知識的深入理解,沒有充分明白出題意圖.通過類比思維的運用,學(xué)生在做題的過程中能夠很清楚地理解出題者要考查的是哪部分知識,并且這部分知識的重難點在哪,常規(guī)思路應(yīng)該如何解答,以及如何通過新的思路進(jìn)行解答等一系列問題.換句話說,就是掌握了類比思維,學(xué)生的解題思想能夠更加深入,更加符合數(shù)學(xué)邏輯,更有創(chuàng)造力.

        例如:三角形的面積S=1/2(n+m+p)r, n ,m, p是表示三角形的三個邊的邊長,r是三角形內(nèi)切圓的半徑,試運用類比思維推導(dǎo)三棱錐的體積.

        答案:V=1/3Sr,S是三棱錐表面積,r是內(nèi)切球半徑.

        思路如下:由二維到三維,故內(nèi)切圓應(yīng)該變?yōu)閮?nèi)切球,此即答案中r的由來,至于總長度(a+b+c)就應(yīng)該拓展為三棱錐總面積,即其表面積S,至于1/3的來法可以被理解為二維到三維中的“2”到“3”.

        四、類比思維能夠促使學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中不斷提出新的問題

        在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師可以加以引導(dǎo),指導(dǎo)學(xué)生開辟新的領(lǐng)域,從而完成對所知識的深化和升華.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師應(yīng)該對學(xué)生的類比思維加以指導(dǎo),鼓勵學(xué)生進(jìn)行類比思維,并且在類比思維的過程中不斷地提出新問題,解決新問題,從而達(dá)到源于課本,高于課本;源于知識,高于知識的境界.

        例如,在高考數(shù)學(xué)題目中,經(jīng)常有按照課本知識進(jìn)行等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法,在這類題目的解答過程中,一般都可以通過參考課本中對于相關(guān)共識進(jìn)行推導(dǎo)的方法來解決.通過對各因式進(jìn)行仔細(xì)觀察和分析,利用跟其特性相關(guān)的推導(dǎo)方法進(jìn)行試代入和試推理,都能夠得到理想的結(jié)果.

        這類題目一般都從小中見大,從平常中見創(chuàng)新,利用對課本知識的理解來解決新的題目.這種類比解題思路能夠促使學(xué)生們在對課本知識的學(xué)習(xí)過程中超出課本,以課本知識為原點不斷地進(jìn)行發(fā)散思維和類比思維的培養(yǎng),在實際的學(xué)習(xí)和解題過程中做到舉一反三,達(dá)到以一當(dāng)百的效果.

        綜上所述,類比思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題的過程中有著非常巨大的作用,能夠促進(jìn)學(xué)生對新舊知識進(jìn)行對比,加強學(xué)生新舊知識之間的聯(lián)系、能夠促使學(xué)生的知識更加系統(tǒng)、能夠讓學(xué)生的解題思想更加深入,更具創(chuàng)造力、能夠促使學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中不斷提出新的問題.所以我們在通常的數(shù)學(xué)教學(xué)和解題過程中應(yīng)該充分利用各種條件對學(xué)生的類比思維加以培養(yǎng)和鼓勵,使學(xué)生們能夠從類比思維中充分受益.

        類比思維是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一種很重要的思維,對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有舉一反三的效果.學(xué)生充分地掌握類比思維,能夠使其在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中起到事半功倍的作用.所以我們必須重視類比思維,在教學(xué)的過程中充分推行類比思維,讓學(xué)生能夠掌握并且運用類比思維.

        一、類比思維能夠促進(jìn)學(xué)生對新舊知識進(jìn)行對比,加強學(xué)生新舊知識之間的聯(lián)系

        高中數(shù)學(xué)中的知識點很多,但是很多知識點之間都是相互聯(lián)系的.通過運用類比思維在新舊知識點之間建立聯(lián)系,能夠促使學(xué)生對于新舊知識的不同點進(jìn)行強化記憶.避免使用過程中的混亂,同時能夠促使學(xué)生在舊的知識基礎(chǔ)之上進(jìn)行新的知識的學(xué)習(xí),使學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師應(yīng)該對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo),讓學(xué)生能夠充分發(fā)揮類比思維.同時,使同學(xué)們在新知識與舊知識之間形成聯(lián)系,從而促使學(xué)生能夠?qū)εf知識進(jìn)行鞏固,同時促使新知識的記憶.這不僅鍛煉了學(xué)生的類比思維還使得學(xué)生的想象力得以充分發(fā)揮,開拓了學(xué)生的思路,提升了數(shù)學(xué)課堂的趣味性.例如,在講述數(shù)列知識時,教師可以利用等差與等比數(shù)列之間的聯(lián)系做文章,使得學(xué)生在兩者之間產(chǎn)生類比,減輕學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān).

        二、類比思維能夠促使學(xué)生的知識更加系統(tǒng)

        高中數(shù)學(xué)知識中存在著很多個知識點,這些知識點之間存在著很多的聯(lián)系,如果沒有形成系統(tǒng)意識,很容易造成知識點遺漏、記憶混亂、概念不系統(tǒng)以及記憶不深刻的現(xiàn)象.類比思維通過加強知識之間的聯(lián)系,讓同學(xué)們在各個知識點之間建立聯(lián)系,從而使知識點串成知識線,最后形成知識面,使同學(xué)們在高中數(shù)學(xué)課堂中所學(xué)習(xí)到的知識都處在一個完整的系統(tǒng)之中,方便學(xué)生記憶和運用.同時,通過類比思維的運用,學(xué)生們在所形成的系統(tǒng)知識中能夠發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,實現(xiàn)對知識的深化理解.例如:在等差數(shù)列中,各系數(shù)之間的關(guān)系如下:(n-p)am+(p-m)an=0,同時,m,n,p屬于正整數(shù),n>m>p, ap=0,運用類比思維對其在等比數(shù)列中的狀況進(jìn)行分析.

        結(jié)論“若等比數(shù)列中ap=1”,得出結(jié)論:an-pm·ap-mn=1.

        解題過程等差的內(nèi)容是和差,等比主要是積商,所以,在等差中( n-p )am表示(n-p)個am相加,類比到等比即是an-pm,就是(n-p)個am相乘,同樣的ap-nmn,將題中的加法變?yōu)槌朔?,可以輕易得出結(jié)論為1.(結(jié)論不為0,主要是等比數(shù)列的性質(zhì)決定的:等比數(shù)列的項不能為零,所以乘積也不能是0,所以結(jié)論只能是1),最后通過計算進(jìn)行檢驗,確實為1(最后能夠得出左式=an-mp=1=右式).

        三、類比思維能夠讓學(xué)生的解題思想更加深入,更具創(chuàng)造力

        類比思維是一種舉一反三的思維,從一個題目中能夠找到另一個題目答案的影子,通過對從不同角度命題的題目進(jìn)行類比,往往能夠發(fā)現(xiàn)新的解題思維,能夠在解題中實現(xiàn)對知識的深化理解.很多學(xué)生在高中數(shù)學(xué)題目的解答過程中不知道題目要用哪部分的知識進(jìn)行解答,沒有對題目形成一個完成的概念,究其原因,就是因為缺乏對知識的深入理解,沒有充分明白出題意圖.通過類比思維的運用,學(xué)生在做題的過程中能夠很清楚地理解出題者要考查的是哪部分知識,并且這部分知識的重難點在哪,常規(guī)思路應(yīng)該如何解答,以及如何通過新的思路進(jìn)行解答等一系列問題.換句話說,就是掌握了類比思維,學(xué)生的解題思想能夠更加深入,更加符合數(shù)學(xué)邏輯,更有創(chuàng)造力.

        例如:三角形的面積S=1/2(n+m+p)r, n ,m, p是表示三角形的三個邊的邊長,r是三角形內(nèi)切圓的半徑,試運用類比思維推導(dǎo)三棱錐的體積.

        答案:V=1/3Sr,S是三棱錐表面積,r是內(nèi)切球半徑.

        思路如下:由二維到三維,故內(nèi)切圓應(yīng)該變?yōu)閮?nèi)切球,此即答案中r的由來,至于總長度(a+b+c)就應(yīng)該拓展為三棱錐總面積,即其表面積S,至于1/3的來法可以被理解為二維到三維中的“2”到“3”.

        四、類比思維能夠促使學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中不斷提出新的問題

        在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師可以加以引導(dǎo),指導(dǎo)學(xué)生開辟新的領(lǐng)域,從而完成對所知識的深化和升華.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師應(yīng)該對學(xué)生的類比思維加以指導(dǎo),鼓勵學(xué)生進(jìn)行類比思維,并且在類比思維的過程中不斷地提出新問題,解決新問題,從而達(dá)到源于課本,高于課本;源于知識,高于知識的境界.

        例如,在高考數(shù)學(xué)題目中,經(jīng)常有按照課本知識進(jìn)行等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法,在這類題目的解答過程中,一般都可以通過參考課本中對于相關(guān)共識進(jìn)行推導(dǎo)的方法來解決.通過對各因式進(jìn)行仔細(xì)觀察和分析,利用跟其特性相關(guān)的推導(dǎo)方法進(jìn)行試代入和試推理,都能夠得到理想的結(jié)果.

        這類題目一般都從小中見大,從平常中見創(chuàng)新,利用對課本知識的理解來解決新的題目.這種類比解題思路能夠促使學(xué)生們在對課本知識的學(xué)習(xí)過程中超出課本,以課本知識為原點不斷地進(jìn)行發(fā)散思維和類比思維的培養(yǎng),在實際的學(xué)習(xí)和解題過程中做到舉一反三,達(dá)到以一當(dāng)百的效果.

        綜上所述,類比思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題的過程中有著非常巨大的作用,能夠促進(jìn)學(xué)生對新舊知識進(jìn)行對比,加強學(xué)生新舊知識之間的聯(lián)系、能夠促使學(xué)生的知識更加系統(tǒng)、能夠讓學(xué)生的解題思想更加深入,更具創(chuàng)造力、能夠促使學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中不斷提出新的問題.所以我們在通常的數(shù)學(xué)教學(xué)和解題過程中應(yīng)該充分利用各種條件對學(xué)生的類比思維加以培養(yǎng)和鼓勵,使學(xué)生們能夠從類比思維中充分受益.

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