李 寧，劉希強

(2+1)維Kadomtsov-Petviashvili-Joseph- Egri方程的李對稱分析和精確解

*李 寧，劉希強

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東，聊城 252059)

利用經(jīng)典李群方法，得到 (2+1)維Kadomtsov-Petviashvili-Joseph-Egri方程的經(jīng)典李點對稱，并利用對稱得到該方程的一些相似約化，通過求解約化方程，得到了該方程的很多精確解，包括雙曲函數(shù)解，雅可比橢圓函數(shù)解，三角函數(shù)解，有理函數(shù)解，冪級數(shù)解等。

經(jīng)典李群方法；(2+1)維Kadomtsov-Petviashvili-Joseph-Egri方程；精確解；對稱；約化

隨著科技的發(fā)展，人們對非線性發(fā)展方程越來越關(guān)注，尋找非線性發(fā)展方程的精確解就變得更為重要。為了求解非線性發(fā)展方程的精確解，國內(nèi)外學(xué)者提出很多行之有效的方法如雅克比橢圓函數(shù)展開法[1]，tanh展開法[2]，經(jīng)典和非經(jīng)典李群方法[3-6]，指數(shù)函數(shù)展開法[7-8]，貝克隆變換法[9]，廣義代數(shù)法[10]等。其中，經(jīng)典李群方法是最有效的方法之一。本文將利用經(jīng)典李群方法考慮以下(2+1)維Kadomtsov-Petviashvili-Joseph-Egri ( KP-JE )方程

本文組成如下：第一部分，給出經(jīng)典對稱的定義和相關(guān)結(jié)論，并利用其得到了方程(1)的經(jīng)典對稱；第二部分，利用得到的對稱對方程(1)進行約化求解，并得到了一些新精確解；第三部分給出簡單的結(jié)論。

1 KP-JE的經(jīng)典對稱

以下考慮N階非線性發(fā)展方程

首先給出經(jīng)典對稱[12]的定義和一個相關(guān)定理[13]

定義 1 經(jīng)典李點對稱

如果方程(2)是在以下變換下的一個不變量

稱為一個經(jīng)典李點對稱，簡稱對稱。

定理 1 如果向量場 (4) 是方程(2)的一個李點對稱當(dāng)且僅當(dāng)

其中

是向量場的階延拓。

以下利用定理1求解方程(1)李點對稱。方程(1)的向量場可以表示為

由定理1可以得到(5)四階延拓

利用李群方法，解超定方程組可得方程(1)李點對稱為

對稱群2，3和4表示方程(1)解的時空不變性，1表示方程(1)解伽利略伸縮不變性。由以上對稱群1，2，3和4，可以得到方程(1)的不變解為

如果選取文獻[11]中方程(1)的一個三角周期解

注1利用以上不變解(9)與文獻[11]中的解，可以得到方程(1)更多的新精確解，由此文獻[11]中的解得到了推廣。

2 KP-JE方程的相似約化和精確解

為了得到方程(1)的精確解，須先求解以下特征方程組

解方程組(10)，得到以下三組約化方程 (參見表1)。

表1 方程(1)的相似約化方程

以下考慮情況1和情況2。

情況 1

為了求解方程(11)，以下再次利用李群方法約化方程(11)。

方程(12)相應(yīng)的向量場可設(shè)為

重復(fù)以上過程，可得方程(12)李點對稱為

從而得到相應(yīng)的特征方程組為

類似地，解方程組(15) ，得到以下兩組相似約化方程(參見表2)。

表2 方程(11)的相似約化方程

情況1.1

(17)

將(18) 和(17) 帶入 (16) ，可得以下兩組解

情況1.1.1

情況1.1.2

其中是非零常數(shù)。

情況1.1.1 (a) 雅克比橢圓函數(shù)解

情況1.1.1 (b) 鐘狀解 (見圖1)

圖1 解ub.1 (鐘狀解) 參數(shù)為

情況1.1.1 (c) 扭結(jié)狀解(見圖2)

情況1.1.1(d) 奇異解

情況1.1.1 (e) 三角周期解 (見圖3)

情況 1.1.2 (a) 有理函數(shù)解

情況1.1.2 (b) 三角周期解(見圖4)

圖4 解ug.1 (三角周期解)參數(shù)為

Fig. 4 Solution ug.1 is shown at (triangular profile solution)

情況 1.2

以下利用冪級數(shù)法求解方程(19)的解，設(shè)方程(19)有以下形式的解

由方程(19)，得到

由以上過程，可得方程(1) 的冪級數(shù)解為

情況2

將(26) 和(27)代入(25)，得到

由此可以得到以下解：

情況2.1 (a) 雙曲函數(shù)解

情況 2.1 (b) 三角周期解

假設(shè)方程(25) 有以下形式的解

將(29)和(30)代入(25)，可得

得到以下三種形式的解：

情況 3與情況 1.2類似，此處省略。

注 2 本文得到的方程(1)的精確解均已經(jīng)Maple軟件檢驗。

3 結(jié)論

本文利用經(jīng)典李群方法研究了KP-JE方程，得到該方程的李點對稱，李代數(shù)和相似約化。通過使用再次李群方法，把KP-JE方程約化為常微分方程，得到了該方程多種精確解，這些解在解釋復(fù)雜物理現(xiàn)象有很重要的作用。

[1] Fan Engui, Zhang Jian. Applications of the Jacobi elliptic function method to special-type nonlinear equations [J]. Phys. Lett. A, 2002, 305: 383-392.

[2] Wazwaz A M. The extended tanh method for new compact and noncompact solutions for the KP-BBM and the ZK-BBM equations [J]. Chaos, Solitons and Fractals , 2008,38: 1505-1516.

[3] Zhang Yingyuan, Wang Gangwei, Liu Xiqiang. Symmetry reductions and explicit solutions of the (2+1)-dimensional nonlinear evolution equation [J]. Chinese Journal of Quantum Electromics, 2012, 29: 411-416(in Chinese).

[4] Chen Yong,Yan Zhenya, Zhang Hongqing. New explicit solitary wave solutions for (2+1)-dimensional Boussinesq equation and(3+1)-dimensional KP equation [J]. Phys. Lett. A, 2003, 307: 107-13.

[5] Liu Na, Liu Xi-qiang. Similarity reductions and similarity solutions of the (3+1)-dimensional Kadomtsev -Petviashvili equation [J]. Chin. Phys. Lett.,2008,25: 3527-3530.

[6] Chen Mei, Liu Xiqiang.Symmetries and Exact Solutions of the Breaking Soliton Equation [J].Commun. Theor. Phys., 2011, 56 : 851-855.

[7] He Jihuan. Exp-function method for nonlinear wave equation [J]. Chaos, Solitions and Fractals, 2006, 30: 700-708.

[8] He Jihuan, Abdou M A. New periodic solutions for nonlinear evolution equations using exp-function method [J].Chaos,Soliton and Fractals,2007,34: 1421-1429.

[9] Zait R A. B?cklund transformations, cnoidal wave and traveling wave solutions of the SK and KK equations [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2003, 15: 673-678.

[10] Bai Chenglin, Bai Chengjie, Zhao Hong. A new generalized algebraic method and its application in nonlinear evolution equations with variable coefficients [J]. Z. Naturforsch, 2005, 60a: 211-220.

[11] Taghizadeh N, Mirzazadeh M. Analytic investigation of the KP-Joseph-Egri equation for traveling wave solutions [J]. Appl. Math, 2011, 6: 292-303.

[12] Olver P J. Applications of Lie group to differential equations [M]. New York: Springer, 1993.

[13] Tang Xiaoyang, Qian Xianmin, Ji Lin, et al. Conditional similarity reductions of the (2+1)- dimensional KdV equation via the extended Lie group approach [J]. J. Phys. Soc. Japan, 2004, 6: 1464-1475.

[14] Zhao Xue-qin, Zhi Hong-yan, Zhang Hong-qing. Improved Jacobi-function method with symbolic computation to construct new double-periodic solutions for the Generalized Ito system [J]. Chaos, solitons and Fractals, 2006, 28: 112-116.

[15] Wang Dengshan, Li Hongbo. Elliptic equation’s new solutions and their applications to two nonlinear partial differential equations [J]. Appl. Math.Comput, 2007, 188: 762-771.

[16] Yomba E. On exact solutions of the coupled Klein–Gordon–Schr?dinger and the complex coupled KdV equations using mapping method [J].Chaos, solitons and Fractals, 2004, 2: 209-229.

[17] Lu Dianchen, Hong Baojian. New exact solutions for the (2+1)-dimensional Generalized Broer-Kaup system[J]. Appl. Math. Comput, 2008, 199: 572-580.

LIE SYMMETRY ANALYSIS AND EXACT SOLUTION OF (2+1)-DIMENSIONAL KADOMTSOV-PETVIASHVILI-JOSEPH- EGRI EQUATION

*LI Ning，LIU Xi-qiang

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng, Shandong 252059, China)

Based onthe classical Lie group method, we obtain the classical Lie point symmetry of the (2+1)-dimensional Kadomtsov-Petviashvili-Joseph-Egri (KP-JE for short) equation. Using the symmetries, we find some classical similarity reductions of KP-JE equation. Many kinds of exact solutions of the KP-JE equation are derived by solving the reduced equations, including the elliptic functions , the rational functions，the hyperbolic functions, the trigonometric functions, the power series solution.

classical Lie group method; (2+1)-dimensional KP-JE equation; exact solutions; symmetry; reduction

O175.29

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.02.002

1674-8085(2014)02-0007-07

2013-05-23；

2013-07-16

國家自然科學(xué)基金和中國工程物理研究院聯(lián)合基金項目(11076015)

*李 寧(1981-)，男，山東棗莊人，碩士生，主要從事非線性偏微分方程解的研究(E-mail:ln1011@163.com);

劉希強(1957-)，男，山東菏澤人，教授，博士，主要從事非線性微分方程系統(tǒng)研究(E-mail: liuxiq@sina.com).