謝黎峰，許德章

雙E型六維力傳感器矩形梁強(qiáng)迫振動(dòng)分析

*謝黎峰1,2，許德章1,2

（1.安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽，蕪湖 241000；2.安徽工程大學(xué)先進(jìn)數(shù)控和伺服驅(qū)動(dòng)技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，安徽，蕪湖 241000）

六維力傳感器彈性體一般采用組合梁結(jié)構(gòu)，每個(gè)分方向的輸出信號(hào)中不可避免地存其它分方向的受力信號(hào)的耦合輸出。在動(dòng)載工作條件下，六維力傳感器動(dòng)態(tài)耦合輸出非常復(fù)雜。為了從理論上揭示六維力傳感器動(dòng)態(tài)耦合輸出的主要特征，本文以雙E型六維力傳感器中的矩形梁為對(duì)象，建立力學(xué)模型，采用彈性力學(xué)基本理論和達(dá)朗貝爾原理，選取矩形梁前三階振型，推導(dǎo)出其它五個(gè)分方向受力在Mz主方向的動(dòng)態(tài)耦合輸出，并繪制出動(dòng)態(tài)應(yīng)變圖，為六維力傳感器動(dòng)態(tài)解耦提供了理論依據(jù)。

六維力傳感器；耦合；矩形梁；彈性力學(xué)；應(yīng)變

六維力傳感器用于測(cè)量三維空間的全力信息，即空間直角坐標(biāo)系中，沿X、Y、Z三根軸線方向上的線性力Fx、Fy、Fz及繞X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩Mx、My、Mz[1]。目前，六維力傳感器通常采用將電阻應(yīng)變片貼在組合梁彈性體表面的結(jié)構(gòu)。由于組合梁的整體式結(jié)構(gòu)，六維力傳感器任意一個(gè)方向的輸出信號(hào)幾乎與每一個(gè)力分量和力矩分量相關(guān)，屬于耦合型結(jié)構(gòu)，必須要進(jìn)行解耦才能得到所需要的力信號(hào)[2]。六維力傳感器的解耦一般可以分成靜態(tài)解耦與動(dòng)態(tài)解耦，從現(xiàn)有文獻(xiàn)可以看出六維力傳感器的靜態(tài)解耦研究已經(jīng)非常深入，而動(dòng)態(tài)解耦研究則較少。

針對(duì)電阻應(yīng)變片式六維力傳感器的動(dòng)態(tài)解耦問(wèn)題，可以將動(dòng)態(tài)解耦的方法大致上分為：不基于力學(xué)模型的解耦方法和基于力學(xué)模型的解耦方法。在不基于力學(xué)模型的解耦方法研究方面：中科院合肥智能研究所在自主研制的力/力矩標(biāo)定試驗(yàn)臺(tái)上，通過(guò)剪斷吊砝碼的繩索給被測(cè)力/力矩傳感器施加階躍激勵(lì)力的方式，對(duì)六維力傳感器動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行初步研究；合肥工業(yè)大學(xué)徐科軍等，基于不變性解耦的原理，提出了迭代動(dòng)態(tài)解耦方法，對(duì)六維力傳感器動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行更進(jìn)一步研究；東南大學(xué)宋國(guó)民等，提出利用矩陣對(duì)角優(yōu)勢(shì)化的方法設(shè)計(jì)補(bǔ)償環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣成為對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，實(shí)現(xiàn)弱化系統(tǒng)耦合的目的；哈爾濱工業(yè)大學(xué)丁明理等在傳遞函數(shù)矩陣分析法的基礎(chǔ)上，應(yīng)用小生境遺傳算法進(jìn)行解耦設(shè)計(jì)，直接利用多維力傳感器的標(biāo)定數(shù)據(jù)求解并優(yōu)化解耦網(wǎng)絡(luò)，避免建立多維力傳感器傳遞函數(shù)模型的環(huán)節(jié)[3-6]。從這些解耦方法不難看出，由于避開(kāi)六維力傳感器動(dòng)態(tài)耦合的力學(xué)本質(zhì)，缺少必要的理論依據(jù)，難以獲得理想的動(dòng)態(tài)解耦結(jié)果。在基于力學(xué)模型的解耦方法研究方面，國(guó)內(nèi)外均極少涉及，合肥工業(yè)大學(xué)劉正士教授和合肥智能機(jī)械研究所葛運(yùn)建研究員等，曾試圖將六維力傳感器彈性體簡(jiǎn)化成六個(gè)集中質(zhì)量的二階阻尼系統(tǒng)，利用脈沖激勵(lì)法對(duì)其動(dòng)態(tài)性能做簡(jiǎn)單分析[7]，精確性與六維力傳感器彈性體真實(shí)的力學(xué)特性相差甚遠(yuǎn)。本文從六維力傳感器的動(dòng)態(tài)耦合本質(zhì)入手，基于彈性力學(xué)基本理論和達(dá)朗貝爾原理，對(duì)復(fù)雜彈性結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，建立簡(jiǎn)單的力學(xué)模型，充分揭示彈性體動(dòng)力學(xué)特性[8-9]。

本文以雙E型六維力傳感器為例[10]，選取測(cè)量Mz方向力矩的彈性體矩形梁為研究對(duì)象，根據(jù)不同受力情況，將彈性體簡(jiǎn)化成梁、桿等力學(xué)模型，結(jié)合邊界條件，推導(dǎo)出其他五個(gè)分方向受力在Mz主方向的動(dòng)態(tài)耦合輸出，為動(dòng)態(tài)解耦提供理論依據(jù)。

1 雙E型六維力傳感器的結(jié)構(gòu)和受力

1.1 六維力傳感器結(jié)構(gòu)

雙E型六維力傳感器結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中上下E型膜5、7及矩形梁2構(gòu)成傳感器的彈性體，用于感知六維力和力矩；底座8、中心支柱6、中間傳力環(huán)4及上傳力環(huán)3可看作剛體；1為電阻應(yīng)變片，貼在彈性體的表面。矩形梁各項(xiàng)參數(shù)見(jiàn)表1。

圖1 六維力傳感器的結(jié)構(gòu)

1.2 六維力傳感器彈性體力學(xué)模型的建立

給雙E型六維力傳感器施加載荷時(shí)，是將載荷作用在與上傳力環(huán)通過(guò)螺釘連接的加載帽（圖1中未畫(huà)出）上。由于彈性體矩形梁與上傳力環(huán)也連接在螺釘所在的位置，載荷被直接傳遞到矩形梁的邊界上，產(chǎn)生如下四種受力情況：

（1）在六維力傳感器受到動(dòng)載荷Fz、Mx作用時(shí)，矩形梁1受力情況一致，如圖2、圖3所示，其一邊都受到沿z軸方向的動(dòng)載荷，另一邊假定為固支邊，整個(gè)矩形梁受力簡(jiǎn)化為梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)；

（2）在六維力傳感器受到動(dòng)載荷My作用時(shí)，矩形梁1產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，根據(jù)彈性力學(xué)，矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)理論求解該方向；

（3）在六維力傳感器受到動(dòng)載荷Fx、Mz作用時(shí)，矩形梁1受力情況一致，其一邊都受到沿x軸方向的動(dòng)載荷，另一邊假定為固支邊，整個(gè)矩形梁受力簡(jiǎn)化為薄板的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)；

（4）在六維力傳感器受到動(dòng)載荷Fy作用時(shí)，如圖4、圖5所示，矩形梁1一邊受到沿y軸方向的動(dòng)載荷，另一邊假定為固支邊，將矩形梁受力簡(jiǎn)化為為桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)。

經(jīng)計(jì)算，動(dòng)載荷My作用時(shí)矩形梁1表面四個(gè)電阻應(yīng)變片的橋路輸出，即在Mz主方向的耦合輸出為0；動(dòng)載荷Fx作用時(shí)矩形梁1的變形與Mz主方向動(dòng)載荷作用時(shí)情況一致，文獻(xiàn)[9]已經(jīng)求解出。因此，本文只討論分方向動(dòng)載荷Fz、Mx作用時(shí)梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)和動(dòng)載荷Fy作用時(shí)桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題。

表1 矩形梁相關(guān)參數(shù)

圖2 傳感器受Fz方向動(dòng)載

圖3 矩形梁受Fz方向動(dòng)載

圖4 傳感器受Fx方向動(dòng)載

圖5 矩形梁受Fx方向動(dòng)載

2 六維力傳感器彈性體強(qiáng)迫振動(dòng)分析

2.1 矩形梁橫向強(qiáng)迫振動(dòng)分析

根據(jù)梁的橫向自由振動(dòng)方程，對(duì)梁的主振動(dòng)進(jìn)行假設(shè)，推導(dǎo)得到梁的主振動(dòng)：

定義（1）式中

為振型函數(shù)。根據(jù)傳感器中矩形梁橫向強(qiáng)迫振動(dòng)的實(shí)際情況，假設(shè)梁零初始條件下的響應(yīng)：

2.2 桿縱向強(qiáng)迫振動(dòng)分析

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，推導(dǎo)出桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程。設(shè)方程中縱向動(dòng)載荷為零，得桿縱向自由振動(dòng)方程，由此推導(dǎo)出等直桿的主振動(dòng)：

定義（4）式中

為振型函數(shù)。根據(jù)桿第i階正則坐標(biāo)方程解的假設(shè)，以及傳感器中矩形彈性體1縱向強(qiáng)迫振動(dòng)的實(shí)際情況，假設(shè)桿零初始條件下的響應(yīng)：

3 算例

3.1 矩形梁橫向強(qiáng)迫振動(dòng)算例

將（7）式代入（2）式，得：C3=-C1，C4=-C2以及βl，如表2所示。

根據(jù)固有頻率公式：

代入各數(shù)值，可以求出前3階固有頻率，見(jiàn)表2。

又由C3=-C1，C4=-C2將（2）式改寫(xiě)成：

根據(jù)主陣型正交性歸一化條件：

求解出1i，并將1i、β代入（9）式得前三階振型函數(shù)Y()，代入桿長(zhǎng)l得Y(1)，以上求解出的各個(gè)參數(shù)值見(jiàn)表2。

表2 梁橫向振動(dòng)前3階固有頻率及振型函數(shù)

根據(jù)動(dòng)載荷Fz、Mx作用時(shí)梁橫向強(qiáng)迫振動(dòng)的力學(xué)模型假設(shè)，作用在梁上的是單一集中載荷，且沒(méi)有集中力偶矩作用，由(3)式得梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為：

本文假設(shè)作用在梁邊界上動(dòng)載荷的表達(dá)式為：q=sin(-l)，為動(dòng)載荷的幅值，()為狄拉克函數(shù)。那么，（11）式中的集中力()滿足：q=sin(-l)=()(-l)。

借助MATLAB軟件，將上面計(jì)算出的各個(gè)參數(shù)代入公式（11），得到梁零初始條件下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為：

參照薄板假設(shè)理論，本文只考慮εx、εy、γxy。根據(jù)伯努利-歐拉梁的假設(shè)：梁的各截面的中心主慣性軸在同一平面xoz內(nèi)，外載荷也作用在該平面內(nèi)，梁在該平面內(nèi)作橫向振動(dòng)，所以εy=0，此時(shí)梁的主要變形是彎曲變形。因?yàn)棣觴y=0(垂直于x軸沿y軸方向的切應(yīng)力)所以由物理方程得γxy=2(1+μ)τxy/E=0。所以εx就是梁橫向強(qiáng)迫振動(dòng)的輸出。

根據(jù)空間問(wèn)題幾何方程我們推導(dǎo)出響應(yīng)與應(yīng)變之間的關(guān)系式只與位置變量x有關(guān)：

由于電阻應(yīng)變片居中貼在彈性體表面，式（12）中取/2，同理借助MATLAB軟件，我們得到方向線應(yīng)變：

在ε中取系數(shù)=1。根據(jù)工程中機(jī)械手動(dòng)態(tài)力帶寬實(shí)際范圍，繪制出激勵(lì)頻率2kHz-4kHz梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)沿x方向線應(yīng)變的動(dòng)態(tài)曲面圖（圖6）：

圖6 橫向振動(dòng)動(dòng)態(tài)應(yīng)變

3.2 桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)算例

根據(jù)Fy作用時(shí)矩形截面桿縱向強(qiáng)迫振動(dòng)的受力分析，如圖5所示，將彈性體矩形梁簡(jiǎn)化為左端固支、右端自由的等直桿，滿足簡(jiǎn)單邊界條件假設(shè)：

將邊界條件（13）代入（5）式求解出固有頻率公式和主振型公式：

將各參數(shù)值代入式（14），可以求出前3階固有頻率ω。

根據(jù)主振型正交性歸一化條件：

求解出li，并將li代入（15）式得前三階振型函數(shù)U()，代入桿長(zhǎng)得U()，以上求解出的各參數(shù)值見(jiàn)表3。

表3 桿縱向振動(dòng)前3階固有頻率及振型函數(shù)

同理，假設(shè)作用在梁邊界上動(dòng)載荷的表達(dá)式為：q=sin(-l)，所以（6）式中的集中力()滿足：()=sin。借助MATLAB軟件，將上面計(jì)算出的各個(gè)參數(shù)代入公式（6），得到桿零初始條件下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)：

與梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)同理，εy=0γxy=0。

所以，彈性體沿x軸方向的應(yīng)變?chǔ)舩就是桿縱向強(qiáng)迫振動(dòng)的輸出。同理，在εx中取系數(shù)=1時(shí)，繪制出激勵(lì)頻率2kHz-4kHz下桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)沿方向線應(yīng)變的動(dòng)態(tài)曲面圖（圖7）：

圖7 縱向振動(dòng)動(dòng)態(tài)應(yīng)變

4 矩形梁模態(tài)分析

通過(guò)矩形梁的模態(tài)分析，得出其固有頻率的數(shù)值解，可以對(duì)解析解的結(jié)果進(jìn)行論證，具有十分重要的意義。根據(jù)表1中矩形梁的材料和尺寸參數(shù)，并考慮到解耦精度和計(jì)算量，通過(guò)ANSYS有限元分析軟件得出矩形梁的前三階固有頻率如圖8所示。

圖8 矩形梁前3階振型數(shù)值仿真

理論上，通過(guò)壓電陶瓷激振器激勵(lì)傳感器彈性體，輸出信號(hào)頻域響應(yīng)曲線的第一個(gè)峰值就是彈性體的一階固有頻率，后面幾個(gè)峰是高階固有頻率。而實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)很小，是由于現(xiàn)有壓電陶瓷激振器工作頻率的極限只能達(dá)到1000 Hz，實(shí)驗(yàn)時(shí)所觀測(cè)到的峰有可能是噪聲信號(hào)所致，在無(wú)法觀測(cè)到更高頻率峰值的情況下，實(shí)驗(yàn)方法不能確認(rèn)六維力傳感器彈性體的固有頻率。因此，現(xiàn)階段實(shí)驗(yàn)手段提取六維力傳感器動(dòng)態(tài)特征有很大的局限性。

表4 固有頻率的三種解（單位：Hz）

5 結(jié)論

綜合上述分析，本文提出的解析法避開(kāi)了現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)手段的局限性，基于彈性力學(xué)、振動(dòng)力學(xué)理論，適當(dāng)簡(jiǎn)化彈性體結(jié)構(gòu)和邊界條件，建立力學(xué)模型，提取動(dòng)態(tài)耦合特征，求解過(guò)程為動(dòng)態(tài)解耦提供了理論基礎(chǔ)。

本文以測(cè)量Mz方向力矩的彈性體矩形梁為例，從動(dòng)力學(xué)角度分析了耦合產(chǎn)生的根本原因，求解出了前三階固有頻率、振型函數(shù)以及動(dòng)態(tài)輸出，并根據(jù)傳感器的工作帶寬，進(jìn)行了仿真，為六維力傳感器動(dòng)態(tài)解耦提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

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Forced Vibration Analysis of Rectangular Beam of Six-Axis Force Sensor Based on Double Layer E-type Membrane

*XIE Li-feng1, 2, XU De-zhang1, 2

（1.School of Mechanical and Automotive Engineering, Anhui Polytechnic University, Wuhu, Anhui 241000, China; 2.Advanced Numerical & Servo Technology, Anhui Polytechnic University, Wuhu, Anhui 241000, China）

Elastic body of six-axis force sensor used to adopt the structure of composite beam. Signal of each splitter direction inevitable contains the coupling-out of forced signal from the other splitter directions. Under the condition of dynamic loads, dynamic coupling-out of six-axis force sensor is very complicated. To reveal the main characteristic of dynamic coupling-out which six-axis force sensor indicates in theory, we study the rectangular beam of six-axis force sensor based on double layer E-type membrane, establish the mechanical models, use the basic theory of elastic mechanics and d'alembert's principle, adopt the first three order modal shapes of the rectangular beam and deduce the dynamic coupling-out which the other five splitter directions act on Mzwhich is the main direction. Finally, figures of dynamic strain will be plotted and the theoreticalbasis for dynamic decoupling of six-axis force sensor has been provided.

six-axis force sensor; coupling; rectangular beam; theory of elastic mechanics; strain

O326

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.02.013

1674-8085(2014)02-0061-06

2013-09-26；

2014-01-30

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51175001)；安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11040606M144)

*謝黎峰(1988-)，男，安徽蕪湖人，碩士生，主要從事機(jī)器人與信息感知研究(E-mail:304246668@qq.com)；

許德章(1964-)，男，安徽蕪湖人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事機(jī)器人感知研究(E-mail:xdz@ahpu.edu.cn).