郭文軍+黃江偉

摘要：量子力學(xué)中的表象變換是一個(gè)重要問(wèn)題，它的研究不僅對(duì)于深入理解量子力學(xué)的基本觀點(diǎn)至關(guān)重要，而且對(duì)于如何利用量子力學(xué)觀點(diǎn)處理具體問(wèn)題也非常重要。本文利用牛頓力學(xué)中坐標(biāo)系的觀點(diǎn)，解釋量子力學(xué)中為什么要引入表象變換的概念它和坐標(biāo)變換的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：表象變換；參照系；坐標(biāo)變換

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）44-0183-04

一、前言

量子力學(xué)是近代物理的兩大支柱之一，它的建立是20世紀(jì)劃時(shí)代的成就之一，可以毫不夸張的說(shuō)沒有量子力學(xué)的建立，就沒有人類的現(xiàn)代物質(zhì)文明[1，2]。量子力學(xué)在近代物理中的地位如此之重，成為物理本科專業(yè)學(xué)生最重要的課程之一，也是大多數(shù)學(xué)校招考物理專業(yè)研究生的必考科目之一。但在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生普遍感到量子力學(xué)難學(xué)，其抽象的思維方式和學(xué)生長(zhǎng)期受到的牛頓力學(xué)思維方式格格不入，造成學(xué)生無(wú)所適從。在筆者幾年的教學(xué)活動(dòng)中，尤其在講授“表象變換”一節(jié)時(shí)，學(xué)生更是感到無(wú)從著手、難于理解，所以筆者認(rèn)為有必要對(duì)表象變換的教學(xué)方法進(jìn)行研討。

筆者認(rèn)為量子力學(xué)的難，主要在于以下幾點(diǎn)。

1.量子力學(xué)中的能量、動(dòng)量、角動(dòng)量量子化問(wèn)題，相對(duì)于經(jīng)典力學(xué)有很大不同。例如電子從一條經(jīng)典軌道瞬時(shí)躍遷到另一條經(jīng)典軌道，按牛頓力學(xué)來(lái)說(shuō)完全無(wú)法解釋。

2.微觀粒子的波粒二象性，帶來(lái)很多新的物理現(xiàn)象，例如隧道效應(yīng)、糾纏態(tài)等，也是經(jīng)典物理無(wú)法想象的事情。經(jīng)典物理中的決定論演化成了量子力學(xué)基金中的概率論。

3.態(tài)疊加原理，幾種量子態(tài)共存，很好地反映了微觀粒子的波動(dòng)—粒子兩象性的特點(diǎn)，而與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用每一時(shí)刻的坐標(biāo)和動(dòng)量描述有根本的區(qū)別，造成薛定諤貓的悖論，于是有了量子力學(xué)中的貓非死非活的狀態(tài)與宏觀世界的矛盾。

針對(duì)以上的難點(diǎn)，我們要以正確的態(tài)度看待量子力學(xué)，眾所周知，經(jīng)典力學(xué)規(guī)律很接近我們的現(xiàn)實(shí)生活，很容易被我們接受，且被證實(shí)是相當(dāng)正確的，而量子力學(xué)給我們的印象只適用于微觀世界，其實(shí)不然，它不僅適用于微觀世界也同樣支配著宏觀世界，所以我們要以物理的角度理解量子力學(xué)。物理專業(yè)的學(xué)生經(jīng)過(guò)幾年經(jīng)典物理的熏陶，思想上已經(jīng)認(rèn)可了經(jīng)典物理的基本觀點(diǎn)，而量子力學(xué)推翻了部分經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)，讓學(xué)生不知道哪種觀點(diǎn)才是正確的。本文從大家熟知的牛頓力學(xué)中坐標(biāo)變換的方法出發(fā)，講述量子力學(xué)中的表象變換問(wèn)題，力圖為學(xué)生揭開表象變換的神秘面紗，才能讓學(xué)生更容易從經(jīng)典力學(xué)思維轉(zhuǎn)換到量子力學(xué)的思維模式。

量子力學(xué)中的表象就是用物理量的概率分布表示微觀體系中的狀態(tài)，它可以類比經(jīng)典力學(xué)中的坐標(biāo)，同樣其表象變換和經(jīng)典力學(xué)的坐標(biāo)變換有一定的相似度，所以接下來(lái)，先從牛頓力學(xué)中的坐標(biāo)變換深入態(tài)疊加原理及表象變換，就可以使學(xué)者更易理解量子力學(xué)。

二、牛頓力學(xué)中的坐標(biāo)變換

為了描述三維空間中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，我們常采用直角坐標(biāo)系的方法。標(biāo)記為A（x，y，z，t），也可寫為矢量的形式。

■（t）■=x（t）■+y（t）■+z（t）■ （1）

這里■，■，■分別為X、Y、Z三個(gè)方向的單位矢量（坐標(biāo)基矢），都滿足歸一化條件：■·■=1，■·■=1，■·■=1。而x（t）、y（t）、z（t）分別是三個(gè)方向的分量大小。式（1）表明，任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都可以分解為三個(gè)簡(jiǎn)單的一維運(yùn)動(dòng)，這是牛頓力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)疊加原理。而這三個(gè)方向的選取并不是任意的，而是要求兩兩正交，相互獨(dú)立，即：■·■=0，■·■=0，■·■=0，這樣如果質(zhì)點(diǎn)在■方向上運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，不會(huì)改變■和■方向的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。另外對(duì)于空間任意一點(diǎn)都可以表示成公式（1）的形式，說(shuō)明三個(gè)坐標(biāo)基矢是完備的。采用這樣的正交歸一完備的坐標(biāo)系后，對(duì)于三維牛頓力學(xué)的求解大為簡(jiǎn)化，以此引出速度的合成分解、力的合成分解等方法。

如果這個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一球殼上運(yùn)動(dòng)，那么采用球坐標(biāo)計(jì)算比較簡(jiǎn)單，質(zhì)點(diǎn)的位置可記作（r，θ，φ），其運(yùn)動(dòng)方程可寫為：■（t）=a■（t）■+a■（t）■+a■（t）■，當(dāng)然這里的三個(gè)單位矢量■，■，■也為兩兩正交，相互獨(dú)立，組成完備體系。如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)矢量可簡(jiǎn)寫為r（t）=θ（t），經(jīng)過(guò)位移和角位移的變換，速度和角速度的變換，加速度和角加速度的變換后，直線運(yùn)動(dòng)的公式完全轉(zhuǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)的公式，可見經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)變換，原本非常復(fù)雜的圓周運(yùn)動(dòng)和一維直線運(yùn)動(dòng)本質(zhì)上得到了統(tǒng)一。

直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如公式（2）所示，相應(yīng)的兩組坐標(biāo)系的基矢之間總可以寫成下列形式的關(guān)系。

x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθ？圯■=x■■+x■■+x■■■=y■■+y■■+y■■■=z■■+z■■+z■■ （2）

由公式（2）我們可以得到同一位置矢量r（x，y，z）或r（r（r，θ，φ）在不同的坐標(biāo)系中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式（3），也就是說(shuō)我們只要求得了坐標(biāo)變換矩陣S，就很容易在不同坐標(biāo)系中任意變換。

x（t）y（t）z（t）=x■x■x■y■y■y■z■z■z■r（t）θ（t）φ（t）？圯

r（x，y，z）=Sr（r，θ，φ） （3）

由上述分析我們可以知道，針對(duì)不同的問(wèn)題，采用合適的坐標(biāo)系可以使問(wèn)題的處理大大簡(jiǎn)化，復(fù)雜的二維、三維問(wèn)題可以當(dāng)作一維問(wèn)題處理。為此我們創(chuàng)造了各種的坐標(biāo)系，例如直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、極坐標(biāo)等。而坐標(biāo)系的選取最重要的原則是每個(gè)坐標(biāo)的單位矢量?jī)蓛烧?，相互?dú)立，組成完備系統(tǒng)。

三、態(tài)疊加原理

態(tài)疊加原理是量子力學(xué)中最重要的觀點(diǎn)，表述如下：如果Ψ■和Ψ■都是量子體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加Ψ=c■ψ■+c■ψ■也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)，推廣到更一般的情況態(tài)可以表示為許多態(tài)的線性疊加[3，4]：endprint

Ψ=c■ψ■+c■ψ■+…+c■ψ■=■c■ψ■ （4）

態(tài)疊加原理的本質(zhì)是由微觀物質(zhì)的波粒二象性所帶來(lái)的。

對(duì)照前一節(jié)表述和公式（1），我們可以給出態(tài)疊加的一種解釋：任何一個(gè)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)可以分解為三個(gè)簡(jiǎn)單的一維運(yùn)動(dòng)的線性疊加；相應(yīng)的任何一個(gè)復(fù)雜的量子態(tài)，可以分解為若干個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單狀態(tài)的線性疊加。這里ψ■表示這一系列簡(jiǎn)單的狀態(tài)（基矢）。但態(tài)疊加原理中并沒有對(duì)基矢做出限制，例如要求基矢間兩兩正交，這樣一種簡(jiǎn)單狀態(tài)（ψ■）發(fā)生了改變，其他相關(guān)狀態(tài)前的系數(shù)也要相應(yīng)改變。說(shuō)明這不是一個(gè)好的坐標(biāo)系，不是一組好的坐標(biāo)基矢。我們需要在這個(gè)問(wèn)題上進(jìn)一步深入研究。

■ψ■=λ■ψ■？搖 （5）

量子力學(xué)基本假設(shè)指出，力學(xué)量算符的本征函數(shù)組成正交完備系。而任意量子狀態(tài)可以由這組正交完備系線性展開。這說(shuō)明以力學(xué)量的本征函數(shù)系作為基矢是一組好的坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的基矢之間兩兩正交、相互獨(dú)立。量子態(tài)用力學(xué)量算符的本征函數(shù)線性展開還有更深刻的物理含義。對(duì)照第二節(jié)內(nèi)容，我們可以這樣理解：在一個(gè)選定的坐標(biāo)系條件下（例如選定坐標(biāo)基矢為動(dòng)量的本征函數(shù)系），一個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是由三方向運(yùn)動(dòng)組合而成，相應(yīng)的一個(gè)量子態(tài)是由各種不同動(dòng)量的狀態(tài)組合而成，這里的每條坐標(biāo)軸基矢代表不同的動(dòng)量取值。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，每次觀測(cè)這個(gè)量子態(tài)，都只能測(cè)量到它的某一個(gè)可能值，所以每次觀測(cè)值不一定相同；但是量子態(tài)投影到各個(gè)方向上的分量大小不同，分量大的觀測(cè)到的幾率就大，所以有了量子力學(xué)的又一個(gè)假設(shè)：結(jié)合（4）、（5）式，在Ψ態(tài)中測(cè)量力學(xué)量F得到結(jié)果為λ■的幾率為c■■。

對(duì)應(yīng)于牛頓力學(xué)中的坐標(biāo)體系，矢量■在各個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為x=■·■，y=■·■，z=■·■，x，y，z分別表示矢量r在各個(gè)方向上所占的比重，比重越大這個(gè)矢量方向越偏向那根坐標(biāo)軸。

這里需要注意一點(diǎn)：一個(gè)量子態(tài)并不是已經(jīng)按照給定的坐標(biāo)系分布好了，等著我們測(cè)量，而是我們?nèi)藶閷?duì)測(cè)量結(jié)果的一種預(yù)期。前面表述只是為了理解上的方便。

四、表象變換

前節(jié)所述每個(gè)力學(xué)量算符的本征函數(shù)都組成正交完備系，都構(gòu)成一組好的坐標(biāo)系。這樣我們就有了無(wú)數(shù)種的坐標(biāo)系可供選擇，在解決具體的量子力學(xué)問(wèn)題中，究竟應(yīng)該選擇什么樣的坐標(biāo)系才能使問(wèn)題最簡(jiǎn)化？前面牛頓力學(xué)中的坐標(biāo)變換已經(jīng)給出了好的答案，按照所求問(wèn)題的形狀、運(yùn)動(dòng)軌跡等選取坐標(biāo)系；所以在量子力學(xué)中，我們應(yīng)該按照所求問(wèn)題的物理量確定坐標(biāo)系，例如我們要觀測(cè)一個(gè)量子態(tài)的動(dòng)量，那就應(yīng)該選取動(dòng)量的本征函數(shù)系作為基矢，展開該量子態(tài)，這樣每次的測(cè)量值、測(cè)量值出現(xiàn)的幾率大小、測(cè)量的平均值等結(jié)果一目了然[5]。

一般描述量子態(tài)都習(xí)慣用坐標(biāo)表象，由前面分析得知，對(duì)于具體的問(wèn)題，我們需要將坐標(biāo)表象轉(zhuǎn)換到相應(yīng)的表象。這樣自然出現(xiàn)了表象變換，可以看出表象變換也就是坐標(biāo)變換。

假設(shè)有F和G兩個(gè)力學(xué)量算符它們的本征值方程分別為。

■ψ■=F■ψ■ ■φ■=G■φ■？搖 （5）

ψ■，φ■分別構(gòu)成完備的坐標(biāo)基矢，任意的波函數(shù)Ψ可在不同表象中展開。

F表象中：Ψ=c■ψ■+c■ψ■+…+c■ψ■=■c■ψ■，其中ψ■為F表象基矢。

G表象中：Ψ=b■φ■+b■φ■+…+b■φ■=■b■φ■，其中φ■為G表象基矢。

上面兩種表象表示的是同一量子態(tài)，只是選取的坐標(biāo)系不同，而且坐標(biāo)系之間可以相互轉(zhuǎn)化。由前面的（1）（2）兩式可以知道。

ψ■=a■φ■+a■φ■+…+a■φ■

ψ■=a■φ■+a■φ■+…+a■φ■

ψ■=a■φ■+a■φ■+…+a■φ■？搖 （6）

即坐標(biāo)表象中的每個(gè)基矢都可以由G表象中的基矢展開。它的物理含義是，ψ■量子態(tài)下每次測(cè)量坐標(biāo)的值都為F■，而這種狀態(tài)下測(cè)量力學(xué)量G的值時(shí)，不一定有確定的值，可能測(cè)量結(jié)果為G、G■、G■…，其中隱含著測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。本來(lái)在坐標(biāo)表象下ψ■的狀態(tài)非常簡(jiǎn)單，可比作一維運(yùn)動(dòng)，而變到了G表象中，狀態(tài)就非常復(fù)雜了，變成了多維運(yùn)動(dòng)。同樣觀測(cè)G力學(xué)量時(shí)，G表象就非常簡(jiǎn)單。這就好比圓周運(yùn)動(dòng)用角描述非常簡(jiǎn)單，而用直角坐標(biāo)描述非常復(fù)雜一樣。

由（6）式我們可以得到兩表象變換的幺正矩陣

S=a■ a■ a■a■ a■ a■a■ a■ a■

幺正變換矩陣的物理含義也非常清楚了，就是一組坐標(biāo)系基矢，在另一組坐標(biāo)系基矢上的投影。有了幺正變換矩陣后，就很容易將一組坐標(biāo)系變換為另一組坐標(biāo)系：

c■c■c■=a■ a■ a■a■ a■ a■a■ a■ a■b■b■b■

五、小結(jié)

本文通過(guò)與牛頓力學(xué)中的坐標(biāo)變換相對(duì)比的方法，闡述了量子力學(xué)中表象變換的基本原理和物理意義。人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界向來(lái)都是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，在牛頓力學(xué)中，我們通過(guò)運(yùn)動(dòng)的分解和坐標(biāo)系的變換，將復(fù)雜的機(jī)械運(yùn)動(dòng)編程簡(jiǎn)單的一維運(yùn)動(dòng)，使求解的難度大為降低。而量子力學(xué)中同樣遵從了這樣的原理，表象變換的主要目的之一，就是化繁為簡(jiǎn)，對(duì)于具體的量子力學(xué)問(wèn)題采用合適的參照系（坐標(biāo)系），使該問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，便于求解。但表象變換和坐標(biāo)變換雖有很多相同點(diǎn)，也有一些不同點(diǎn)，在具體運(yùn)用時(shí)應(yīng)有所區(qū)別，而在學(xué)習(xí)的時(shí)候可以將表象變換類比于坐標(biāo)變換進(jìn)行學(xué)習(xí)，在此基礎(chǔ)上可以更容易地理解表象變換。

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：上海理工大學(xué)量子力學(xué)核心課程建設(shè)

作者簡(jiǎn)介：郭文軍（1976-），男，山西臨汾人，副教授，博士，理論物理方向。endprint