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        不同參照系里的功能關(guān)系

        2014-07-01 08:06:08孫夢家
        關(guān)鍵詞:參照系投球動能定理

        孫夢家

        (景德鎮(zhèn)一中,江西 景德鎮(zhèn) 333000)

        功能關(guān)系是中學(xué)物理乃至整個普通物理學(xué)中非常重要的關(guān)系。不論功還是能都和物體的運(yùn)動有關(guān),而物體的運(yùn)動又和參照系的選取有關(guān),那么功和能與參照系的選取有什么樣的關(guān)系?

        1 問題提出

        某人在以速度v行駛的大船上先后以速率u(相對于船)向船頭和船尾方向投出質(zhì)量m的球。試問,在兩次投球中,他做的功是否相同?

        解1:以地面為參照系,向船頭投球時(shí),球的動能的增量為:

        向船尾投球時(shí),球的動能的增量為:

        可見,兩次投球動能的增量不同,根據(jù)動能定理,兩次投球時(shí)人做的功也不同。

        解2:以船為參照系,兩次投球中動能的增量為:

        所以,兩次投球動能的增量相同,根據(jù)動能定理兩次投球人做的功也相同。這里,某人所做的功是將人消耗的生物能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。按生活常識可知,在兩次投球中,人所消耗的生物能應(yīng)相同,而上面的兩種解法的結(jié)果卻不同,而計(jì)算似乎都合理,問題出在哪里呢?實(shí)質(zhì)問題也就是,不同的參照系里的功能關(guān)系,即動能定理是否都成立,是否都一樣?

        2 以地面為參照系研究

        原題解法一的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相違背,那么錯在哪里呢?問題出在當(dāng)我們投球的時(shí)候,由于質(zhì)點(diǎn)系(人、船、球組成)的動量守恒,輪船的速度也將發(fā)生改變,這變化導(dǎo)致輪船的動能改變,而船的動能改變也應(yīng)該計(jì)算到投球時(shí)做的功中去。

        在第一種情況下,球向前投,人、球與船組成的質(zhì)點(diǎn)系的動量守恒即:

        式中v'是球投出后船的速度,m是球的質(zhì)量,M是人和船的質(zhì)量:

        此時(shí)球的速度為:

        投球時(shí)做的功,應(yīng)為人、球和船的動能之和,即:

        在(4)式中前一個方括號為球的動能增量,后一個括號中為人和船的動能增量。

        如果人和船的質(zhì)量遠(yuǎn)大于球的質(zhì)量,即時(shí),

        在第二種情況下,球向后投時(shí)人做的功的計(jì)算與上面相似,將u改為-u即可,由(5)式可得:

        這結(jié)果與第一種情況相同。

        通過以上的計(jì)算,使我們注意到:投球后,船的速度v'變化為(2)式所示,在M?m的前提下,只就速度而言,可以略去這一項(xiàng),即可以認(rèn)為船的速度不變,但就動能而言,因?yàn)橐松螹這一項(xiàng),它引起人與船的動能變化是相當(dāng)大的,故不能略去。

        3 以輪船為參照系研究

        我們注意到,上面的討論中以地面為參照系的情況下,雖然向前和向后投球人做的功相同,但計(jì)算結(jié)果與原題解法二給出的結(jié)果卻不相同,這又是為什么呢?從上面的分析中,我們看到投球后,輪船的速度要改變,從v變?yōu)関',這樣它相對地面就不再是勻速直線運(yùn)動,也就是說,不再是一個慣性參照系,而在非慣性參照系中,要計(jì)入慣性力做功,動能定理才能成立。我們可以選取人、輪船與球的質(zhì)心為參照系。因?yàn)橘|(zhì)心以不變的速度v做勻速直線運(yùn)動。如果船的質(zhì)量M遠(yuǎn)大于球的質(zhì)量m,人、輪船與球的質(zhì)心近似為人、船的質(zhì)心。選質(zhì)心參照系就是近似選人、輪船為參照系。所以以相對于船速度為u投球,不論是向前還是向后,所做的功都是近似成立條件是M?m,這樣結(jié)果就與上面以地面為參照系求出的結(jié)果一樣了。如果不滿足M?m的條件,就不能選人、輪船為參照系,而應(yīng)嚴(yán)格地選地面或質(zhì)心參照系來計(jì)算投球時(shí)做的功。

        4 不同參照系中的功和能

        4.1 動能定理

        若以地面為參照系:設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)m,受力F作用,在力的方向上移動了一段距離S,v0是質(zhì)點(diǎn)的初速度,v是質(zhì)點(diǎn)的末速度。

        現(xiàn)在以另一個慣性參照系來觀察這個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動,比如是在地面上以速度u勻速運(yùn)動的汽車,以汽車為參照系。在汽車參照系中質(zhì)點(diǎn)m的位移S',由伽利略變換S'=s-ut。質(zhì)點(diǎn)的初末動能分別為

        在質(zhì)心系中:

        在質(zhì)心系中人向前和向后投球時(shí)所做的功:

        可見在不同慣性系中動能定理都是成立的。但是,在不同慣性系中動能的變化及力所做的功可以不同,因?yàn)樵诓煌瑓⒄障档奈灰埔部梢圆煌?/p>

        4.2 質(zhì)心參考系

        根據(jù)柯尼希定理,質(zhì)點(diǎn)系對慣性系的動能等于質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心系的動能與質(zhì)心對慣性系的動能之和。

        設(shè)有m1,m2有組成的系統(tǒng),m1,m2對地面參照系的速度分別為v1和v2,兩速度在同一直線上,則質(zhì)心的速度:

        設(shè)E'k為質(zhì)點(diǎn)系在質(zhì)心系中的動能,Ek為質(zhì)點(diǎn)系對慣性系的動能,Ekc為質(zhì)心對慣性系的動能:

        通過比較可知,在地面參照系中和質(zhì)心系中人所做的功是一樣的。

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