王益洲

【摘 要】作為高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，微積分的學(xué)習(xí)和應(yīng)用一直都備受關(guān)注。而導(dǎo)數(shù)又是微積分中微分學(xué)的主要構(gòu)成，其在實際生活中有著廣泛應(yīng)用，是微積分的核心內(nèi)容。就目前來講，導(dǎo)數(shù)已經(jīng)在醫(yī)藥、天文、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)、物理、工程以及日常生活等多個領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用?，F(xiàn)本文就通過分析導(dǎo)數(shù)的相關(guān)基礎(chǔ)概念，來談?wù)勂湓谑菍嶋H生活中的最優(yōu)化應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；最優(yōu)化；生活；應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)是我國高校教育的必修課程，之所以要讓學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握高等數(shù)學(xué)，是因為高等數(shù)學(xué)的很多知識內(nèi)容都可以應(yīng)用在實際生活中，能夠幫助學(xué)生更好的應(yīng)對生活和工作中的難題。其中導(dǎo)數(shù)就是這樣一種具有很大實際應(yīng)用價值的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，其產(chǎn)生形成的原因和作用是為了滿足生產(chǎn)技術(shù)與自然科學(xué)的發(fā)展需求。目前，導(dǎo)數(shù)已經(jīng)在很多工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域和生活領(lǐng)域中發(fā)揮巨大作用，尤其是在解決最優(yōu)化、最大值和最小值的問題時，導(dǎo)數(shù)更是起到關(guān)鍵作用。那么導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)化問題是如何解決的，其在實際生活中的應(yīng)用又有哪些呢？以下筆者就幾個實例來進(jìn)行分析探討。

1 導(dǎo)數(shù)的基本概念分析

1.1 導(dǎo)數(shù)的起源

所謂導(dǎo)數(shù)，是指一個函數(shù)的因變量對于自變量的變化率，即當(dāng)自變量的增量趨于零時，因變量的增強(qiáng)和自變量的增量之商的極限就是導(dǎo)數(shù)。其是微積分中的一個重要基礎(chǔ)概念。但是導(dǎo)數(shù)并非是與普通數(shù)學(xué)一起興起和形成的，其是在17世紀(jì)20年代末，由法國數(shù)學(xué)家費馬率先提出的一個新數(shù)學(xué)概念，最初的導(dǎo)數(shù)概念主要是指最大值和最小值的求值方法，并沒有一個很系統(tǒng)的概念，直到19世紀(jì)60年代，魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε-δ語言，才使導(dǎo)數(shù)形成了今天的表達(dá)形式，并被廣泛接受認(rèn)同。

可以說，導(dǎo)數(shù)是源于生活而服務(wù)于生活的，其在很大程度上促進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)與自然科學(xué)的快速發(fā)展，因為在自然現(xiàn)象中，有很多事物的數(shù)量關(guān)系并不能用一個準(zhǔn)確的數(shù)值來表示，這會給研究帶來一定的不便。而通過利用導(dǎo)數(shù)來表達(dá)其變化率結(jié)構(gòu)，則可以很好的解決這一問題，也正因為導(dǎo)數(shù)的這一應(yīng)用優(yōu)勢，使得其在很多科研領(lǐng)域和生活生產(chǎn)領(lǐng)域中有了廣泛應(yīng)用。例如經(jīng)濟(jì)學(xué)中利潤的變化率、物理運動的瞬時速度、人口增長率研究等等，這些問題都可以用導(dǎo)數(shù)來解決。

1.2 導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)化問題

一般來講，若一個函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，那么該函數(shù)就一定可導(dǎo)或可微分，這是其解決最優(yōu)化問題的基本前提。在實際的生活中，導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)化問題比比皆是，隨處可見。例如如何用料最省，如何生產(chǎn)效率最高等等，都是最優(yōu)化問題，都可以用導(dǎo)數(shù)來加以解決。在實際的應(yīng)用中，導(dǎo)數(shù)最優(yōu)化問題的解決主要有四個步驟。第一，要對實際問題中所體現(xiàn)出的各個關(guān)鍵量進(jìn)行分析，并理清這些量的關(guān)系，根據(jù)所得出的數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，并列出各個變量間的函數(shù)關(guān)系式，然后再結(jié)合具體情況劃定自變量的范圍，也就是其定義域。第二，對所列出的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合定義域的要求確定實根、極值點與不可導(dǎo)點。第三，計算函數(shù)在不同區(qū)間的端點、極值點與不可導(dǎo)點的函數(shù)值，并對這些函數(shù)值進(jìn)行對比，從而獲得所需的最大值或最小值。第四，將最大值與最小值回歸到具體的實際問題中，得出實際問題的最優(yōu)解。

值得一提的是，在用導(dǎo)數(shù)來處理實際生活中的最優(yōu)化問題時，一定要充分結(jié)合實際，對于那些不符合實際的值可以直接舍棄，不考慮在內(nèi)。這就要求在確定函數(shù)關(guān)系式時，還要正確的確定定義域，即自變量的有效區(qū)間，這是保證函數(shù)值有效的前提。另外，實際生活的最優(yōu)化問題中有時候出現(xiàn)一個區(qū)間內(nèi)僅有一個點是有效值的情況，那么此時可以直接判定該點的值就是最值。

2 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的最優(yōu)化應(yīng)用

本文一再強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在實際生活中有著很大的應(yīng)用價值，那么其具體表現(xiàn)在哪些方面呢？以下筆者就舉出幾個實際例子，來證明導(dǎo)數(shù)在解決最優(yōu)化問題時的應(yīng)用優(yōu)越性。

2.1 實例一

已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p=25-1/8q，求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？

分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格.由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤。其中收入R=q·p，利潤L=R-C，定義域0

2.2 實例二

煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境. 已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現(xiàn)有兩座煙囪相距20km，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點，使該點的煙塵濃度最小。

分析：不失一般性，設(shè)煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8。設(shè)A到C點的距離為AC，其中定義域為0

解得在（0，20）內(nèi)惟一駐點x=20/3。由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內(nèi)取得，所以在惟一駐點x處，濃度y最小，即在AB間距A處20/3處的煙塵濃度最小。

2.3 實例三

在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最??？

分析：這一問題可以使用三角函數(shù)來解決。根據(jù)題意列出相應(yīng)的函數(shù)公式，并求得函數(shù)最小值?？芍狝C=50-40cotθ=20（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省。

2.4 實例四

某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量為y（升），關(guān)于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：

y=■x■-■x+8（0

（I）當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

（II）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

分析：（I）當(dāng)x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了100/40=2.5小時，代入上述函數(shù)解析式計算后可得知要耗油17.5（升）。

答：當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。

（II）當(dāng)速度為x千米/小時的情況下，汽車從甲地到乙地行駛了100/x小時，設(shè)耗油量為h（x）升，其中0

3 結(jié)束語

綜上所述，在實際的生活中，導(dǎo)數(shù)是應(yīng)用是非常廣泛且十分有用的，只要我們在面對實際問題時能夠找出問題中各個自變量和因變量之間的關(guān)系，并列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，確定合理的定義域，就可以通過求導(dǎo)的方式求得最值，從而解決實際問題的最優(yōu)化問題。本文中所提出的導(dǎo)數(shù)最優(yōu)化問題解決步驟與注意事項是筆者在實際的工作中總結(jié)出來的，文中所舉的幾個案例也均是較為典型的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用案例，希望能夠為讀者了解和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來解決實際生活問題提供一些參考和幫助。

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