師家慶

（陜西師大附中，陜西 西安 710000）

縱觀歷年高考，以洛倫茲力為背景，考察帶電粒子在磁場中運(yùn)動問題的試題非常多，且多為綜合性，中高難度，亦即我們平常所說的“壓軸題”，相應(yīng)分值也在20分左右，其在高考中的重要程度不言而喻.但洛倫茲力問題對于大多數(shù)學(xué)生來說又是一個(gè)困難，難點(diǎn)之一，就是帶電粒子軌跡的確定.主要體現(xiàn)在動態(tài)過程過于抽象，臨界條件難以尋找.下面筆者將根據(jù)課堂中的切實(shí)體會，將幾何畫板處理此類問題的方法和優(yōu)點(diǎn)作以介紹.

1 幾何畫板處理帶電粒子運(yùn)動軌跡（后稱軌跡圓）的縮放問題

軌跡圓縮放，是指帶電粒子進(jìn)入磁場后時(shí)，入射速度方向確定，大小不確定的一類問題.因?yàn)樗俣却笮〔淮_定，由洛倫茲力公式f＝qvB及向心力公式f＝可知，軌跡圓半徑此為帶電粒子運(yùn)動的限定條件.若給磁場加上邊界，即成為一臨界問題，例題如下.

圖1

例1.如圖1所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，在ad邊中點(diǎn)O，方向垂直磁場向里射入一速度方向跟ad邊夾角θ＝30°、大小為v0的帶正電粒子，已知粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，ad邊長為L，ab邊足夠長，粒子重力不計(jì)，求：（1）粒子能從ab邊上射出磁場的v0大小范圍.（2）粒子在滿足（1）中條件時(shí)，在磁場中運(yùn)動的最大時(shí)間.此問題的常規(guī)分析過程我們在此不再贅述，下面分析幾何畫板在分析該問題時(shí)所帶來的方便.

圖2

（1）我們先利用幾何畫板畫出以邊界磁場以及初速度所決定的軌跡圓如圖2.

選定A點(diǎn)與v0線段，構(gòu)造垂線，則可得直線AB.根據(jù)洛倫茲力及帶電粒子在磁場中運(yùn)動相關(guān)知識可知，軌跡圓的圓心必然在直線AB上.建立點(diǎn)O，依次選定點(diǎn)O與點(diǎn)A（注意順序），以圓心與過圓心上的點(diǎn)構(gòu)造圓，則可得軌跡圓如圖2.點(diǎn)O可順直線AB任意拖動.

圖3

（2）找出從上邊界出磁場的臨界條件.

在圓上建立點(diǎn)D，并找出軌跡圓與磁場上邊界的交點(diǎn)C，依次選擇A、D、C3個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)擊過3點(diǎn)的弧，即在圖中形成該段弧即為粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡，其所對應(yīng)圓心角為粒子運(yùn)動所轉(zhuǎn)過的角度，時(shí)間與該角度成正比.當(dāng)拖動圓心O時(shí)，半徑發(fā)生變化，對應(yīng)弧長度也發(fā)生變化.

當(dāng)初速度減小直至OC與上邊界垂直時(shí)，達(dá)到臨界條件.若初速度再減小，粒子將從左側(cè)射出，如圖4.此時(shí)，幾何畫板中動態(tài)圖像中的C點(diǎn)將會消失，在到達(dá)臨界條件前所對應(yīng)的圓心角增大，運(yùn)動時(shí)間增長.

圖4

圖5

當(dāng)然，為了更好地體現(xiàn)整個(gè)動態(tài)過程，可讓點(diǎn)O形成動畫，并追蹤，不同初速度粒子軌跡將動態(tài)反應(yīng)并記錄下來，作以比較，能夠更清晰地獲得臨界條件，如圖6.

圖6

2 幾何畫板處理軌跡圓的旋轉(zhuǎn)問題

軌跡圓旋轉(zhuǎn)，是指帶電粒子進(jìn)入磁場后時(shí)，入射速度大小確定，但方向不確定的一類問題.因速度大小確定，所以軌跡圓半徑恒定，但因?yàn)樗俣确较虿淮_定，所以軌跡圓位置不確定，在此過程中，粒子所有可能出現(xiàn)的區(qū)域構(gòu)成一個(gè)以定點(diǎn)——粒子入射點(diǎn)——為圓心，以軌跡圓直徑為半徑的大圓，如圖7（幾何畫板描繪）.其中，圖像中央較粗線為軌跡圓圓心的可能位置.

圖7

例2.如圖8，水平放置的平板MN上方有方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，許多質(zhì)量為m，帶電荷量為＋q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場區(qū)域，不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的相互影響.下列圖9中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R＝mv／qB，哪個(gè)圖是正確的？

圖8

圖9

解析：本題幾何圖像用常規(guī)方法畫圖很難讓學(xué)生徹底明白，我們下面分析幾何畫板如何處理這個(gè)問題.

（1）假設(shè)整個(gè)空間存在磁場，則粒子的運(yùn)動區(qū)域即為一個(gè)簡單的軌跡圓旋轉(zhuǎn)問題.我們先構(gòu)造圓心可能經(jīng)過的位置，如圖10，圖中點(diǎn)O′所在圓即為軌跡圓圓心可能經(jīng)過的位置.而以O(shè)′為圓心的圓即為軌跡圓.為避免O′所在圓對我們造成影響，可隱藏該圓，如圖11.

圖10

圖11

（2）讓軌跡圓旋轉(zhuǎn)，并讓表示入射速度v的箭頭隨之一起旋轉(zhuǎn)，追蹤軌跡圓，則形成如圖12的圖形.

圖12

因下方區(qū)域不存在磁場，所以我們只研究從初速向右至初速向左的過程.同時(shí)因?yàn)槠桨錗N對粒子的阻礙，所以只取平板上方的區(qū)域，綜合以上條件，可得結(jié)果如圖13所示，即可得到正確結(jié)果.

從以上兩例可以看出，利用幾何畫板可以更好地將帶電粒子在磁場中的運(yùn)動過程動態(tài)地演示出來，讓學(xué)生更直觀地觀察帶電粒子在條件約束下的運(yùn)動，將抽象問題形象化，將學(xué)生難以理解的過程以動態(tài)的形式顯現(xiàn)出來.通過幾何畫板，可以很好地將教師從繁復(fù)的繪圖與語言講解中解脫出來，也為學(xué)生學(xué)習(xí)此類問題積累了一定的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?

圖13