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        對(duì)一道沿繩加速度問(wèn)題的深入研究

        2014-10-21 13:16:14陸天明
        物理教師 2014年7期
        關(guān)鍵詞:輕繩不同點(diǎn)鈍角

        陸天明

        (南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校,江蘇 南京 211102)

        緊繃輕繩上的各點(diǎn)沿繩方向上的速度是相等的,這是一個(gè)在中學(xué)階段非常有用的結(jié)論.我們能否據(jù)此認(rèn)為沿緊繃?yán)K的加速度也一定相等呢?讓我們先來(lái)看高中物理競(jìng)賽教材或參考書(shū)都會(huì)選用的一個(gè)問(wèn)題.

        如圖1所示,長(zhǎng)為L(zhǎng)的桿AO用鉸鏈固定在O點(diǎn),以角速度ω圍繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),在O點(diǎn)的正上方有一個(gè)很小的定滑輪B.一根輕繩繞過(guò)滑輪B,一端固定在桿的A端,另一端懸掛一質(zhì)量為m的重物C,O、B之間的距離為h,求:當(dāng)AB繩與豎直方向成θ角時(shí),繩上的張力.

        圖1

        圖2

        文獻(xiàn)一般都會(huì)提供如下解法.

        如圖2所示,A點(diǎn)的速度為

        設(shè)∠AOB=α,在△OAB中,

        圖3

        把(1)、(3)式代入(4)式可得

        因?yàn)镺A桿做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng),所以A點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)只有向心的加速度為an=ω2L.如圖3所示,將此加速度分解成沿BA方向的加速度an∥和垂直于BA方向的加速度an⊥兩個(gè)分量.

        考慮到(2)式,可得

        這也是C上升的加速度aC,再由T-mg=maC,可得繩上的張力

        以上求解看起來(lái)非常嚴(yán)密,但實(shí)際上是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤的根源在于解題者想當(dāng)然地認(rèn)為繩上各點(diǎn)沿緊繃?yán)K的加速度一定是相等的.雖然緊繃輕繩上的各點(diǎn)沿繩方向上的速度是相等的,但我們不能據(jù)此認(rèn)為沿緊繃?yán)K的加速度也一定相等.

        B C段沿直線運(yùn)動(dòng),繩上加速度處處相等,而A B的運(yùn)動(dòng)情況與B C段的運(yùn)動(dòng)方式不同.A B繩子上各點(diǎn)沿繩方向的加速度即徑向加速度,來(lái)源于兩個(gè)方面:一個(gè)是由于速度方向變化而產(chǎn)生的指向B點(diǎn)的向心加速度a1,在A B繩上的不同點(diǎn)這個(gè)加速度的大小是不同的;另一個(gè)是由于沿繩方向上速度大小發(fā)生變化而產(chǎn)生的加速度a2,在繩子的不同地方,這個(gè)加速度的大小是相等的.所以,總的看來(lái)A B繩上不同點(diǎn)的徑向加速度是不同的.不難看出,a2才是物體C向上運(yùn)動(dòng)的加速度.如何求出a2呢?

        設(shè)任一時(shí)刻繩子A B的長(zhǎng)度為L(zhǎng)x,在△A O B中,

        可以解出

        A點(diǎn)由于速度方向變化而產(chǎn)生的指向B點(diǎn)的向心加速度大小a1為

        這才是正確的結(jié)論.

        其實(shí),本題可以直接利用高等數(shù)學(xué).將(5)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo),可得

        將(7)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

        化簡(jiǎn)得

        與(5)式比較可得

        把(13)式代入(12)式同樣可以得到(10)式.

        最后讓我們用理論力學(xué)中相關(guān)知識(shí)加以驗(yàn)證.

        A點(diǎn)的沿繩子方向上的加速度即徑向加速度的極坐標(biāo)表達(dá)式為

        aρ就是(6)式中的an∥,所以

        物體C的加速度是由于繩子的長(zhǎng)度的變長(zhǎng)而產(chǎn)生的,

        將(6)、(7)、(13)式代入,便得到(10)式.

        實(shí)際上,θ對(duì)應(yīng)的繩與桿所成的角既可以是鈍角,也可以是銳角.以上只討論了繩與桿成鈍角的情形,對(duì)于成銳角的情形,討論方法同上,不再贅述.

        總之,雖然繩上各點(diǎn)沿繩的速度相等,但我們絕不能據(jù)此認(rèn)為這些點(diǎn)沿繩子方向的加速度也相等,因?yàn)槔K子的轉(zhuǎn)動(dòng)也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)沿著繩子方向的加速度,而且不同點(diǎn)的這個(gè)加速度又不同,所以,繩子上的各點(diǎn)沿著繩子方向上的加速度一般是不等的.

        1 龐澤俊.評(píng)析一道物理競(jìng)賽題的解法[J].物理教師,2008,29(8):63-65.

        2 陸天明.榮譽(yù)物理(力學(xué)部分)[M].南京:東南大學(xué)出版社,2013:128-129.

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