陸天明

（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校，江蘇 南京 211102）

緊繃輕繩上的各點(diǎn)沿繩方向上的速度是相等的，這是一個(gè)在中學(xué)階段非常有用的結(jié)論.我們能否據(jù)此認(rèn)為沿緊繃?yán)K的加速度也一定相等呢？讓我們先來(lái)看高中物理競(jìng)賽教材或參考書(shū)都會(huì)選用的一個(gè)問(wèn)題.

如圖1所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的桿AO用鉸鏈固定在O點(diǎn)，以角速度ω圍繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，在O點(diǎn)的正上方有一個(gè)很小的定滑輪B.一根輕繩繞過(guò)滑輪B，一端固定在桿的A端，另一端懸掛一質(zhì)量為m的重物C，O、B之間的距離為h，求：當(dāng)AB繩與豎直方向成θ角時(shí)，繩上的張力.

圖1

圖2

文獻(xiàn)一般都會(huì)提供如下解法.

如圖2所示，A點(diǎn)的速度為

設(shè)∠AOB＝α，在△OAB中，

圖3

把（1）、（3）式代入（4）式可得

因?yàn)镺A桿做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，所以A點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)只有向心的加速度為an＝ω2L.如圖3所示，將此加速度分解成沿BA方向的加速度an∥和垂直于BA方向的加速度an⊥兩個(gè)分量.

考慮到（2）式，可得

這也是C上升的加速度aC，再由T-mg＝maC，可得繩上的張力

以上求解看起來(lái)非常嚴(yán)密，但實(shí)際上是錯(cuò)誤的．錯(cuò)誤的根源在于解題者想當(dāng)然地認(rèn)為繩上各點(diǎn)沿緊繃?yán)K的加速度一定是相等的．雖然緊繃輕繩上的各點(diǎn)沿繩方向上的速度是相等的，但我們不能據(jù)此認(rèn)為沿緊繃?yán)K的加速度也一定相等．

B C段沿直線運(yùn)動(dòng)，繩上加速度處處相等，而A B的運(yùn)動(dòng)情況與B C段的運(yùn)動(dòng)方式不同．A B繩子上各點(diǎn)沿繩方向的加速度即徑向加速度，來(lái)源于兩個(gè)方面：一個(gè)是由于速度方向變化而產(chǎn)生的指向B點(diǎn)的向心加速度a1，在A B繩上的不同點(diǎn)這個(gè)加速度的大小是不同的；另一個(gè)是由于沿繩方向上速度大小發(fā)生變化而產(chǎn)生的加速度a2，在繩子的不同地方，這個(gè)加速度的大小是相等的．所以，總的看來(lái)A B繩上不同點(diǎn)的徑向加速度是不同的．不難看出，a2才是物體C向上運(yùn)動(dòng)的加速度．如何求出a2呢？

設(shè)任一時(shí)刻繩子A B的長(zhǎng)度為L(zhǎng)x，在△A O B中，

可以解出

A點(diǎn)由于速度方向變化而產(chǎn)生的指向B點(diǎn)的向心加速度大小a1為

這才是正確的結(jié)論．

其實(shí)，本題可以直接利用高等數(shù)學(xué)．將（5）式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得

將（7）式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

化簡(jiǎn)得

與（5）式比較可得

把（13）式代入（12）式同樣可以得到（10）式.

最后讓我們用理論力學(xué)中相關(guān)知識(shí)加以驗(yàn)證.

A點(diǎn)的沿繩子方向上的加速度即徑向加速度的極坐標(biāo)表達(dá)式為

aρ就是（6）式中的an∥，所以

物體C的加速度是由于繩子的長(zhǎng)度的變長(zhǎng)而產(chǎn)生的，

將（6）、（7）、（13）式代入，便得到（10）式.

實(shí)際上，θ對(duì)應(yīng)的繩與桿所成的角既可以是鈍角，也可以是銳角.以上只討論了繩與桿成鈍角的情形，對(duì)于成銳角的情形，討論方法同上，不再贅述.

總之，雖然繩上各點(diǎn)沿繩的速度相等，但我們絕不能據(jù)此認(rèn)為這些點(diǎn)沿繩子方向的加速度也相等，因?yàn)槔K子的轉(zhuǎn)動(dòng)也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)沿著繩子方向的加速度，而且不同點(diǎn)的這個(gè)加速度又不同，所以，繩子上的各點(diǎn)沿著繩子方向上的加速度一般是不等的.

1 龐澤俊.評(píng)析一道物理競(jìng)賽題的解法［J］.物理教師，2008，29（8）：63-65.

2 陸天明.榮譽(yù)物理（力學(xué)部分）［M］.南京：東南大學(xué)出版社，2013：128-129.