朱具德 徐虎勤

（江蘇省新沂市第一中學(xué)，江蘇 新沂 221400）

1 問題的提出

對于衛(wèi)星（本文指的均是圓軌道衛(wèi)星）其發(fā)射速度越大，穩(wěn)定時其軌道離地面就越高，軌道半徑就越大，根據(jù)

即線速度就越小.但為什么發(fā)射速度越大，軌道越高，線速度越??？這可從兩個方面分析.

2 問題的分析

（1）利用引力勢能公式.

設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，衛(wèi)星質(zhì)量為m，距地面高度為h，G為引力常量.取距地球球心無窮遠(yuǎn)處引力勢能為0，則衛(wèi)星在軌道上的勢能為

不計空氣阻力，根據(jù)機械能守恒定律有

衛(wèi)星做勻速圓周運動時有

由（1）、（2）式可得

由（3）、（4）式可見，衛(wèi)星發(fā)射速度越大，軌道越高，線速度越小.

由此也可看出發(fā)射高軌道衛(wèi)星比發(fā)射低軌道衛(wèi)星更為困難，從能量的角度來講：一方面考慮空氣阻力時，高度越大，火箭需要克服阻力做功越多；另一方面高度越大，火箭需要克服地球引力做的功也越多.

上述方法盡管嚴(yán)密，但是由于中學(xué)階段并未學(xué)習(xí)引力勢能公式，所以筆者再嘗試運用離心現(xiàn)象理論進行分析.

（2）利用離心現(xiàn)象理論.

假設(shè)衛(wèi)星貼著地面上的A點沿切線被發(fā)射出去（如圖1），發(fā)射速度為第一宇宙速度v1＝7.9km／s，則萬有引力剛好提供衛(wèi)星所需向心力，即

圖1

此時衛(wèi)星正好做勻速圓周運動，且v發(fā)＝v線＝v1.

如果衛(wèi)星以較大的發(fā)射速度v2（比如v2＝9km／s）發(fā)射，由于地球?qū)πl(wèi)星提供的引力小于衛(wèi)星所需的向心力，即它將做離心運動，繞地球運行的軌跡就不是圓，而是橢圓.要想使它的軌跡是圓，怎么辦？

顯然不能任其自由飛行，而應(yīng)在衛(wèi)星飛行到距地面某一適當(dāng)高度位置（設(shè)為B點，高度為hB）改變飛行方向.因為衛(wèi)星在初始離心飛行階段有

隨著衛(wèi)星飛離地面越遠(yuǎn)越高（h增大），其速度v2′逐漸減小，此時地球提供的引力和衛(wèi)星所需的向心力雖然都在減小，但是衛(wèi)星所需的向心力減小更快.根據(jù)

這時，改變衛(wèi)星飛行方向如圖2，其飛行的軌跡就是圓了.

圖2

圖3

如果衛(wèi)星的發(fā)射速度更大為v3（如v3＝10km／s），它飛行到剛才B位置所在的高度（設(shè)速度為v3′）改變飛行方向就不行了.因為v3＞v2，所以v3′＞v2′.衛(wèi)星仍離心.

仿上，衛(wèi)星應(yīng)在離比B更高的某一恰當(dāng)位置（設(shè)為C）改變飛行方向才能使其軌跡變?yōu)閳A，如圖3所示，其線速度更小.綜上，衛(wèi)星發(fā)射速度越大，軌道越高，線速度越小.

3 結(jié)束語

以上只是為了分析問題方便而給出的衛(wèi)星發(fā)射簡化模型.事實上衛(wèi)星的發(fā)射并不像炮彈發(fā)射那樣一蹴而就，其發(fā)射速度是逐漸增大的，其飛行軌跡由橢圓變?yōu)閳A也是極為復(fù)雜地加以控制的.