閆新生

[摘 要]對(duì)于新升本院校的學(xué)生來(lái)講，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)除了掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)外，更重要的是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本文試圖結(jié)合高等數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐，探討如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中適時(shí)地引入數(shù)值計(jì)算，以便提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學(xué) 數(shù)值計(jì)算 MATLAB 數(shù)學(xué)應(yīng)用

[中圖分類號(hào)] O13 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2014）16-0082-03

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)值計(jì)算的必要

本人作為一名多年從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，結(jié)合多年的?？平虒W(xué)實(shí)踐，以及對(duì)我院第一次招收的本科學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)情況的掌握，感到這些學(xué)生中的大部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技巧都有欠缺，要想掌握嚴(yán)密的高等數(shù)學(xué)理論體系難度較大。另一方面，從應(yīng)用型本科人才培養(yǎng)目標(biāo)出發(fā)，我們也應(yīng)當(dāng)著重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，尤其是理工科學(xué)生，在今后的工作實(shí)踐中，隨時(shí)都可能遇到數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)處理問(wèn)題需要解決。因此，教師在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，應(yīng)注意適時(shí)地引入數(shù)值計(jì)算和加強(qiáng)數(shù)據(jù)處理能力的培養(yǎng)，以便學(xué)生畢業(yè)后能盡快適應(yīng)工作崗位的要求。

隨著計(jì)算機(jī)的日益普及和數(shù)學(xué)軟件的不斷更新，有關(guān)數(shù)值計(jì)算、數(shù)據(jù)處理軟件的日益成熟，教會(huì)學(xué)生掌握數(shù)值計(jì)算的技能已經(jīng)變得相當(dāng)容易。作為一名高等數(shù)學(xué)教師，教學(xué)中應(yīng)該有意識(shí)地引入MATLAB輔助教學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。MATLAB作為一款成熟的數(shù)學(xué)軟件，具有優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)處理能力以及強(qiáng)大的繪圖功能。它無(wú)需專門訓(xùn)練，編程簡(jiǎn)單，編程有時(shí)就像做數(shù)學(xué)題一樣。將MATLAB語(yǔ)言引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，無(wú)疑是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)處理能力的一條快速有效的途徑。

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)引入數(shù)值計(jì)算的具體做法

對(duì)于應(yīng)用型工科專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，鑒于教學(xué)計(jì)劃和學(xué)時(shí)的限制，不可能作為一門課程專門講解數(shù)值計(jì)算方面的內(nèi)容。MATLAB的數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)包含了大量的計(jì)算算法，包括基本函數(shù)、矩陣運(yùn)算和復(fù)雜算法等。我們的做法是：不增加課時(shí)，精講高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的同時(shí)，通過(guò)介紹MATLAB軟件的基本應(yīng)用，結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容適時(shí)地引入MATLAB數(shù)值計(jì)算，并安排一定時(shí)間的上機(jī)實(shí)驗(yàn)，既提高了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，又讓學(xué)生在掌握高等數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)了利用計(jì)算機(jī)處理實(shí)際問(wèn)題的能力，可謂一舉兩得。下面介紹MATLAB在幾方面的應(yīng)用。

（一）極限運(yùn)算

在介紹兩個(gè)重要極限時(shí)，對(duì)于第二個(gè)重要極限，以前總是從數(shù)列極限■（1+■）n開(kāi)始，通過(guò)列表觀察數(shù)列取值的變化規(guī)律。現(xiàn)在借助MATLAB語(yǔ)言，讓學(xué)生自己在計(jì)算機(jī)上觀察，效果更好。程序如下：

x=1：1000；

y=（1+1./x）.^x；

plot（x，y）

（二）定積分運(yùn)算

（1） 對(duì)于定積分運(yùn)算，由于學(xué)生不定積分運(yùn)算技巧的欠缺，掌握起來(lái)感到較難，我們的處理方法是，除了教給學(xué)生定積分的基本知識(shí)外，把定積分的計(jì)算交給計(jì)算機(jī)來(lái)完成。

有理函數(shù)的定積分計(jì)算起來(lái)較麻煩，利用MATLAB的符號(hào)運(yùn)算，只要兩條很簡(jiǎn)單的命令即可解決。如計(jì)算定積分■■.命令結(jié)果如下：

syms x

int（x/（x^2-2*x+2）^2，0，2）

運(yùn)算結(jié)果

ans =

1/4*pi+1/2

我們知道，有些函數(shù)的定積分是沒(méi)法應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算的，這時(shí)就要用到定積分的近似計(jì)算。MATLAB的數(shù)值計(jì)算能力在這方面就更加有優(yōu)勢(shì)了。如計(jì)算定積分■ex2dx.

梯形法計(jì)算，命令結(jié)果如下：

x=0：0.01：1；

y=exp（x.*x）；

s1=trapz（x，y）

運(yùn)算結(jié)果：

s1 =

1.4627

辛普生法計(jì)算，命令結(jié)果如下：

x=0：0.01：1；

s2=quad（′exp（x.^2）′，0，1）

s2 =

1.4627

（2） 定積分?jǐn)?shù)值計(jì)算的應(yīng)用

汽車?yán)锍瘫碓?。汽車的速度表用?lái)計(jì)算汽車輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，并把它轉(zhuǎn)化為汽車前進(jìn)的速度。那么里程表又是怎么計(jì)算行駛里程的呢？這就用到了定積分的實(shí)際意義，即通過(guò)計(jì)算速度曲線從初始時(shí)刻到當(dāng)前時(shí)刻之間的曲邊梯形面積而得到行駛的里程。通過(guò)該例，既加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)定積分實(shí)際意義的理解，也鍛煉了學(xué)生運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解釋工程應(yīng)用的能力。

假設(shè)某輛汽車在3小時(shí)內(nèi)行駛的速度函數(shù)為：

v（x）=25（2sin2（2x）+■xcos2（■）），x∈[0，3]

求該時(shí)間段內(nèi)汽車行駛的路程。

先畫出速度曲線，命令如下：

x=0：0.01：3；

y=25*（2*（sin（2*x））.^2+5/2*x.*（cos（x/2））.^2）；

plot（x，y）

用數(shù)值積分計(jì)算汽車行駛路程，命令結(jié)果如下：

x=0：0.01：3；

y=25*（2*（sin（2*x））.^2+5/2*x.*（cos（x/2））.^2）；

s1=sum（y（1：300））*0.01

s2=sum（y（2：301））*0.01

s3=trapz（x，y）

f=inline（′25*（2*（sin（2*x））.^2+5/2*x.*

（cos（x/2））.^2）′，x）；

[I，n]=quad（f，0，3）

運(yùn)行結(jié)果為：

s1 = 169.9960 s2 = 170.0444 s3 = 170.0202 I = 170.0213 n = 165

（三）微分方程數(shù)值解

雖然我們?cè)诮虒W(xué)中教會(huì)了學(xué)生解幾種典型的微分方程，但生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程大多很復(fù)雜而且得不出一般解，實(shí)際問(wèn)題的處理中更多的要求數(shù)值解。對(duì)初值問(wèn)題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解是十分必要的。MATLAB有相應(yīng)的求解函數(shù)解決這類問(wèn)題，而且相當(dāng)簡(jiǎn)單。

如求解初值問(wèn)題：

■

按照學(xué)過(guò)的微分方程類型是無(wú)法求解的，只能求其數(shù)值解。

解： 令 y1=x，y2=y1′

則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組：

■

程序如下：

先建立函數(shù)文件

function dy=shuzhijie （t，y）

dy=zeros（2，1）；

dy（1）=y（2）；dy（2）=1000*（1-y（1）^2）*y（2）-y（1）；

取t0=0，tf=3000，輸入命令：

[T，Y]=ode15s（′vdp1000′，[0 3000]，[2 0]）；

plot（T，Y（：，1），′-′）

三、應(yīng)注意的問(wèn)題

（一）利用 MATLAB語(yǔ)言處理高等數(shù)學(xué)問(wèn)題只能輔助教學(xué)，應(yīng)避免學(xué)生過(guò)于依賴計(jì)算機(jī)解題

誠(chéng)然，利用數(shù)學(xué)軟件解題速度快、準(zhǔn)確。但要知道，如果不明白數(shù)學(xué)原理，再好的軟件也起不了作用。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目的始終是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練，教學(xué)中第一位的還是要讓學(xué)生理解基本概念、掌握基本運(yùn)算能力、加強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用的訓(xùn)練。只有這樣才談得上運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件處理工程實(shí)際中遇到的問(wèn)題。一個(gè)實(shí)際問(wèn)題建立不了數(shù)學(xué)模型怎么能用數(shù)學(xué)方法求解呢？利用 MATLAB語(yǔ)言解數(shù)學(xué)題只能起驗(yàn)證作用，不鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)輒就用計(jì)算機(jī)解題。要讓學(xué)生明白再好的軟件也是以準(zhǔn)確掌握應(yīng)用原理為前提的，不然，談不上應(yīng)用更談不上編程。

（二）教學(xué)中注意引入 MATLAB語(yǔ)言的時(shí)機(jī)

由于利用 MATLAB語(yǔ)言處理高等數(shù)學(xué)問(wèn)題只是為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，這就決定了教學(xué)中不可能占用過(guò)多的學(xué)時(shí)去介紹這方面的知識(shí)。教學(xué)實(shí)踐中我們的做法是結(jié)合每章的習(xí)題課進(jìn)行，尤其是結(jié)合實(shí)際應(yīng)用類型的習(xí)題的求解。先有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)再介紹必要的MATLAB語(yǔ)言知識(shí)，然后讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，最后運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件求解。這既加強(qiáng)了章節(jié)知識(shí)的理解也同時(shí)訓(xùn)練了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用和計(jì)算應(yīng)用能力。

（三）注重提高學(xué)生解決問(wèn)題的實(shí)踐能力的培養(yǎng)

在引入MATLAB輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師不能僅限于學(xué)生會(huì)用計(jì)算機(jī)解數(shù)學(xué)題，而應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)，尤其對(duì)工科專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，加強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決工程實(shí)際問(wèn)題更為重要。比如在進(jìn)行函數(shù)與極限教學(xué)時(shí)，特別要注意零點(diǎn)定理與介值定理結(jié)合導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中方程近似解的介紹，因?yàn)閷?shí)際應(yīng)用中的代數(shù)方程只能求其近似解。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中，加強(qiáng)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用的訓(xùn)練。定積分概念的教學(xué)中，除了讓學(xué)生充分理解定積分的實(shí)際意義外，還要真正掌握定積分的元素法，會(huì)處理變力沿直線所做的功、水壓力、引力等實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。在微分方程一章的教學(xué)中，更要注意與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的結(jié)合，因?yàn)檫@一數(shù)學(xué)分支在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中尤其活躍?？傊瑢W(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的，還是為了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，這也是應(yīng)用型本科人才的培養(yǎng)目標(biāo)所要求的。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 金明阮沈勇編著.MATLAB實(shí)用教程（第2版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2008.02

[2] 艾冬梅等編著.MATLAB與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.04

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.04

[責(zé)任編輯：林志恒]