李 衍，王學金，魏佳麗

基于不同假設的權益聯(lián)結型年金的準備金研究

李 衍，王學金，魏佳麗

準備金的提留是研究壽險產品的一個重要課題，以權益聯(lián)結型年金產品中的最低期滿利益保證年金為研究對象，假定標的權益服從一個隨機波動性模型,得到了最低期滿利益保證年金在 分位數(shù)下的準備金的顯式表達式，然后在其基礎上分別研究了嵌入動態(tài)提款權的最低保證收益型年金和考慮死亡風險的最低保證收益型年金的準備金，并以 2012年深成指日交易收盤價數(shù)據為樣本對對數(shù)收益率進行了基本統(tǒng)計分析，最后對三種不同權益聯(lián)結型年金的準備金進行了比較分析。

隨機波動模型；最低期滿利益保證年金；動態(tài)提款權；死亡風險；分位數(shù)準備金

近年來，隨著收入水平的提高，投資者的投資需求不斷增加，保險市場上的一些傳統(tǒng)理財產品已經無法滿足投資者的投資需求，于是各種新型的年金產品應運而生，權益聯(lián)結型年金就是其中的一種。權益聯(lián)結型年金產品的定價問題近年來已被國內外學者們做了相當充分的研究，僅以EIA為例，Serena Tiong[1]通過 Esscher 變換給出了傳統(tǒng)的 EIA的定價公式；Imai 和 Boyle[2]提出了動態(tài)最低保證收益率，并在最低保證收益率是變化的情況下得到了EIA的定價公式；Virginia R.Young[3]通過均衡效用理論討論了 EIA 的定價問題；王學金和王傳玉[4]在假定死亡率帶跳情形下，得到對應的 EIA的定價公式，并將其與經典Lee-Carter死亡率模型下的結果進行了比較分析。同樣地，近年來關于權益聯(lián)結型年金產品的準備金提留的研究也開始流行起來，如王學金和王傳玉[5]研究了基本的權益聯(lián)結型年金的準備金，因此，本文主要是在王學金和王傳玉[5]的基礎上著重研究基于不同假設的權益聯(lián)結型年金產品的準備金提留問題。

考慮到標的權益的增長過程本質上是一種無規(guī)律的隨機波動，而波動性的測度方法主要有隨機波動模型(SV模型)，其特點是以參數(shù)求解為基礎，模型不存在確定的函數(shù)表達式。國內外學者對于該模型進行了許多相關研究，如 Harvey A et al[6]，Jacquier et al[7]和沈根祥[8]等的研究結果表明：在模擬股市的波動性時，SV模型較一般隨機模型如GARCH模型更加具有優(yōu)勢。因此本文主要基于隨機波動模型來研究權益聯(lián)結型年金的準備金提留問題，即本文假定標的權益的價格過程服從標準的SV模型，求出三種權益聯(lián)結型年金在 分位數(shù)下的準備金的顯式表達式，然后通過實證數(shù)據對三種模型進行比較分析，并對結果進行實際意義解釋。

1 標準的SV模型

標準的SV模型是Taylor為了解釋金融收益序列波動模型的自回歸行為而提出的，其標準形式如下[9]：

其中yt表示t時的收益率；εt～nid(0,1)，ηt～nid(0,t2)（nid表示正態(tài)獨立同分布）；誤差項ηt和εt是相互獨立的且不可測的；μ,φ是常數(shù)且當時，SV模型是協(xié)方差平穩(wěn)的；隱波動ht服從參數(shù)為φ的高斯AR(1)過程。

2 權益聯(lián)結型年金的 分位數(shù)準備金

權益聯(lián)結型年金的準備金研究就是比較年金到期權益積累值和最低保證收益積累值的大小問題，即：若前者大于后者，則無需提留準備金；若前者小于后者，則需提留準備金。為了保證自身的償付能力，保險公司一般會將年金的到期權益積累值與準備金積累值之和大于最低保證收益積累值的概率控制在一定的范圍內。

為了計算年金的 分位數(shù)準備金，我們假定年金的標的權益的價格過程rt服從標準SV模型，具體形式如下[3]:

2.1 最低保證收益型年金

最低保證收益型年金（GMMBA）一般有最小收益的保證, 在最小保證收益的基礎上年金實際支付給保戶的收益率與預先規(guī)定好的某類股票指數(shù)或債券指數(shù)收益相關聯(lián)，此類年金的典型代表有權益指數(shù)年金。對于此類年金的準備金的研究，我們有：

定理1[3]記 表示最低保證收益率，P表示躉繳保費，St表示t時標的權益的價格，F(xiàn)(t)表示t時賬戶的現(xiàn)值，m表示管理費率，T表示權益聯(lián)結型年金的到期日，rt表示t時的對數(shù)收益率，Vα表示損失分布的 分位數(shù)準備金， 表示保險公司無損失風險的概率，則

2.2 附動態(tài)提款權的最低保證收益型年金

附動態(tài)提款權的最低保證收益型年金（GMMBA-DDR）是在最低保證收益型年金的基礎上進行了優(yōu)化，給年金購買者提供了一項權利：動態(tài)提款權，即若在年金有效期間內，年金購買者因為某種突發(fā)因素急需現(xiàn)金，則保險公司可以給予購買者提供提現(xiàn)的條件，類似于銀行定期存款一樣。對于此類年金的準備金的研究，我們有：

定理 2記λt表示t時保單持有人從賬戶中的提款率，其余符號含義同定理1，則

由中心極限定理可知，當T充分大時，有

故當T→∞時

推論在定理2的條件下，當各個周期內保單持有人從賬戶中的提款率相同，即當

注：當λ=0時，我們則可得到一般的最低保證收益型年金的準備金的表達式，即定理1。

2.3 考慮死亡風險的最低保證收益型年金

考慮死亡風險的最低保證收益型年金（GMMBA-MR）是在最低保證收益型年金的基礎上直接外加一個死亡風險因子tpx，即 歲個體活過t年的概率。因為隨著社會經濟水平的提高和醫(yī)療衛(wèi)生條件的改善，我國的人口死亡率整體呈現(xiàn)逐年下降的趨勢，而時間變動帶來的不確定性卻未能在最低保證收益型年金（GMMBA）和附動態(tài)提款權的最低保證收益型年金（GMMBA-DDR）的準備金提留中準確地反映出來，從長期來看，保險公司的經營將面臨巨大風險，所以在此我們對此類年金的準備金進行研究，可得：

定理 3記tpx表示 歲個體活過t年的概率，其余符號含義同定理1，則

3 實證分析

3.1 對數(shù)收益率的統(tǒng)計分析

考慮到樣本數(shù)據和樣本區(qū)間的不同，會對波動性特征的刻畫以及模型估計的結果產生較大影響，并且股票市場的波動性也會隨時間的變化而變化，因此，為了能夠較為準確地研究我國股票市場的波動特征，在樣本數(shù)據方面，本文選用最近的2012年全年深證成指日交易收盤價（共239個交易數(shù)據）來對對數(shù)收益率序列{rt}進行研究，數(shù)據來源于wind資訊。

基于選擇的樣本數(shù)據，對其進行基本的統(tǒng)計特征分析，可得基本統(tǒng)計變量的估計值，見表1。

表1 深成指日交易數(shù)據序列描述性統(tǒng)計分析結果

3.2 分位數(shù)準備金的影響因子分析

表2 GMMBA和GMMBA-DDR對應的準備金比較分析

表3 GMMBA和GMMBA-MR對應的準備金比較分析

由表2易知，當α＞ζ時，若固定最低保證利率g、到期日T和管理費率m，則 GMMBA和GMMBA-DDR對應的準備金Vα隨著α的增加而增加；當其他影響因子不變時，準備金隨著λ的增加而增加，因為λ的增加，表明保單持有人從賬戶中提款較多，這就影響了保險公司的財務管理，給財務管理帶來了不確定性，相應地增加了保險公司的財務風險，因此導致準備金的增加。

為了對GMMBA和GMMBA-MR模型下的準備金進行比較分析，在對考慮死亡風險的權益聯(lián)結型年金時，我們首先假定購買者的年齡為 歲，然后根據中國人壽保險業(yè)經驗生命表（1990-1993）得到對應年齡下的人口數(shù)據lx，再根據公式tpx=lx+t/lx即可得到對應年齡下的死亡率，最后可得表3。

由表3易知，同表2一樣，當α＞ζ時，若固定最低保證利率g、到期日T和管理費率m，則GMMBA和GMMBA-MR對應的準備金Vα隨著α的增加而增加；當其他影響因子不變時，準備金Vα隨著T的增加而增加，因為T的增加，這是因為隨著到期日的延長，

不確定性變大，保險公司的風險隨之增加，同時考慮死亡風險因素時，未來的死亡率會隨著年齡的增加（與T同向變化）而增加，因此在這雙重因素的影響下，保險公司需要提留更多的準備金。

4 結論

本文主要研究了 SV模型下 GMMBA、GMMBA-DDR和GMMBA-MR的α分位數(shù)準備金的提留問題，基于一定的假設得到對應的顯式表達式，并以2012年深成指日交易收盤價數(shù)據為樣本對三類年金的準備金進行了比較分析，借此將基本權益聯(lián)結型年金的準備金研究進行了推廣，一定程度上解決了保險公司的權益聯(lián)結型年金的準備金的提留問題。

[1] Tiong S. Valuing equity indexed annuities [J]. North American Actuarial Journal, 2000,4 (4):149-163.

[2] Imai J,Boyle P. Dynamic fund protection. North American Actuarial Journal[J].2001,5(3):31-49.

[3] Young V.R .Equity-indexed life insurance: pricing and reserving using the principle of equivalent utility[J].North American Actuarial Journal. 2003, 7(1):68-86.

[4] 王學金,王傳玉.不同死亡率模型下基本權益指數(shù)年金定價的比較分析[J]. 吉林師范大學學報(自然科學版),2013,34(1): 100-102+107.

[5] 王學金,王傳玉.隨機波動性模型下權益聯(lián)接型年金的準備金[J]. 南通大學學報(自然科學版),2013,12(3):78-81.

[6] Harvey A, Ruiz E, Shephard N. Multivariate stochastic variance models[J],Review of Economic Studies,1994(61):247-264.

[7] Jacquier E,Polson N.G, Rossi P.E. Bayesian analysis of stochastic volatility models[J],Journal of Business&Economic Statistics,1994,12(4):371-388.

[8] 沈根祥. 股票收益隨機波動模型研究[J].中國管理科學,2003,2(11):16-20.

[9] Taylor S.T. Modeling financial time series[M],Wiley,New York,NY,1986.

[10]Hwai-Chung Ho et al. Evaluating Quantile Reserve for Equity-Linked Insurance in A Stochastic Volatility Model: Long VS. Short Memory[J], Astin bulletin,2010,40(2):669-698.

責任編輯：王與

O211.67

A

1673-1794(2014)05-0083-04

李衍，魏佳麗，滁州學院數(shù)學與金融學院； 通訊作者：王學金，滁州學院數(shù)學與金融學院教師，碩士（安徽 滁州 239000）。

全國大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃（2014CXXL005）；安徽省級金融工程教學團隊（2013jxtd035）

2014-05-12