趙鳳艷，叢 森，常 帥，李 寧

(1.新疆工程學院 基礎部，新疆烏魯木齊830091;2.長春理工大學理學院，吉林長春130022)

非線性科學是當今世界科學的前沿和熱點，涉及自然科學和人文社會科學的眾多領域，它不僅具有重大的科學價值和深刻的哲學方法論意義，而且還具有非常廣泛的應用前景.20世紀下半葉，隨著計算機科學在物理學中的應用，非線性科學在物理學領域得到了前所未有的蓬勃發(fā)展.非線性科學主要是針對混沌、分叉、分形等等的研究，其中混沌的研究占主要地位［1－3］.非線性科學的真正建立是從美國氣象學家洛倫茲在《確定論的非周期流》一文中給出的洛倫茲方程開始，從而揭開了對非線性動力學系統(tǒng)的深入研究的序幕［4］.經典物理學所研究的線性不再是自然界普遍存在的，它只是相對于非線性的特例.我們都知道，經典科學研究的是事物發(fā)展的線性規(guī)律，是研究其簡單性、確定性和還原性，然而非線性理論主要研究事物發(fā)展的確定性和隨機性、有序與無序、穩(wěn)定與非穩(wěn)定、主體與客體、簡單性與復雜性相統(tǒng)一的世界，它們之間可以相互轉化，是對立統(tǒng)一的，遵循著唯物辨證法的發(fā)展規(guī)律.混沌是由系統(tǒng)內部的非線性因素引起的，是系統(tǒng)內在的隨機性的表現(xiàn)，而不是外在的非線性因素強加于系統(tǒng)而導致的一種非線性混沌狀態(tài).系統(tǒng)的長期行為對初始值的高度敏感性是混沌的本質特征，混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)徹底地推翻了傳統(tǒng)的思想觀念，改變了我們對世界物質發(fā)展的傳統(tǒng)看法，從而達到了對自然和對社會更深的理解［5－8］.

目前，國內許多高校都將非線性科學引入到傳統(tǒng)的教學中，這是歷史發(fā)展的必然結果，也是非線性科學發(fā)展的必然趨勢，同時也是當今社會對人才的培養(yǎng)要求.本文通過物理學中的光學混沌來闡明非線性科學在物理學的哲學方法論意義及其在通信保密工作中的應用價值.

1 非線性科學在光學混沌中的意義

1.1 確定性與不確定性的辨證統(tǒng)一 我們知道，非線性混沌系統(tǒng)是一個確定的系統(tǒng)，混沌的產生是由完全確定性的因素引起的，有確定的初始條件和確定的非線性動力學方程［9］.從表面上看，混沌是雜亂無章和沒有秩序的，其產生與外界無任何關系，只取決于自身內部固有的非線性系統(tǒng)，因此被稱為內在固有的隨機性，這種隨機性依賴于對初始條件的極端敏感性.混沌系統(tǒng)的確定性與不確定性，即隨機性是既相互矛盾又辨證統(tǒng)一的［10］.在光學二次諧波的非線性系統(tǒng)中，光學混沌的確定周期、倍周期，以及不確定混沌運動狀態(tài)的相互轉化能夠很好地解釋在非線性系統(tǒng)中混沌的確定性與不確定性的辨證統(tǒng)一.

在混沌理論基礎上，在一定的參數(shù)條件下，初始條件為A01=0.1+i 0.1，A02=0.1+i 0.1，Δ1=Δ2=1，我們利用四階龍格庫塔求解二次諧波系統(tǒng)的動力學方程，得出不同泵浦源強度下系統(tǒng)的周期軌道.當光場強度E=6.0時，二次諧波系統(tǒng)由定態(tài)進入到自脈沖狀態(tài)(見圖1).當光場強度E=6.17時，非線性的二次諧波系統(tǒng)產生倍周期的分叉(見圖2)，表明系統(tǒng)由周期態(tài)變?yōu)?倍周期態(tài).當光場強度E=6.9時，系統(tǒng)的周期加倍，二次諧波系統(tǒng)進入到4倍周期態(tài).繼續(xù)增加光場強度，二次諧波系統(tǒng)的周期態(tài)隨著加倍，當光場強度達到E=7.02時，二次諧波系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)(見圖3)，當泵浦光的強度增加到E＞7.6時，二次諧波系統(tǒng)又進入到周期態(tài)(見圖4).

圖1 E=6.0時二次諧波系統(tǒng)的周期軌道

圖2 E=6.17時二次諧波系統(tǒng)的周期軌道

圖3 E=7.02時二次諧波系統(tǒng)的混沌吸引子

圖4 E=8.1時二次諧波系統(tǒng)的周期軌道

從圖1—4中可以看出，隨著光場強度的增加，非線性光學二次諧波系統(tǒng)的狀態(tài)由周期軌道狀態(tài)到倍周期狀態(tài)，再到4倍周期態(tài)，當系統(tǒng)進入到混沌狀態(tài)后，繼續(xù)增加泵浦光強度，二次諧波系統(tǒng)又回到周期穩(wěn)定的軌道上.系統(tǒng)的運動狀態(tài)在周期窗口時才是確定的，而在其他位置時表現(xiàn)出隨機行為.混沌系統(tǒng)由確定的運動軌道進入不確定的混沌狀態(tài)，然而混沌的運動存在周期性穩(wěn)定的窗口.在同一個非線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的確定性和隨機性相互轉化，辨證統(tǒng)一于光學二次諧波系統(tǒng)，這也體現(xiàn)了光學二次諧波系統(tǒng)穩(wěn)定性與非穩(wěn)定性的相互轉化.

1.2 簡單性與復雜性的辨證統(tǒng)一 非線性的復雜性根源不僅表現(xiàn)在事物形態(tài)結構的無限分布上，而且也表現(xiàn)在事物發(fā)展的隨機性上.我們可以通過混沌理論來洞察復雜事物發(fā)展的簡單性.洛倫茲用簡單的和確定的非線性動力學方程，通過反復迭代就可以模擬天氣變化的隨機性、不可預測性、無規(guī)則性.可見，這些結果是通過非線性把表象的復雜性與本質的簡單性聯(lián)系在一起.然而，很多的非線性產生的復雜性具有自相似結構或自仿射結構，混沌不僅可以出現(xiàn)在簡單系統(tǒng)中，而且往往通過簡單的規(guī)則就可以產生混沌，它是對簡單系統(tǒng)的復雜性的揭示，簡單的系統(tǒng)可以產生復雜行為，復雜的系統(tǒng)也可以產生簡單行為.非線性的演化過程就是這樣不可預測，同時也揭示了簡單系統(tǒng)產生復雜行為的方法論意義.

1.3 有序性與無序性的辨證統(tǒng)一 按照哈肯和斯特瓦爾特的混沌觀點，混沌的產生既不是因為系統(tǒng)內部存在著受環(huán)境影響的外部因素，也不是由于無窮多個自由度的相互作用，而是由于非線性系統(tǒng)內部的隨機性，即有確定初始條件的非線性是混沌存在的必要條件.確定性的規(guī)律是通過確定性的初始條件和確定性的動力學方程來描述的，其行為是有序的，系統(tǒng)狀態(tài)變化是有規(guī)則和有秩序的;而在非線性系統(tǒng)中的混沌有確定的動力學方程，它對初始條件有高度敏感性，因此系統(tǒng)的長期行為是不可預測的，但是混沌系統(tǒng)的無序性并不說明混沌的系統(tǒng)是雜亂無章和毫無秩序的.非線性系統(tǒng)內部的對稱性又賦予混沌行為某種結構與秩序，混沌系統(tǒng)絕不是混亂無序的，而是無序中的高度有序，非線性系統(tǒng)的混沌是有序和無序的辨證統(tǒng)一，是現(xiàn)代混沌理論意義上的混沌序.在混沌理論中，時間序列也是判斷系統(tǒng)是否處在周期態(tài)或混沌狀態(tài)的有效方法，同時它還可以驗證混沌系統(tǒng)的有序性和無序性的辨證統(tǒng)一［11－15］.

圖5—7給出了相應光場強度下，非線性光學二次諧波系統(tǒng)的時間序列曲線的變化.從圖5—7可以看出，在光場強度為6.0時，光學二次諧波系統(tǒng)處在周期狀態(tài)，當強度增加到7.0時，系統(tǒng)處在倍周期狀態(tài)，繼續(xù)增加光場強度為7.6時，系統(tǒng)將進入到混沌狀態(tài).可見，非線性系統(tǒng)的混沌不是簡單的無序，而是無序中的有序，是更深層次的有序，有序和無序相伴而生，有序出自于混沌，又可以產生混沌，有序與無序既相互矛盾又辨證統(tǒng)一.

圖5 E=6.0時光學二次諧波系統(tǒng)的時間序列

圖6 E=7.0時光學二次諧波系統(tǒng)的時間序列

圖7 E=7.6時光學二次諧波系統(tǒng)的時間序列

2 非線性混沌的應用

在非線性系統(tǒng)中，光學混沌對初始條件具有高度的敏感性，同時它具有長期不可預測性以及高度的復雜性，然而混沌系統(tǒng)本身是確定的系統(tǒng)，它是由確定的初始條件和確定的非線性動力學方程和參數(shù)來決定的，因此，非線性光學混沌易于產生，也容易復制，光學混沌的這種隱蔽性、長期不可預測性、高度復雜性和易于實現(xiàn)又給光學保密通信工作帶來了更多的方便.目前，光學混沌主要應用于激光通信和光纖通信，它為保密通信工作做出了重要的貢獻［16－18］.

3 小結

本文是通過混沌現(xiàn)象來說明非線性在光學混沌理論的應用，同時揭示了它在混沌中的方法論意義.非線性理論的研究不僅有助于對自然客觀規(guī)律的理解，同時也有助于科學觀念的培養(yǎng).在以非線性思維觀念來認識事物的客觀發(fā)展規(guī)律時，應注意掌握事物發(fā)展的性質規(guī)律，理解事物在發(fā)展過程中的穩(wěn)定性與隨機性、有序性與無序性、簡單性與復雜性、有限性與無限性，這樣才能探索非線性的規(guī)律，掌握非線性的方法，建立非線性的世界觀.

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