李政輝

【摘要】向量是高中數(shù)學新課程新增的知識，每一年都進入了高考試題．向量的數(shù)量積是向量中的重點，它的幾何意義幫助學生理解向量作為工具的內(nèi)涵．恰當應用向量數(shù)量積的幾何意義解題能事半功倍，能最大限度地縮減思維量和運算量。

【關鍵詞】幾何意義；數(shù)量積；向量

設a→、b→是兩個非零向量，| b→|cos叫做向量b→在a→方向上的投影，當為銳角時，投影為正值；當為鈍角時，投影為負值；當為直角時，投影為0.從而得到a→·b→的幾何意義：數(shù)量積a→·b→=|a→||b→|cos等于a→的長度|a→|與b→在a→方向上的投影|b→|cos的乘積。

一、用數(shù)量積幾何意義解線性規(guī)劃

教材對求解形如Z=ax+by的目標函數(shù)在線性約束條件下的最值一般都是將二元一次函數(shù)（目標函數(shù)）轉化為求直線在y軸截距的問題，然后利用線性規(guī)劃知識來求解．但如果把Z=·，其中=（a，b）， =(x，y)，因為為定值，所以由數(shù)量積的幾何意義可知，Z的最值依賴于在方向上的投影||cosθ的最值，此投影點的最佳點即為最優(yōu)點．當可行域存在點A，使在方向上的投影||cosθ最大時，Zmax=·；當可行域存在點B，使在方向上的投影||cosθ最小時，Zmin=· 。

例1設變量x，y滿足x+y≤1,x-y≤1，x≥0,則Z=x+2y的最大值和最小值分別為( )

（A）1，-1（B）2，-2

（C）1，-2（D）2，-1

解：作出圖1，設N（x，y）為可行域內(nèi)任一點，

M（1，2），則Z=·，由數(shù)量積的幾何意義：

當N（x，y）在點A（0，1）處時，Zmax=2；

當N（x，y）在點B（0，－1）處時，Zmin=-2。

二、用向量數(shù)量積幾何意義解如下平面幾何的問題

1.平面多邊形的問題

例2．如圖2，正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量數(shù)量積最大的是()

A. B.

C. D.

解：四個選項都有，由數(shù)量積的幾何意義知某個向量在向量方向上的投影最大數(shù)量積就最大，過點P3，P4，P5，P6分別作在向量上的投影，向量在向量上的投影最大，故選A。

2.有關圓的問題

在圓上一點引半徑和一條不過圓心的弦，因為圓心與弦中點的連線垂直弦，故半徑對應的向量在弦投影等于弦的一半。

例3． 已知AB是半徑為r的圓O的弦，且AB=2，試探究·是否為定值（r為變量）?若是定值，請求出；若不是，請說明理由。

解：如圖3，過點O作OH⊥AB垂足為H，則在投影為AH，故·=AH·||=2

3.有關三角形的問題

設O是△ABC的外心，因為外心是三邊中垂線的交點，故由向量數(shù)量積的幾何意義可知：在三角形各邊的投影為所在邊的一半。

例4．如圖4，△ABC 中， AB = 3， AC = 5， 若O 為△ ABC 的外心， 則· =。

解： 注意到向量的加法運算及數(shù)量積

的幾何意義，便有如下簡解。

·=·(-)=·-·

∵O為是△ABC的外心，

∴·= 1-2 ||2= 9-2 ，

·= 1-2 ||2= 25-2

故·=8

三、用向量數(shù)量積幾何意義解立體幾何距離問題

設平面α的一個法向量為n→，A為平面α外一點，AC⊥α，垂足為C，B為平面α內(nèi)任一點，則由數(shù)量積的幾何意義得：點A到平面α的距離AC等于在n→方向投影的絕對值。

∵|·n→|=||·| n→|·|cos∠BAC|，

∴d=||·|cos∠BAC|=|·n→|/| n→| (*)

例5.已知正方形ABCD是邊長為4，E、F分別為AB和AD的中點，GC⊥平面ABCD于C，且GC=2，求點B到平面GEF的距離。

解：如圖5，建立空間直角坐標系，則G(0，0，2)，F(xiàn)(4，2，0)，E(2，4，0)，B(0，4，0).

所以=(2，-2，0)，=(2，4，-2)，=(2，0，0)

設平面GEF的法向量為n→=(x,y,z)，則n→·=0，n→·=0，

∴2x-2y=0，且2x+4y-2z=0，即x=y且z=3y，令y=1，則n→=(1,1,3)

∴得點B到平面GEF的距離為：

d=|·n→|/| n→|=2√11/11

用向量法解空間距離時，( * )式為求距離的統(tǒng)一公式，其中求兩條異面直線的距離時，n→為與兩異面直線的方向向量都垂直的向量，A、B分別為異面直線上的任意兩點；在求兩平行平面的距離時，n→為兩平面的一個法向量，A、B分別為兩個平面內(nèi)任意兩點。

以上是向量數(shù)量積幾何意義應用的幾個方面，向量數(shù)量積幾何意義的應用豐富了中學數(shù)學內(nèi)容，拓寬了學生的視野，對培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力、探索能力和創(chuàng)新能力起到很好的效果。

【摘要】向量是高中數(shù)學新課程新增的知識，每一年都進入了高考試題．向量的數(shù)量積是向量中的重點，它的幾何意義幫助學生理解向量作為工具的內(nèi)涵．恰當應用向量數(shù)量積的幾何意義解題能事半功倍，能最大限度地縮減思維量和運算量。

【關鍵詞】幾何意義；數(shù)量積；向量

設a→、b→是兩個非零向量，| b→|cos叫做向量b→在a→方向上的投影，當為銳角時，投影為正值；當為鈍角時，投影為負值；當為直角時，投影為0.從而得到a→·b→的幾何意義：數(shù)量積a→·b→=|a→||b→|cos等于a→的長度|a→|與b→在a→方向上的投影|b→|cos的乘積。

一、用數(shù)量積幾何意義解線性規(guī)劃

教材對求解形如Z=ax+by的目標函數(shù)在線性約束條件下的最值一般都是將二元一次函數(shù)（目標函數(shù)）轉化為求直線在y軸截距的問題，然后利用線性規(guī)劃知識來求解．但如果把Z=·，其中=（a，b）， =(x，y)，因為為定值，所以由數(shù)量積的幾何意義可知，Z的最值依賴于在方向上的投影||cosθ的最值，此投影點的最佳點即為最優(yōu)點．當可行域存在點A，使在方向上的投影||cosθ最大時，Zmax=·；當可行域存在點B，使在方向上的投影||cosθ最小時，Zmin=· 。

例1設變量x，y滿足x+y≤1,x-y≤1，x≥0,則Z=x+2y的最大值和最小值分別為( )

（A）1，-1（B）2，-2

（C）1，-2（D）2，-1

解：作出圖1，設N（x，y）為可行域內(nèi)任一點，

M（1，2），則Z=·，由數(shù)量積的幾何意義：

當N（x，y）在點A（0，1）處時，Zmax=2；

當N（x，y）在點B（0，－1）處時，Zmin=-2。

二、用向量數(shù)量積幾何意義解如下平面幾何的問題

1.平面多邊形的問題

例2．如圖2，正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量數(shù)量積最大的是()

A. B.

C. D.

解：四個選項都有，由數(shù)量積的幾何意義知某個向量在向量方向上的投影最大數(shù)量積就最大，過點P3，P4，P5，P6分別作在向量上的投影，向量在向量上的投影最大，故選A。

2.有關圓的問題

在圓上一點引半徑和一條不過圓心的弦，因為圓心與弦中點的連線垂直弦，故半徑對應的向量在弦投影等于弦的一半。

例3． 已知AB是半徑為r的圓O的弦，且AB=2，試探究·是否為定值（r為變量）?若是定值，請求出；若不是，請說明理由。

解：如圖3，過點O作OH⊥AB垂足為H，則在投影為AH，故·=AH·||=2

3.有關三角形的問題

設O是△ABC的外心，因為外心是三邊中垂線的交點，故由向量數(shù)量積的幾何意義可知：在三角形各邊的投影為所在邊的一半。

例4．如圖4，△ABC 中， AB = 3， AC = 5， 若O 為△ ABC 的外心， 則· =。

解： 注意到向量的加法運算及數(shù)量積

的幾何意義，便有如下簡解。

·=·(-)=·-·

∵O為是△ABC的外心，

∴·= 1-2 ||2= 9-2 ，

·= 1-2 ||2= 25-2

故·=8

三、用向量數(shù)量積幾何意義解立體幾何距離問題

設平面α的一個法向量為n→，A為平面α外一點，AC⊥α，垂足為C，B為平面α內(nèi)任一點，則由數(shù)量積的幾何意義得：點A到平面α的距離AC等于在n→方向投影的絕對值。

∵|·n→|=||·| n→|·|cos∠BAC|，

∴d=||·|cos∠BAC|=|·n→|/| n→| (*)

例5.已知正方形ABCD是邊長為4，E、F分別為AB和AD的中點，GC⊥平面ABCD于C，且GC=2，求點B到平面GEF的距離。

解：如圖5，建立空間直角坐標系，則G(0，0，2)，F(xiàn)(4，2，0)，E(2，4，0)，B(0，4，0).

所以=(2，-2，0)，=(2，4，-2)，=(2，0，0)

設平面GEF的法向量為n→=(x,y,z)，則n→·=0，n→·=0，

∴2x-2y=0，且2x+4y-2z=0，即x=y且z=3y，令y=1，則n→=(1,1,3)

∴得點B到平面GEF的距離為：

d=|·n→|/| n→|=2√11/11

用向量法解空間距離時，( * )式為求距離的統(tǒng)一公式，其中求兩條異面直線的距離時，n→為與兩異面直線的方向向量都垂直的向量，A、B分別為異面直線上的任意兩點；在求兩平行平面的距離時，n→為兩平面的一個法向量，A、B分別為兩個平面內(nèi)任意兩點。

以上是向量數(shù)量積幾何意義應用的幾個方面，向量數(shù)量積幾何意義的應用豐富了中學數(shù)學內(nèi)容，拓寬了學生的視野，對培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力、探索能力和創(chuàng)新能力起到很好的效果。

【摘要】向量是高中數(shù)學新課程新增的知識，每一年都進入了高考試題．向量的數(shù)量積是向量中的重點，它的幾何意義幫助學生理解向量作為工具的內(nèi)涵．恰當應用向量數(shù)量積的幾何意義解題能事半功倍，能最大限度地縮減思維量和運算量。

【關鍵詞】幾何意義；數(shù)量積；向量

設a→、b→是兩個非零向量，| b→|cos叫做向量b→在a→方向上的投影，當為銳角時，投影為正值；當為鈍角時，投影為負值；當為直角時，投影為0.從而得到a→·b→的幾何意義：數(shù)量積a→·b→=|a→||b→|cos等于a→的長度|a→|與b→在a→方向上的投影|b→|cos的乘積。

一、用數(shù)量積幾何意義解線性規(guī)劃

教材對求解形如Z=ax+by的目標函數(shù)在線性約束條件下的最值一般都是將二元一次函數(shù)（目標函數(shù)）轉化為求直線在y軸截距的問題，然后利用線性規(guī)劃知識來求解．但如果把Z=·，其中=（a，b）， =(x，y)，因為為定值，所以由數(shù)量積的幾何意義可知，Z的最值依賴于在方向上的投影||cosθ的最值，此投影點的最佳點即為最優(yōu)點．當可行域存在點A，使在方向上的投影||cosθ最大時，Zmax=·；當可行域存在點B，使在方向上的投影||cosθ最小時，Zmin=· 。

例1設變量x，y滿足x+y≤1,x-y≤1，x≥0,則Z=x+2y的最大值和最小值分別為( )

（A）1，-1（B）2，-2

（C）1，-2（D）2，-1

解：作出圖1，設N（x，y）為可行域內(nèi)任一點，

M（1，2），則Z=·，由數(shù)量積的幾何意義：

當N（x，y）在點A（0，1）處時，Zmax=2；

當N（x，y）在點B（0，－1）處時，Zmin=-2。

二、用向量數(shù)量積幾何意義解如下平面幾何的問題

1.平面多邊形的問題

例2．如圖2，正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量數(shù)量積最大的是()

A. B.

C. D.

解：四個選項都有，由數(shù)量積的幾何意義知某個向量在向量方向上的投影最大數(shù)量積就最大，過點P3，P4，P5，P6分別作在向量上的投影，向量在向量上的投影最大，故選A。

2.有關圓的問題

在圓上一點引半徑和一條不過圓心的弦，因為圓心與弦中點的連線垂直弦，故半徑對應的向量在弦投影等于弦的一半。

例3． 已知AB是半徑為r的圓O的弦，且AB=2，試探究·是否為定值（r為變量）?若是定值，請求出；若不是，請說明理由。

解：如圖3，過點O作OH⊥AB垂足為H，則在投影為AH，故·=AH·||=2

3.有關三角形的問題

設O是△ABC的外心，因為外心是三邊中垂線的交點，故由向量數(shù)量積的幾何意義可知：在三角形各邊的投影為所在邊的一半。

例4．如圖4，△ABC 中， AB = 3， AC = 5， 若O 為△ ABC 的外心， 則· =。

解： 注意到向量的加法運算及數(shù)量積

的幾何意義，便有如下簡解。

·=·(-)=·-·

∵O為是△ABC的外心，

∴·= 1-2 ||2= 9-2 ，

·= 1-2 ||2= 25-2

故·=8

三、用向量數(shù)量積幾何意義解立體幾何距離問題

設平面α的一個法向量為n→，A為平面α外一點，AC⊥α，垂足為C，B為平面α內(nèi)任一點，則由數(shù)量積的幾何意義得：點A到平面α的距離AC等于在n→方向投影的絕對值。

∵|·n→|=||·| n→|·|cos∠BAC|，

∴d=||·|cos∠BAC|=|·n→|/| n→| (*)

例5.已知正方形ABCD是邊長為4，E、F分別為AB和AD的中點，GC⊥平面ABCD于C，且GC=2，求點B到平面GEF的距離。

解：如圖5，建立空間直角坐標系，則G(0，0，2)，F(xiàn)(4，2，0)，E(2，4，0)，B(0，4，0).

所以=(2，-2，0)，=(2，4，-2)，=(2，0，0)

設平面GEF的法向量為n→=(x,y,z)，則n→·=0，n→·=0，

∴2x-2y=0，且2x+4y-2z=0，即x=y且z=3y，令y=1，則n→=(1,1,3)

∴得點B到平面GEF的距離為：

d=|·n→|/| n→|=2√11/11

用向量法解空間距離時，( * )式為求距離的統(tǒng)一公式，其中求兩條異面直線的距離時，n→為與兩異面直線的方向向量都垂直的向量，A、B分別為異面直線上的任意兩點；在求兩平行平面的距離時，n→為兩平面的一個法向量，A、B分別為兩個平面內(nèi)任意兩點。

以上是向量數(shù)量積幾何意義應用的幾個方面，向量數(shù)量積幾何意義的應用豐富了中學數(shù)學內(nèi)容，拓寬了學生的視野，對培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力、探索能力和創(chuàng)新能力起到很好的效果。