霍蓓筠

【摘 要】本文對三角函數(shù)不等式教學(xué)中的常見問題展開探討，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中既可以加深對三角函數(shù)的理解，又可以使學(xué)生對不等式進(jìn)一步了解，還可以為以后的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)不等式

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)，其本質(zhì)是在任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，定義域十分寬廣，為整個實數(shù)域。另一種定義則是在直角三角形中，但表現(xiàn)也不完全。而在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)中將三角函數(shù)描述成無窮數(shù)列的極限以及微分方程的解，把它又?jǐn)U展到了復(fù)數(shù)系的范疇中。

一、三角函數(shù)不等式的幾個常見問題分析

（1）由三角函數(shù)的相關(guān)知識我們可以知道，在平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中，如果選取角α的終邊上的任意一個點作軸上的垂線，那么所得到的三角函數(shù)值并不會因為這個點所取位置的不同而發(fā)生變化。以下對這個原因進(jìn)行探討，分析這種定義的意義。

首先，其意義表現(xiàn)在，如果把原點當(dāng)做圓心，半徑值取2來定義任意角α的三角函數(shù)值，在這里我們設(shè)α的終邊和圓的交點為Q（x.y），這樣就可以算出它的正弦值和余弦值，而正切值。由此我們可以看出，如果利用單位圓去定義三角函數(shù)，那么數(shù)值會更加清楚和簡潔，而且在正弦函數(shù)以及余弦函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系中表現(xiàn)得更為突出。其次，由于單位圓中點的坐標(biāo)對應(yīng)的就是角的三角函數(shù)，所以任何一個角的三角函數(shù)代數(shù)的形式都能夠用圖象更加直觀地表現(xiàn)出來。例如下圖1，根據(jù)圖1我們可以設(shè)∠POM和單位圓相交于點P（x.y），那么∠POM的正弦值y、余弦值x以及正切值都可以在圖象上找到各自的對應(yīng)點，即么、以及。因此單位圓的使用可以讓我們在解答三角函數(shù)值以及在作三角函數(shù)圖象的過程中更加便捷。最后，借助單位圓和三角函數(shù)的圖象，可以更為方便地利用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、周期性、每個三角函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ，以及三角函數(shù)的簡化公式。

（2）在教學(xué)的課堂上，經(jīng)常聽到教師用“奇變偶不變，符號看象限”的語句概括六組簡化公式，并要求學(xué)生背出并運用這個口訣的同時要將α看做是一個銳角，但是這個α是否存在為任意角的可能性？

通常來說，簡化公式的確是一個可以適用于任意角的公式，它可以揭示任意角α的三角函數(shù)值與（k∈Z），，，-α的三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系。我們可以用數(shù)形結(jié)合來思考這個問題，那么三角函數(shù)的簡化公式其實也可以當(dāng)做是圓的對稱性的代數(shù)表現(xiàn)形式，也就是根據(jù)任意角α的終邊和（k∈Z），，，-α的終邊之間的對稱關(guān)系來得出三角函數(shù)的數(shù)值，于是可以看出，這個跟角α是不是銳角完全沒有關(guān)系。

我們還可以舉一個例子，比如，顯然并不是一個銳角。在用簡化公式的時候，我們可以用sin的值來探索的值，當(dāng)然在這個時候，我們通常關(guān)注到的已經(jīng)不再是本身終邊的位置了，而是和兩者之間終邊有什么關(guān)系。大家都知道，和的終邊是關(guān)于原點對稱的，如果要把化成是任意角α，那么這個關(guān)系也仍然成立。根據(jù)三角函數(shù)的定義可以知道角α和π+α的正弦值是互為相反數(shù)的關(guān)系，而我們在記憶簡化公式中，可以將α看成是一個銳角，也就是說，以上的解題步驟只是公式記憶的一種方法而已。

二、三角函數(shù)不等式的幾何證明

根據(jù)以上圖1的問題，學(xué)生會產(chǎn)生疑問。例如對于正切函數(shù)以及正弦函數(shù)的圖象是怎樣，之間有沒有交點。教師都會回答有，當(dāng)=0時，=0，=0，那么兩者就相交于原點（0，0）。同樣的道理，當(dāng)=π時，兩者之間相交于（π，0）。根據(jù)正切曲線以及正弦曲線的周期性，兩者相交于（kπ，0）（k∈Z），這就有無窮多個相交點了。如果學(xué)生對有沒有存在其他交點的問題還存在疑問，例如在區(qū)間（0，）上，的圖象是不是在的上面，或者有一段是否相互重合的，再或者兩者之間是否存在交點。其實，通過上面的圖1，我們可以知道sin∠POM=|PM|，tan∠POM=|AT|，顯然|AT|>|PM|，因此tan∠POM＞sin∠POM。也就是說，在區(qū)間（0，）上，的圖象始終都在的上方，而且會隨著∠POM的增大而增大。這個時候?qū)W生就會明白，剛開始由于∠POM很小，所以tan∠POM和sin∠POM的差也很小，看上去兩者的圖象比較象重合，但實際上tan∠POM始終比sin∠POM要大，因此的圖象就會一直都在的上方。

這時教師可以引導(dǎo)學(xué)生回到最初的問題上去，以及的圖象究竟是怎樣的。我們知道，這兩者的圖象相交點是（kπ，0）（k∈Z），那么在區(qū)間（0， ）上，的圖象都會出現(xiàn)在圖象的上方，同時它們都是奇函數(shù)，因此在區(qū)間（-，0）上，的圖象又會在圖象的下方。于是其他的范圍就會很明確，可以根據(jù)其周期性畫圖即可。教師根據(jù)以上過程及時作出總結(jié)：也就是說在區(qū)間（0，）上的圖象最重要。于是可以更深入地研究這個范圍的圖象，或者我們還可以找出一個量，保證它的值始終小于|AT|，并且大于|PM|。這樣可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真思考，是不是|PM|<<|AT|顯然在圖1的單位圓中，S△POA

以上的不等式，當(dāng)∈（0，）時<<，它有一個非常重要的應(yīng)用會體現(xiàn)在微積分上[2]，用它來加以證明，這些都在對學(xué)生知識的學(xué)習(xí)和理解能力之上，但是如果學(xué)生對這方面的知識有足夠的興趣，而且對三角函數(shù)不等式的相關(guān)知識掌握足夠牢固的話，教師也可以利用知識再深入地向?qū)W生進(jìn)行展示和分析，不斷探討三角函數(shù)不等式的樂趣所在。

運用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)證明不等式是一種重要的方法，可以利用三角函數(shù)的基本關(guān)系，單調(diào)性、有界性、凹凸性證明可換元為三角函數(shù)型不等式，并利用作差法、作商法、判別式法、主元法、導(dǎo)數(shù)法等方法證明三角函數(shù)型不等式。除此之外，在三角函數(shù)不等式的相關(guān)知識中，還包括了很多例如調(diào)整原理的知識點，比如設(shè)f （x）定義在區(qū)間（a，b）（任何區(qū)間上），或者可以設(shè)置f （x），x∈（a，b）為正值函數(shù)的時候，如何證明不等式成立等，這些都可以通過調(diào)整的原理加以論證。由此可見，學(xué)習(xí)好有關(guān)三角函數(shù)的知識，并將三角函數(shù)運用到不等式的證明中是十分重要的。

三、結(jié)束語

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容都是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難題，學(xué)生對三角函數(shù)不等式的把握和理解各有差異，在學(xué)習(xí)過程中遇到了很多難題，因此，有關(guān)數(shù)學(xué)中三角函數(shù)不等式的內(nèi)容是一大重要而復(fù)雜的問題。本文由此對數(shù)學(xué)中三角函數(shù)不等式教學(xué)中常見的幾個問題進(jìn)行展開探討，舉出事例具體分析三角函數(shù)不等式的相關(guān)問題，以獲取解疑答惑的目的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊海波.三角函數(shù)中的不等式[J].試題與研究（新課程論壇），2013，11（25）：61-62.

[2]周再禹.三角函數(shù)不等式的調(diào)整證法[J].科技資訊，2013，12（21）：46-48.