李金鳳　李興

歸納法是一種研究問題的基本方法，它是從認(rèn)識(shí)個(gè)別的、特殊的事物推出一般原理和普遍事物.特別是數(shù)學(xué)歸納法對(duì)人的思辨性思維要求較高，要根據(jù)已有的前提條件，進(jìn)行歸納和邏輯推導(dǎo)，進(jìn)而得到最終的結(jié)論.在高中物理的許多問題中，數(shù)學(xué)歸納法都有著極為重要的作用.現(xiàn)舉幾例加以說明.

例1如圖1所示電路，AB右側(cè)有無窮多個(gè)電阻，每個(gè)電阻的阻值皆為R，將AB兩端接入電路，試計(jì)算AB之間的總電阻.

解析設(shè)AB之間的總電阻為Rx，通過對(duì)電路結(jié)構(gòu)的分析、歸納可得：若將靠近AB端的兩個(gè)、四個(gè)、六個(gè)…….偶數(shù)個(gè)電阻去掉之后剩下的那部分電路，與原來的電路結(jié)構(gòu)完全相同，所以它們的阻值也應(yīng)該是完全相同的.現(xiàn)在以去掉左側(cè)兩個(gè)電阻之后的電路為例，該電路電阻也為Rx，故AB之間的等效電路如圖2所示.根據(jù)電阻的串并聯(lián)規(guī)律可得

（Rx+R）R1（Rx+R）+R=Rx，

解之得Rx=5+112R.

解決本題的主導(dǎo)思想就是在于利用對(duì)部分電路進(jìn)行分析，通過與整個(gè)電路的對(duì)比進(jìn)而歸納總結(jié)出相應(yīng)的等效電路，從而將無限變?yōu)橛邢蓿箚栴}得以簡化.

例2如圖3所示，常溫常壓下，一導(dǎo)熱性能良好的密閉容器，容積為V0，內(nèi)部氣體壓強(qiáng)為p0，現(xiàn)用容積為ΔV的抽氣筒對(duì)該容器進(jìn)行緩慢抽氣，試求抽完N次后，容器內(nèi)剩余氣體的壓強(qiáng)是多少？

解析抽氣問題屬于典型的變質(zhì)量問題.處理這類抽氣問題有兩點(diǎn)需要明確：一、如何將變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化成“不變質(zhì)量”問題，也就是要選取合適的研究對(duì)象；二、如何探尋每一次抽氣前后，容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)變化規(guī)律，這就需要用到數(shù)學(xué)歸納法去總結(jié)出帶有一般性規(guī)律的表達(dá)式.

依題意，抽氣過程中，氣體做等溫變化，遵循的是玻意爾定律.每一次抽氣時(shí)，取容器和被抽氣筒抽出的氣體這樣一個(gè)整體作為研究對(duì)象.第一次抽氣前后有

P0V0=P1（V0+ΔV）（1）

第二次抽氣之前容器內(nèi)剩余氣體的壓強(qiáng)就是p1，所以第二次抽氣前后仍然有

P1V0=P2（V0+ΔV）（2）

第三次抽氣之前容器內(nèi)剩余氣體的壓強(qiáng)就是p2，亦有

P2V0=P3（V0+ΔV）（3）

……

第N次抽氣前后，有

PN-1V0=PN（V0+ΔV）（4）

（4）式的獲得就是對(duì)（1）、（2）、（3）式進(jìn)行歸納推導(dǎo)的結(jié)果.

由（1）式可得p1=V01V0+ΔV p0（5）

由（2）式可得p2=V01V0+ΔV p1（6）

由（3）式可得p3=V01V0+ΔV p2（7）

（5）、（6）兩式聯(lián)立可得p2=（V01V0+ΔV）2p0（8）

（7）、（8）兩式聯(lián)立可得p3=（V01V0+ΔV）3p0（9）

通過對(duì)（5）、（8）、（9）三式再一次進(jìn)行歸納推理可得：抽完N次后，容器內(nèi)剩余氣體的壓強(qiáng)表達(dá)式為

pN=（V01V0+ΔV）Np0.

在本題中，方程的建立和解方程的過程都用到了數(shù)學(xué)歸納法.這里需要特別說明一點(diǎn)，與數(shù)學(xué)中用數(shù)學(xué)歸納法證明問題不同的是，物理中不再需要驗(yàn)證結(jié)論這一環(huán)節(jié)，而是將重點(diǎn)放在如何探究從特殊情況到一般結(jié)論這一歸納的過程和結(jié)果上來.

例3有N個(gè)質(zhì)量均為m的人，站在質(zhì)量為M的平板車上.開始時(shí)，人與車均靜止于光滑水平面上，若這N個(gè)人都從平板車的后端以相對(duì)于平板車為u的水平速度從車上向后跳下，車因此向前反沖前進(jìn).

（1）若N個(gè)人同時(shí)跳車，平板車獲得的速度是多大？

（2）若N個(gè)人依次跳車，平板車獲得的速度又是多大？

解析很顯然，本題中，第二種情況要復(fù)雜一些，如不仔細(xì)加以分析，很容易給人造成兩種情況貌似完全相同的錯(cuò)覺.

第一種情況下，N個(gè)人同時(shí)跳車，設(shè)人跳車時(shí)車向前的速度大小為v，則此時(shí)人對(duì)地向后的速度大小為v′=u-v，方向與車速方向相反，跳車過程中人與車系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，即Mv-Nmv′=0.故平板車獲得的反沖速度為

v=Nmu1M+Nm.

第二種情況下，N個(gè)人依次跳車時(shí)，在第一個(gè)人跳車前后，由系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒可得

[M+（N-1）m]v1-m（u-v1）=0，

解得v1=mu1M+Nm（1）

其中v1為第一個(gè)人跳車后的車速.在第二個(gè)人跳車前，新系統(tǒng)已經(jīng)具有了一定的初動(dòng)量

p1=[M+（N-1）m]v1，

故在第二個(gè)人跳車前后，根據(jù)新系統(tǒng)動(dòng)量守恒可得

[M+（N-2）m]v2-m（u-v2）=[M+（N-1）m]v1，

解之得v2-v1=mu1M+（N-1）m（2）

其中v2為第二個(gè)人跳車后的車速.同理，在第三個(gè)人跳車前后，有

[M+（N-3）m]v3-m（u-v3）=[M+（N-2）m]v2，

解之得v3-v2=mu1M+（N-2）m（3）

其中v3為第三個(gè)人跳車后的車速.同理依次類推有

v4-v3=mu1M+（N-3）m（4）

……

vN-vN-1=mu1M+[N-（N-1）]m，

即vN-vN-1=mu1M+m（5）

將以上所有表達(dá)式左邊相加有

v1+（v2-v1）+（v3-v2）+（v4-v3）+…+（vN-1-vN-2）+（vN-vN-1）=vN，

右邊相加即為vN的最終表達(dá)式，故

vN=mu1M+Nm+mu1M+（N-1）m+mu1M+（N-2）m+…

+mu1M+m.

由于vN表達(dá)式中的分子都是相同的，而分母越來越小，故這N項(xiàng)之和大于第一項(xiàng)mu1M+Nm的N倍，即vN>Nmu1M+Nm，也即vN>v，說明平板車在第二種情況下獲得的速度大于第一種情況.

這個(gè)結(jié)論同時(shí)也告訴我們一個(gè)事實(shí)：在發(fā)射人造航天器時(shí)，為什么要采取多級(jí)火箭依次點(diǎn)火加速，而不是采用多級(jí)火箭同時(shí)點(diǎn)火加速的方式，因?yàn)樵谶@種情況下航天器可以獲得更大的推進(jìn)速度.

本例巧妙的對(duì)條件進(jìn)行歸納總結(jié)，從而將依次跳車過程中的那些中間過渡速度給抵消了，只保留了車最終的速度，盡管最終的表達(dá)式略顯復(fù)雜，但是里面暗含的規(guī)律是顯而易見的.可以說本例是數(shù)學(xué)歸納法在物理問題中應(yīng)用的典范.具有很強(qiáng)的參考和借鑒意義.