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        一道高考與自主招生試題對比分析

        2014-09-22 10:10:30周太紅
        中學(xué)物理·高中 2014年6期
        關(guān)鍵詞:典例重物斜面

        周太紅

        高考是國家為選拔優(yōu)秀人才進(jìn)入大學(xué)深造的重要考試,自主招生考試是重點高校對頂尖學(xué)生進(jìn)行區(qū)分選拔的測試,二者相輔相成,互為補(bǔ)充.研究近年高考和自主招生試題,可以發(fā)現(xiàn),有些試題形同質(zhì)異.研究二者其異同,不但可以激勵更多的學(xué)生參加自主招生,還有利于提高解題能力,高考取得優(yōu)異成績.

        典例1(2013年山東)如圖1所示,一質(zhì)量m=0.4 kg的小物塊,以v0=2 m/s的初速度,在與斜面成某一夾角的拉力F作用下,沿斜面向上做勻加速運動,經(jīng)t=2 s的時間物塊由A點運動到B點,A、B之間的距離L=10 m.已知斜面傾角θ=30°,物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ=313.重力加速度g取10 m/s2.(1)求物塊加速度的大小及到達(dá)B點時速度的大小.(2)拉力F與斜面的夾角多大時,拉力F最???拉力F的最小值是多少?

        解析(1)設(shè)物塊加速度的大小為a,到達(dá)B點時速度的大小為v,由運動學(xué)公式得

        L=v0t+112at2(1)

        v=v0+at(2)

        聯(lián)立(1)、(2)式,代入數(shù)據(jù)解得

        a=3 m/s2(3)

        v=8 m/s(4)

        (2)設(shè)物塊所受支持力為FN,所受摩擦力為Ff,拉力與斜面之間的夾角為α.受力分析如圖2所示.由牛頓第二定律得

        Fcosα-mgsinθ-Ff=ma(5)

        Fsinα+FN-mgcosθ=0(6)

        又Ff=μFN(7)

        聯(lián)立解得F=mg(sinθ+μcosθ)+ma1cosα+μsinα(8)

        令μ=313=tanα,

        由數(shù)學(xué)知識得cosα+313sinα=2313sin(60°+α)(9)

        由(8)、(9)式可知對應(yīng)的F最小值的夾角α=30°(10)

        聯(lián)立(3)、(8)、(10)式,代入數(shù)據(jù)得F的最小值為

        Fmin=13315 N.

        典例2(2013年華約自主招生)明理同學(xué)平時注意鍛煉身體,力量較大,最多能提起m=50 kg的物體.一重物放置在傾角θ=15°的粗糙斜坡上,重物與斜坡間的摩擦因數(shù)為μ=313≈0.58.試求該同學(xué)向上拉動的重物質(zhì)量M的最大值?

        解析根據(jù)題述,拉力F=mg=50g N.

        設(shè)該同學(xué)拉動重物的力F的方向與斜面夾角為,分析重物M受力,如圖4所示.將各力分別沿斜面方向和垂直斜面方向分解,由平衡條件得:

        在垂直斜面方向上FN+Fsin-Mgcosθ=0,

        式中FN是斜面對重物的支持力,其大小等于重物對斜面的正壓力.

        沿斜面方向上 Fcos- f -Mgsinθ=Ma,

        由摩擦定律f=μFN.

        根據(jù)題意,重物剛好能被拉動,加速度a可近似認(rèn)為等于零,即a=0.

        聯(lián)立解得M=F(cos+μsin)1g(μcosθ+sinθ).

        令μ=tanα,代入上式可得

        M=Fcos(+α)1gsin(θ+α).

        要使該同學(xué)向上拉動的重物質(zhì)量M最大 ,上式中分子取最大值,即

        cos(+α)=1,

        Mmax=F1gsin(θ+α).

        由μ=tanα=313,可得α=30°,代入上式可得該同學(xué)向上拉動的重物質(zhì)量M的最大值

        Mmax=F1gsin(15°+30°)=502 kg=70.7 kg.

        點評這兩道從題圖上看很相似,都是斜面上物體受到一個拉力作用;從題目問題看,二者均為求極值,均需要運用數(shù)學(xué)上三角函數(shù)求極值.兩道題的不同點主要有以下三方面:第一方面,典例1有兩問,典例2只有一問.典例1的第(1)問容易得出,命題者的目的使考生容易得分,提高其得分率,這是高考命題的要求.第二方面,典例1利用牛頓運動定律,求拉力F的最小值;典例2利用平衡條件,求拉動的重物質(zhì)量M的最大值.第三方面,典例1涉及的知識主要是勻變速直線運動規(guī)律、受力分析、力的分解、牛頓運動定律、摩擦定律、數(shù)學(xué)上三角函數(shù)極值等.典例2涉及的知識主要是受力分析、力的分解、牛頓運動定律、摩擦定律、數(shù)學(xué)上三角函數(shù)極值等.解答時要注意利用重物剛好能被拉動這一條件.要得出該同學(xué)向上拉動的重物質(zhì)量M的最大值,需要根據(jù)題述列出相關(guān)方程,解得M的函數(shù)表達(dá)式,利用數(shù)學(xué)知識得到最大值.

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