吳克勝

數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，主要是指新授課之后為鞏固知識(shí)點(diǎn)所進(jìn)行的典型例題講解、習(xí)題處理和作業(yè)題、試題評(píng)講等教學(xué)活動(dòng)，它是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是概念、性質(zhì)、公式和原理教學(xué)的延續(xù)和深化，是學(xué)生掌握知識(shí)，培養(yǎng)和提高思維能力的重要環(huán)節(jié).如何充分發(fā)揮數(shù)學(xué)習(xí)題的功效，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是一個(gè)值得深入探討的問(wèn)題.下面筆者談?wù)剮c(diǎn)教學(xué)體會(huì).

一、精選例題，示范講解

例題教學(xué)不僅有助于學(xué)生理順解題思路，復(fù)習(xí)鞏固知識(shí)和明確解題規(guī)范，更重要的是可以培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力，特別是思維能力，但由于課堂時(shí)間有限，數(shù)學(xué)習(xí)題類型繁多，不可能面面俱到.為此，教師必須對(duì)例題進(jìn)行篩選，精選典型的、具有普遍指導(dǎo)意義的習(xí)題作為范題.從解題思路入手，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題意，弄清要求和條件，找出例題所涉及的知識(shí)點(diǎn).為此，在例題教學(xué)時(shí)，我認(rèn)為首先應(yīng)關(guān)注讀題.俗話說(shuō)：“答題規(guī)范才能脫貧，審題仔細(xì)方能致富.”讀題不等同于審題，它是學(xué)生吸收知識(shí)、發(fā)展智力的重要手段，也是學(xué)生識(shí)記數(shù)學(xué)知識(shí)的途徑之一.不少學(xué)生開(kāi)始不明白應(yīng)該怎樣讀數(shù)學(xué)題，題目中看似簡(jiǎn)單的文字就是讀不出什么知識(shí)點(diǎn)來(lái)，更讀不出知識(shí)點(diǎn)的相互聯(lián)系.

為了提高學(xué)生的讀題能力，我首先要求學(xué)生模仿.我讓學(xué)生模仿我讀題時(shí)提出問(wèn)題的方式，邊讀題邊思考，并提出一些相關(guān)的知識(shí)及知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系；其次是要求學(xué)生模仿我在讀題時(shí)的聯(lián)想和知識(shí)的大量提取.例如，在講到蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第三章第五節(jié)的相關(guān)例題：如圖1，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，與AD相交于點(diǎn)E，EF⊥BC，垂足為F，四邊形ABFE是正方形嗎？簡(jiǎn)述你的理由.我的分析如下：

圖1（1）從“矩形ABCD中”聯(lián)想到矩形的性質(zhì)，包括邊的性質(zhì)、內(nèi)角的性質(zhì)、對(duì)角線的性質(zhì)以及和平行四邊形、菱形的邊、內(nèi)角、對(duì)角線的性質(zhì)的對(duì)比.

（2）“BE平分∠ABC，與AD相交于點(diǎn)E”：從對(duì)稱的角度，它將一個(gè)角一分為二；角平分線上的點(diǎn)E到角兩邊的距離相等，還有到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.

（3）“EF⊥BC，垂足為F”：為什么要說(shuō)垂足為F，因

=3cm，BC=4cm.現(xiàn)在以C為圓心，r為半徑作圓，確定在r=2cm、r=2.4cm、r=3cm的情況下，圓與直線AB的位置關(guān)系分別怎樣.

解析：要求圓與直線的位置關(guān)系，就要先分析d與r的數(shù)量關(guān)系，這也是解這道題的關(guān)鍵步驟.要先求出點(diǎn)C到直線AB的距離d的值.過(guò)點(diǎn)C作CD垂直于AB，|CD|=d.在△ABC和△ACD中，sin∠A=415=d13，計(jì)算得d=2.4cm.將d分別與r相比較可得，當(dāng)r=2cm時(shí)，圓與直線相離；當(dāng)r=2.4cm時(shí)，圓與直線相切；當(dāng)r=3cm時(shí)，圓與直線相交.

三、數(shù)形結(jié)合思想的高度升華

數(shù)形結(jié)合思想滲透于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，教師向?qū)W生顯示數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不能局限于理論知識(shí)，還要高度升華到解決生活實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，引導(dǎo)學(xué)生把生活中數(shù)與形相結(jié)合的實(shí)例遷移到數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)當(dāng)中.教師要善于利用教材中的應(yīng)用題進(jìn)行分析，讓學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想在解決實(shí)際問(wèn)題方面的重要作用，為學(xué)生進(jìn)一步熟練數(shù)形結(jié)合思想的全面應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).結(jié)合數(shù)學(xué)規(guī)律和生活實(shí)際問(wèn)題，將數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行高度升華，使其在理論之外的實(shí)踐中依然發(fā)揮特有的作用，反復(fù)強(qiáng)調(diào)并強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的重要意義，使學(xué)生主動(dòng)將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)形結(jié)合意識(shí)扎根于思維之中，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)能夠貫穿聯(lián)合各種思想方法，靈活變通，并學(xué)會(huì)分析數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì).

【例3】光明商場(chǎng)某種食用油的進(jìn)價(jià)為80元，其原先的銷售單價(jià)為100元，這時(shí)每天可售出100桶.后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，商場(chǎng)發(fā)現(xiàn)此食用油的單價(jià)每降低一元，每天就可以多賣出10桶.

（1）光明商場(chǎng)原來(lái)銷售此食用油一天獲利多少元？

（2）假設(shè)后來(lái)該食用油的銷售單價(jià)降低了x元，商場(chǎng)每天獲利y元.根據(jù)題意表示出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)出函數(shù)草圖，觀察圖像的變化趨勢(shì)，回答當(dāng)x取何值時(shí)，商場(chǎng)一天的獲利不會(huì)少于2160元？

解析：（1）原來(lái)該食用油一天可獲利100×（100-80）=2000元；

（2）此問(wèn)題需要用到數(shù)形結(jié)合思想.由“此食用油的單價(jià)每降低一元，每天就可以多賣出10桶”得y與x的關(guān)系式：y=（100-80-x）（100+10x），展開(kāi)并配方得，y=-10x2+100x+2000=-10（x-5）2+2250.根據(jù)配方后的函數(shù)可以很快確定拋物線圖像的大致形狀.分析圖像可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)2≤x≤8時(shí)，y不小于2160，即當(dāng)2≤x≤8時(shí)，商店一天的獲利不會(huì)少于2160元.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）為它指明了∠BFE為直角，如果沒(méi)有指明垂足為F，則不知道哪個(gè)角為直角.

（4）“四邊形ABFE是正方形嗎”：這實(shí)際是一道考查如何證明四邊形是正方形的題目，根據(jù)正方形的定義我們有兩種方法：①一組鄰邊相等的矩形是正方形；②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.另外，如何證明四邊形是矩形？菱形？又各有三種方法（略）.

（5）對(duì)于本題，根據(jù)已知條件運(yùn)用兩種方法都可以解決，但哪種更簡(jiǎn)單？第一種（略）.

通過(guò)對(duì)典型例題的剖析，不僅可以收到對(duì)此類題型舉一反三的效果，更重要的是可以達(dá)到梳理知識(shí)、提高思維能力的目的.

二、面向中下等學(xué)生設(shè)計(jì)習(xí)題梯度，因材施教

其實(shí)每節(jié)課教會(huì)幾個(gè)尖子生并不難，難的是教會(huì)大部分中下等學(xué)生.素質(zhì)教育的目的是關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展，根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，我們所選的習(xí)題一定要難易適中，有梯度，以此來(lái)滿足不同層次學(xué)生的需要.一堂有效的習(xí)題課，除了能幫助學(xué)生熟悉解法，培養(yǎng)他們運(yùn)用知識(shí)去解決問(wèn)題的能力外，還要在解決問(wèn)題的同時(shí)使他們的邏輯思維能力得到提高.

習(xí)題練習(xí)中即便是同種類型的習(xí)題，有時(shí)學(xué)生練習(xí)一次也不能解決問(wèn)題，這時(shí)適當(dāng)?shù)刂貜?fù)練習(xí)就顯得很有必要.這里分兩種情況，如普遍存在問(wèn)題則教師應(yīng)該集體講解，然后再重新訂正直至全部問(wèn)題都被解決.如果是少數(shù)學(xué)習(xí)困難生出錯(cuò)，那么教師就要手把手地進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，輔導(dǎo)時(shí)要對(duì)他們充滿信心，不離不棄.多年的教學(xué)實(shí)踐使我感覺(jué)到，教師的誠(chéng)心與耐心是學(xué)生信心的源泉.學(xué)困生大多反應(yīng)較慢，他們對(duì)固定知識(shí)的掌握往往不是太差，但他們?nèi)狈D(zhuǎn)換遷移和推理的能力.比如他們能將（x-4）2展開(kāi)，但對(duì)（2x-4y）2這樣的式子就是不能完全展開(kāi)，你只有一步一步講解之后他們才能理解，但當(dāng)你將式子再進(jìn)行變化后他們又不會(huì)了.對(duì)于這類學(xué)生，只有給予極大的寬容與耐心，才能在各方面使他們保持進(jìn)取之心，從而取得相應(yīng)進(jìn)步.有些學(xué)生當(dāng)時(shí)的確聽(tīng)懂了、會(huì)做了，可課后時(shí)間一長(zhǎng)又會(huì)忘記.所以教師這時(shí)一定要多花些時(shí)間與精力，盡量為更多學(xué)生量身定做一些習(xí)題；讓他們課后完成.有句廣告詞非常好：“只買對(duì)的不買貴的.合適的才是最好的.”endprint

三、注重一題多解或一題多變的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

習(xí)題教學(xué)中不能以問(wèn)題的解決為句號(hào)，而應(yīng)充分利用習(xí)題，進(jìn)行一題多解或一題多變的訓(xùn)練 .合情推理能力是思維發(fā)展的初級(jí)階段，其高級(jí)階段是創(chuàng)造性思維.愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“提出問(wèn)題要比解決問(wèn)題重要.” 縱觀科學(xué)發(fā)展的歷史，不難發(fā)現(xiàn)科學(xué)進(jìn)步的歷程就是人們?cè)趯?shí)踐中不斷提出問(wèn)題、分析解決問(wèn)題的過(guò)程，因而提出問(wèn)題對(duì)思維培養(yǎng)尤其是創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)尤為重要.在習(xí)題教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考，敢于提出問(wèn)題和自己的看法，展開(kāi)討論，充分發(fā)展學(xué)生的推理思維能力.

【例1】圖2如圖2，ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，AE⊥BC，垂足為E，EO的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)F，試猜想四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由.

待說(shuō)明四邊形AECF是矩形后，再發(fā)動(dòng)學(xué)生認(rèn)真思考并大膽提出問(wèn)題，當(dāng)然還要要求學(xué)生解決所提出的問(wèn)題.學(xué)生積極性很高，提出了很多有實(shí)際意義的問(wèn)題，如：（1）如將“ABCD”換成“菱形ABCD”，則猜想四邊形AECF的形狀；（2）如果四邊形AECF是正方形，則四邊形ABCD是什么形狀？

圖3【例2】 如圖3，L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，AD∥BO，那么四邊形ABOD是菱形嗎？說(shuō)明理由.

本題由學(xué)生講解：首先讀題，并講解“L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸”這句話所蘊(yùn)含的相關(guān)知識(shí).接著講述AD∥BO可以得到哪些結(jié)論，再針對(duì)問(wèn)題講出幾種可行的方法.

方法一：四邊相等的四邊形是菱形.講解層次：（1）L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，則AB=AD，BO=OD，BC=CD；（2）根據(jù)AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO ，由等量代換得AB=AD=DO=BO，所以四邊形ABOD是菱形.

方法二：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.講解層次：（1）L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，則AO⊥BD，BC=CD；（2）根據(jù)AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四邊形ABOD是平行四邊形；（3）因?yàn)锳O⊥BD，且四邊形ABOD是平行四邊形，所以四邊形ABOD是菱形.

方法三：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.講解層次：（1）L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，則AB=AD， BC=CD；（2）根據(jù)AD∥BO， BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四邊形ABOD是平行四邊形；（3）因?yàn)锳B=AD且四邊形ABOD是平行四邊形，所以四邊形ABOD是菱形.

學(xué)生在經(jīng)過(guò)反復(fù)的訓(xùn)練后不僅思維能力得到有效的訓(xùn)練，在解題過(guò)程中大量的知識(shí)提取更有效地幫助他們熟練地掌握了知識(shí)，提高了素質(zhì).

教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體.在今后的教學(xué)實(shí)踐中，一定要重視對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，教會(huì)學(xué)生在題海里“游泳”的技能，做授之以“漁”而不是授之以 “魚(yú)”的新型教師，在改革的大潮中不斷錘煉自己.

（責(zé)任編輯黃春香）endprint

三、注重一題多解或一題多變的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

習(xí)題教學(xué)中不能以問(wèn)題的解決為句號(hào)，而應(yīng)充分利用習(xí)題，進(jìn)行一題多解或一題多變的訓(xùn)練 .合情推理能力是思維發(fā)展的初級(jí)階段，其高級(jí)階段是創(chuàng)造性思維.愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“提出問(wèn)題要比解決問(wèn)題重要.” 縱觀科學(xué)發(fā)展的歷史，不難發(fā)現(xiàn)科學(xué)進(jìn)步的歷程就是人們?cè)趯?shí)踐中不斷提出問(wèn)題、分析解決問(wèn)題的過(guò)程，因而提出問(wèn)題對(duì)思維培養(yǎng)尤其是創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)尤為重要.在習(xí)題教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考，敢于提出問(wèn)題和自己的看法，展開(kāi)討論，充分發(fā)展學(xué)生的推理思維能力.

【例1】圖2如圖2，ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，AE⊥BC，垂足為E，EO的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)F，試猜想四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由.

待說(shuō)明四邊形AECF是矩形后，再發(fā)動(dòng)學(xué)生認(rèn)真思考并大膽提出問(wèn)題，當(dāng)然還要要求學(xué)生解決所提出的問(wèn)題.學(xué)生積極性很高，提出了很多有實(shí)際意義的問(wèn)題，如：（1）如將“ABCD”換成“菱形ABCD”，則猜想四邊形AECF的形狀；（2）如果四邊形AECF是正方形，則四邊形ABCD是什么形狀？

圖3【例2】 如圖3，L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，AD∥BO，那么四邊形ABOD是菱形嗎？說(shuō)明理由.

本題由學(xué)生講解：首先讀題，并講解“L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸”這句話所蘊(yùn)含的相關(guān)知識(shí).接著講述AD∥BO可以得到哪些結(jié)論，再針對(duì)問(wèn)題講出幾種可行的方法.

方法一：四邊相等的四邊形是菱形.講解層次：（1）L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，則AB=AD，BO=OD，BC=CD；（2）根據(jù)AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO ，由等量代換得AB=AD=DO=BO，所以四邊形ABOD是菱形.

方法二：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.講解層次：（1）L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，則AO⊥BD，BC=CD；（2）根據(jù)AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四邊形ABOD是平行四邊形；（3）因?yàn)锳O⊥BD，且四邊形ABOD是平行四邊形，所以四邊形ABOD是菱形.

方法三：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.講解層次：（1）L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，則AB=AD， BC=CD；（2）根據(jù)AD∥BO， BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四邊形ABOD是平行四邊形；（3）因?yàn)锳B=AD且四邊形ABOD是平行四邊形，所以四邊形ABOD是菱形.

學(xué)生在經(jīng)過(guò)反復(fù)的訓(xùn)練后不僅思維能力得到有效的訓(xùn)練，在解題過(guò)程中大量的知識(shí)提取更有效地幫助他們熟練地掌握了知識(shí)，提高了素質(zhì).

教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體.在今后的教學(xué)實(shí)踐中，一定要重視對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，教會(huì)學(xué)生在題海里“游泳”的技能，做授之以“漁”而不是授之以 “魚(yú)”的新型教師，在改革的大潮中不斷錘煉自己.

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三、注重一題多解或一題多變的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

習(xí)題教學(xué)中不能以問(wèn)題的解決為句號(hào)，而應(yīng)充分利用習(xí)題，進(jìn)行一題多解或一題多變的訓(xùn)練 .合情推理能力是思維發(fā)展的初級(jí)階段，其高級(jí)階段是創(chuàng)造性思維.愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“提出問(wèn)題要比解決問(wèn)題重要.” 縱觀科學(xué)發(fā)展的歷史，不難發(fā)現(xiàn)科學(xué)進(jìn)步的歷程就是人們?cè)趯?shí)踐中不斷提出問(wèn)題、分析解決問(wèn)題的過(guò)程，因而提出問(wèn)題對(duì)思維培養(yǎng)尤其是創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)尤為重要.在習(xí)題教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考，敢于提出問(wèn)題和自己的看法，展開(kāi)討論，充分發(fā)展學(xué)生的推理思維能力.

【例1】圖2如圖2，ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，AE⊥BC，垂足為E，EO的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)F，試猜想四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由.

待說(shuō)明四邊形AECF是矩形后，再發(fā)動(dòng)學(xué)生認(rèn)真思考并大膽提出問(wèn)題，當(dāng)然還要要求學(xué)生解決所提出的問(wèn)題.學(xué)生積極性很高，提出了很多有實(shí)際意義的問(wèn)題，如：（1）如將“ABCD”換成“菱形ABCD”，則猜想四邊形AECF的形狀；（2）如果四邊形AECF是正方形，則四邊形ABCD是什么形狀？

圖3【例2】 如圖3，L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，AD∥BO，那么四邊形ABOD是菱形嗎？說(shuō)明理由.

本題由學(xué)生講解：首先讀題，并講解“L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸”這句話所蘊(yùn)含的相關(guān)知識(shí).接著講述AD∥BO可以得到哪些結(jié)論，再針對(duì)問(wèn)題講出幾種可行的方法.

方法一：四邊相等的四邊形是菱形.講解層次：（1）L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，則AB=AD，BO=OD，BC=CD；（2）根據(jù)AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO ，由等量代換得AB=AD=DO=BO，所以四邊形ABOD是菱形.

方法二：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.講解層次：（1）L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，則AO⊥BD，BC=CD；（2）根據(jù)AD∥BO，BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四邊形ABOD是平行四邊形；（3）因?yàn)锳O⊥BD，且四邊形ABOD是平行四邊形，所以四邊形ABOD是菱形.

方法三：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.講解層次：（1）L是四邊形ABOD的對(duì)稱軸，則AB=AD， BC=CD；（2）根據(jù)AD∥BO， BC=CD可得△BCO≌△DCA（理由略），可得AD=BO，所以四邊形ABOD是平行四邊形；（3）因?yàn)锳B=AD且四邊形ABOD是平行四邊形，所以四邊形ABOD是菱形.

學(xué)生在經(jīng)過(guò)反復(fù)的訓(xùn)練后不僅思維能力得到有效的訓(xùn)練，在解題過(guò)程中大量的知識(shí)提取更有效地幫助他們熟練地掌握了知識(shí)，提高了素質(zhì).

教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體.在今后的教學(xué)實(shí)踐中，一定要重視對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，教會(huì)學(xué)生在題海里“游泳”的技能，做授之以“漁”而不是授之以 “魚(yú)”的新型教師，在改革的大潮中不斷錘煉自己.

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