丁述華

數(shù)學(xué)是思維的體操。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)可以視作數(shù)學(xué)思維活動(dòng)展示的過程。暴露數(shù)學(xué)思維過程，并不是說對(duì)任何數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都平均用力去暴露，而應(yīng)從教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)這三個(gè)著力點(diǎn)來進(jìn)行暴露。下面筆者以“三角形的內(nèi)角和”一課為例加以分析。

一、教學(xué)新知，暴露思維過程

教師出示一個(gè)任意的直角三角形：我們先來看看直角三角形的情況，怎樣才能知道這個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是多少度呢？

生：把這樣兩個(gè)完全一樣的直角三角形拼在一起，就可以得到正方形或長(zhǎng)方形。

教師根據(jù)學(xué)生回答分別操作演示拼成正方形與長(zhǎng)方形的情況。

師：那你認(rèn)為直角三角形的內(nèi)角和應(yīng)該是多少度？怎么知道的？

生：因?yàn)殚L(zhǎng)方形或正方形的內(nèi)角和都是360°，而它們可以平分為兩個(gè)直角三角形，所以每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和就是360°除以2等于180°。

【解析】直角三角形內(nèi)角和的情形最簡(jiǎn)單，教師引導(dǎo)學(xué)生從正方形可以分割成任意等腰直角三角形（特例），長(zhǎng)方形可以分割成任意直角三角形（普例）的直觀演示中，直接獲得了“直角三角形的內(nèi)角和等于180°”的結(jié)論。這一結(jié)論的得到，為后續(xù)學(xué)習(xí)銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和既提供了條件又形成了思維定勢(shì)——為暴露學(xué)生的“鈍角三角形的內(nèi)角和大于180°”“銳角三角形的內(nèi)角和小于180°”等錯(cuò)誤想法埋下伏筆。這是暴露思維過程藝術(shù)手法的具體應(yīng)用和體現(xiàn)。

師：我們已經(jīng)知道，直角三角形的內(nèi)角和等于180°，那猜一猜，鈍角三角形的內(nèi)角和呢？應(yīng)該是多少？

生：大于180°。

生：等于180°。

師：那銳角三角形的內(nèi)角和呢？

生：小于180°。

生：等于180°。

【解析】猜想是暴露數(shù)學(xué)思維過程的重要方法。學(xué)生通過動(dòng)手操作和計(jì)算，對(duì)“直角三角形的內(nèi)角和等于180°”的結(jié)論印象越是深刻和牢固，就越會(huì)形成思維定勢(shì)，也就產(chǎn)生了思維疑點(diǎn)。學(xué)生的猜想有對(duì)有錯(cuò)，能夠真實(shí)地暴露他們的疑點(diǎn)和難點(diǎn)。顯而易見，學(xué)生得出的“鈍角三角形的內(nèi)角和大于180°”與“銳角三角形的內(nèi)角和小于180°”的兩個(gè)猜想都是錯(cuò)誤的，但又是合情的，對(duì)于知識(shí)本身是一種錯(cuò)覺，但對(duì)于發(fā)展小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維而言卻不失為靈丹妙藥。猜想和嘗試都是數(shù)學(xué)思維的生命線，學(xué)會(huì)猜想是學(xué)會(huì)思維的先導(dǎo)。

師：可以用什么辦法來驗(yàn)證？（小組討論、操作）

生：我們組是先量出鈍角三角形中的三個(gè)內(nèi)角各是多少度，再加起來算出180°。

生：我們組是把鈍角三角形的三個(gè)角剪下來，然后并排拼接，得到一個(gè)平角，所以是180°。（學(xué)生動(dòng)手展示）

生：我們組是畫一條鈍角三角形里面的高，然后沿高對(duì)折，這樣就會(huì)得到兩個(gè)直角三角形。剛才已經(jīng)知道直角三角形的內(nèi)角和是180°。180°乘2，減去90°乘2還等于180°。所以鈍角三角形內(nèi)角和也跟直角三角形一樣，應(yīng)該是180°。（學(xué)生邊操作邊解說）

師：你們組善于利用已學(xué)過的知識(shí)來解決新問題，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好方法。直角三角形的內(nèi)角和是180°，是已知的，所以你們組就想到把鈍角三角形通過沿高對(duì)折，折成兩個(gè)直角三角形來推導(dǎo)出它的內(nèi)角和度數(shù)。這樣，我們就得到鈍角三角形的內(nèi)角和是180°的結(jié)論。

師：那銳角三角形的內(nèi)角和是多少度呢？大家能不能從剛才兩種三角形內(nèi)角和的推導(dǎo)過程中得到啟發(fā)呢？請(qǐng)大家獨(dú)立完成。

師：得到結(jié)論了嗎？一起回答。

生：銳角三角形的內(nèi)角和等于180°。

師：看來，不管是直角三角形、鈍角三角形，還是銳角三角形，它們的內(nèi)角和都是等于180°。那說明……

生：三角形的內(nèi)角和是180°。（師板書）

【解析】對(duì)猜想必須通過驗(yàn)證加以證實(shí)。這里先讓學(xué)生通過動(dòng)手測(cè)量、計(jì)算、剪拼等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而使猜想中的疑點(diǎn)清晰起來，初步掌握了“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。

二、鞏固新知，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

師：根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論，在一個(gè)三角形中，我們?nèi)绻榔渲袃蓚€(gè)內(nèi)角的度數(shù)，那怎么知道第三個(gè)角的度數(shù)？

生：用180°分別減去兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。

生：也可以用180°減去兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)的和。

1.已知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的練習(xí)。

【解析】暴露數(shù)學(xué)思維過程，也應(yīng)該包括暴露結(jié)論的應(yīng)用過程，特別是知識(shí)新授后的鞏固環(huán)節(jié)，屬于新知識(shí)的首次應(yīng)用，一般應(yīng)提供完整的、標(biāo)準(zhǔn)式的范例，并要求學(xué)生將各種應(yīng)用過程展示出來，以區(qū)分和強(qiáng)化新知，獲得更為全面而清晰的觀念。

2.在一個(gè)直角三角形中，已知一個(gè)銳角是58°，另一個(gè)銳角是多少度？

師：請(qǐng)大家獨(dú)立完成。（指名板演）

生：180°-90°-58°=32°。

生：180°-（90°+58°）=32°。

生：90°-58°=32°。

師：這是什么意思？

生3：因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是180°，在直角三角形中，一個(gè)直角就占了90°，所以另外兩個(gè)銳角的和也等于90°，已知其中一個(gè)銳角等于58°，可直接用“90°-58°”求出另外一個(gè)銳角的度數(shù)。

【解析】由于三角形的內(nèi)角和是180°，這一結(jié)論是從三種情形中歸納推導(dǎo)出來的，所以在實(shí)際應(yīng)用中就應(yīng)該遵循從一般到特殊的應(yīng)用過程，使演繹過程也相應(yīng)暴露出來。

師：直角三角形中的兩個(gè)銳角之和等于90°，那鈍角三角形的兩個(gè)銳角和呢？

生：小于90°。

師：銳角三角形的兩個(gè)銳角和呢？

生：大于90°。

師：看來“三角形內(nèi)角和是180°”這一重要發(fā)現(xiàn)，可以解決許多問題。

3.判斷題。

①鈍角三角形的內(nèi)角和大于銳角三角形的內(nèi)角和。（ ）

②每個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角。（ ）

③一個(gè)三角形中最多有兩個(gè)直角。（ ）

④直角三角形的兩個(gè)銳角和小于鈍角三角形中的兩個(gè)銳角和。（ ）

4.思考題。

①一個(gè)三角形中的兩個(gè)內(nèi)角和等于89°，這是什么三角形？

②三角形中最小的一個(gè)銳角是45°，這個(gè)三角形可能是什么三角形？

【解析】暴露數(shù)學(xué)思維過程，也應(yīng)該注意廣度和強(qiáng)度的協(xié)同發(fā)展。這里先讓學(xué)生應(yīng)用結(jié)論解決各個(gè)具體問題（廣度），接著又從實(shí)際應(yīng)用中概括、演繹出新的三個(gè)結(jié)論（深度），同時(shí)又安排了一組是非題讓學(xué)生進(jìn)行判斷，在判斷過程中發(fā)現(xiàn)、檢驗(yàn)和矯正學(xué)生思維疑點(diǎn)和錯(cuò)誤點(diǎn)，使新知更好更準(zhǔn)地扎根于學(xué)生頭腦中。兩道思考題，是對(duì)新知學(xué)習(xí)的又一次升華，使教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)的教學(xué)效果得到了新的評(píng)估和檢驗(yàn)。

該課例著重暴露了學(xué)生思維過程的三個(gè)方面：重點(diǎn)——如何形成“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論；難點(diǎn)——怎樣想到三角形內(nèi)角和是180°的；疑點(diǎn)——為什么直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形的內(nèi)角和都是180°？為了更好地暴露這三方面的數(shù)學(xué)思維過程，精心設(shè)計(jì)和組織了教學(xué)的基本流程。在流程的每個(gè)階段，一切為了重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)而暴露，所有程序都井然有序、簡(jiǎn)單明快、生動(dòng)有趣。由此可以看出，充分暴露數(shù)學(xué)思維過程，找準(zhǔn)暴露的著力點(diǎn)，是優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方面，也是提高課堂教學(xué)效益的有效途徑之一。

（作者單位：福建省平潭縣城中小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）