孫船斌，馬大為，朱忠領(lǐng)

（南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094）

導(dǎo)彈在水下平臺垂直發(fā)射的方式具有飽和攻擊、隱蔽性強(qiáng)、反應(yīng)時間短等諸多特點［1］，出筒過程中導(dǎo)彈受到流體阻力［2－3］、氣密環(huán)－減震墊的支撐以及摩擦作用［4］，使得導(dǎo)彈筒內(nèi)運動的振動響應(yīng)非常復(fù)雜。本文針對水下平臺的導(dǎo)彈發(fā)射過程進(jìn)行研究，將氣密環(huán)－減震墊作為彈性減震墊來研究［5］，分析了導(dǎo)彈在筒內(nèi)橫向運動的自由振動特性，得到了導(dǎo)彈出筒過程的橫向振動方程，在此基礎(chǔ)上研究了減震墊的剛度、軸向尺寸和筒內(nèi)分布對導(dǎo)彈橫向振動頻率、截面受力以及出筒姿態(tài)的影響。

1 動力學(xué)模型

根據(jù)動量與動量矩定理，在彈體坐標(biāo)系中建立水下垂直發(fā)射過程的導(dǎo)彈橫向運動微分方程［6－7］：

式中，x0、y0、θ0、m、Jzz、B、G分別是彈體坐標(biāo)系下導(dǎo)彈質(zhì)心的軸向位移、橫向位移、俯仰角、質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、浮力和重力；xB是浮力對導(dǎo)彈質(zhì)心的作用距離；λ22、λ26、λ66是流體的附加質(zhì)量、靜矩和轉(zhuǎn)動慣量；YNa0、YNw0、Mza0、Mzw0是流體的法向力和俯仰力矩；Ys0、Mzs0是減震墊對導(dǎo)彈的橫向作用力和作用力矩。

2 自由振動特性

建立平臺坐標(biāo)系，平臺坐標(biāo)系原點固定在發(fā)射平臺上，與導(dǎo)彈質(zhì)心初始位置重合，X軸正向沿著發(fā)射筒軸向上，Y軸正向與發(fā)射平臺相對于海水的運動方向一致，Z軸由右手法則確定。

將式（1）、（2）的等號右邊作為導(dǎo)彈在發(fā)射過程中所受的外力，并在發(fā)射平臺坐標(biāo)系中改寫，得到導(dǎo)彈橫向運動的自由振動方程：

式中，x、y、θ為發(fā)射平臺坐標(biāo)系下導(dǎo)彈質(zhì)心的X軸方向位移、Y軸方向位移和繞 Z軸的俯仰角；m、Jzz、λ22、λ26、λ66與式（1）、（2）中一致；Fsi、Msi、Ys、Mzs為平臺坐標(biāo)系下第i個減震墊對導(dǎo)彈的橫向作用力、力矩以及所有減震墊對導(dǎo)彈的橫向作用力合力、合力矩，ki、xi、Hi為第i個減震墊的等效橫向剛度、第i個減震墊上端相對于導(dǎo)彈質(zhì)心的位置坐標(biāo)以及減震墊與導(dǎo)彈實際作用的軸向長度，當(dāng)導(dǎo)彈脫離第i個減震墊時，其作用長度Hi＝0。

結(jié)合式（7）、（8），對式（5）、（6）進(jìn)行泰勒展開，并省略θ的高階小量可得：

從式（11）、（12）中可以看出，C1、C2、D1、D2與減振墊的剛度ki、相對于導(dǎo)彈的位置xi以及實際作用的軸向長度 Hi相關(guān)，可以寫成 C1／C2／D1／D2＝f（ki，xi，Hi），其中xi、Hi隨導(dǎo)彈質(zhì)心X軸位移x變化。

從式（14）可以看出 A1、A2、B1、B2與導(dǎo)彈的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量 m、Jzz以及流體的附加質(zhì)量 λ22、λ26、λ66相關(guān)，m、Jzz不隨導(dǎo)彈運動變化，而 λ22、λ26、λ66則是導(dǎo)彈軸向位移 x的函數(shù)［8］。

由式（19）可知導(dǎo)彈在筒內(nèi)某一位置的橫向自由振動的頻率 w＝g（A1，B1，B2，C1，D1，D2），因此 w與減振墊的剛度、軸向尺寸以及減振墊在筒內(nèi)分布相關(guān)，且隨著導(dǎo)彈的軸向運動而改變。

3 振動方程

結(jié)合式（15）、（16），在平臺坐標(biāo)系下，導(dǎo)彈筒內(nèi)運動的受迫振動方程由式（3）、（4）寫成：

式中其中M是系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，K是系統(tǒng)剛度矩陣，v是導(dǎo)彈橫向運動的物理坐標(biāo)，f1、f2為系統(tǒng)所受外力外力矩。YNa、YNw、Mza、Mzw分別是平臺坐標(biāo)系下的流體法向力和俯仰力矩。

由式（19）可得導(dǎo)彈橫向運動的1階2階頻率w1、w2，代入式（17）、（18）可得發(fā)射過程導(dǎo)彈橫向振動的特征矢量 V1、V2：

可將導(dǎo)彈的橫向運動的物理坐標(biāo)v表示為：

式中，q1（t）和 q2（t）是導(dǎo)彈橫向振動的廣義主坐標(biāo)，q1（t）和 q2（t）是振動頻率 w1，w2的周期函數(shù)且相互獨立，將式（25）代入式（15）、（16）得：

結(jié)合式（11）至（14），可知矩陣 M、K實對稱，可知當(dāng)（23）、（24）關(guān)于矩陣 M、K對稱，則由式（27）可得［9］：

式中 ＜N1，N2＞表示向量 N1、N2的內(nèi)積；Mp、Kp的物理含義為系統(tǒng)p階模態(tài)質(zhì)量、剛度。

由式（28）、（29）可知 Mp、Kp僅是導(dǎo)彈 X軸方向位移 x的函數(shù)，將式（25）代入式（20），結(jié)合式（28）、（29）可得廣義主坐標(biāo)下導(dǎo)彈橫向運動v的振動方程：

導(dǎo)彈在筒內(nèi)的運動過程可以分成無數(shù)個微元時段det T，在微元時段det T內(nèi)，導(dǎo)彈軸向位移變化所引起的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的改變量為微小量?？梢约僭O(shè)在微元時段內(nèi)M、K的值不變，且由前一微元時段ti－1末導(dǎo)彈的橫向運動狀態(tài)作為導(dǎo)彈在當(dāng)前微元時段ti的初始狀態(tài)；同時由式（21）和式（22）可知，外激勵fti可由 ti－1末導(dǎo)彈的運動狀態(tài)近似得到。結(jié)合式（25）和（30），由導(dǎo)彈在 ti－1結(jié)束時的橫向運動狀態(tài) v0可得到導(dǎo)彈在筒內(nèi)當(dāng)前時刻t的橫向振動，其中ti＜t＜ti＋det T：

式（31）中Vp是導(dǎo)彈橫向振動的p階特征矢量，式（32）中v0是導(dǎo)彈在 ti－1結(jié)束時橫向的運動狀態(tài)，qp0為 ti－1結(jié)束時導(dǎo)彈橫向運動的廣義坐標(biāo)。

4 算例和結(jié)果分析

由式（31）、（32）可知，導(dǎo)彈在筒內(nèi)任意時刻的橫向振動可以分成2部分：其一，從ti－1到ti，導(dǎo)彈在X軸方向的運動x引起導(dǎo)彈橫向振動頻率w的突變，同時ti－1結(jié)束時的導(dǎo)彈橫向運動狀態(tài)將作為初始狀態(tài)突然加載，而產(chǎn)生導(dǎo)彈橫向的自由振動；其二，在ti內(nèi)，由外部激勵f1、f2引起的導(dǎo)彈橫向的受迫振動。

由式（19）、（31）可知，導(dǎo)彈橫向運動的振動特性與減震墊參數(shù)密切相關(guān)，為研究減震墊對導(dǎo)彈橫向振動的影響，給出發(fā)射條件如下：導(dǎo)彈質(zhì)量2 000 kg，質(zhì)心位置距導(dǎo)彈底部3．5 m，導(dǎo)彈軸長及發(fā)射筒長均為8 m，發(fā)射平臺相對海水水平速度vt＝2 m／s。根據(jù)8道減震墊的軸向長度、橫向的等效剛度以及在筒內(nèi)的分布位置，分別建立5個工況，如表1。在各工況中，第8道減震墊上端位于發(fā)射筒口，其余減震墊按數(shù)字倒序依次在筒內(nèi)從上到下分布。各工況的導(dǎo)彈軸向運動速度、加速度等內(nèi)彈道參數(shù)保持一致。文中所用數(shù)據(jù)均采用國際單位制，如角位移、角速度、力和力矩單位分別為rad、rad／s、N和 N·m。

表1 各工況的減震墊參數(shù)Tab．1Parameters of pads for working conditions

圖1 系統(tǒng)1階2階振動頻率Fig．1 Curves of first and second frequency for the system

圖1為出筒過程中各工況導(dǎo)彈橫向振動的1階2階頻率 w1、w2，從式（11）、（12）、（13）和（14）可知，A1、A2、B1、B2中 λ22、λ26、λ66關(guān)于導(dǎo)彈軸向位移 x的斜率是連續(xù)的，而C1、C2、D1、D2關(guān)于導(dǎo)彈軸向位移 x的斜率在導(dǎo)彈脫離減震墊的過程中存在間斷點，且各間斷點的位置位于導(dǎo)彈運動到各減震墊的下端位置時，從而導(dǎo)致導(dǎo)彈橫向振動頻率w關(guān)于時間的斜率也存在間斷點，如圖1所示。圖1中（a）、（b）分別為工況1、2、3的1階2階頻率曲線，從中可以看出，由于增大了減震墊的軸向長度、減震墊的橫向剛度，導(dǎo)彈橫向振動的1階2階頻率也增大了；從工況2的頻率曲線可以看出，增大減震墊的軸向長度，導(dǎo)致減震墊的間隙減小了，使得導(dǎo)彈的頻率w斜率相鄰的兩個間斷點位置更近，而使曲線更為光滑；從工況3的頻率曲線可以看出，增大減震墊的橫向剛度，導(dǎo)致導(dǎo)彈的頻率w斜率在間斷點前后變化增大，使得曲線起伏程度變大。圖1中（c）、（d）分別工況1、4、5導(dǎo)彈橫向振動的1階2階頻率，從中可以看出，改變減震墊在筒內(nèi)的分布位置，會相應(yīng)地改變1階2階頻率斜率間斷點的位置。

圖2 導(dǎo)彈出筒姿態(tài)Fig．2 Curves of pitch angle and angle velocity for themissile

圖3 指定截面的剪切力和剪切力矩Fig．3 Curves of cross section shear stress and shear torque

表2 出筒時刻計算結(jié)果Tab．2 The computation results for the outlet of them issile

圖2是出筒過程中導(dǎo)彈的俯仰角和俯仰角速度，圖3是出筒過程中指定截面的剪切力和剪切力矩，其中剪切力F與計算值符號相反。表2是各工況導(dǎo)彈出筒時刻的姿態(tài)以及指定截面的剪切力、剪切力矩峰值。

從圖2（a）、（c），圖 3（a）、（c）以及表 2中可以看出，增大減震墊長度可以使得導(dǎo)彈出筒姿態(tài)曲線平滑，能夠較好地抑制指定截面剪切力和剪切力矩峰值；增大減震墊剛度能夠較明顯地減小出筒姿態(tài)，但會增大導(dǎo)彈俯仰角速度的震蕩，而且會增大指定截面的剪切力和剪切力矩峰值。

從圖2（b）、（d），圖 3（b）、（d）以及表 2中可以看出，工況4和工況5的曲線顯示了減震墊分布對導(dǎo)彈橫向振動的影響。工況4中第6、7、8道減震墊間隙為0，工況5中第4、5、6道減震墊間隙為0，相比于前者，后者的導(dǎo)彈俯仰角速度震蕩程度更大，且指定截面的剪切力和剪切力力矩峰值更高。

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了水下平臺導(dǎo)彈出筒的橫向振動方程，分析了出筒過程中導(dǎo)彈的橫向振動特性，主要得出以下結(jié)論：

（1）導(dǎo)彈出筒過程的橫向振動由兩部分組成：其一，由導(dǎo)彈振動頻率w的突變引起的橫向自由振動；其二，由外力引起的導(dǎo)彈橫向受迫振動。

（2）導(dǎo)彈橫向振動的1階2階頻率曲線反應(yīng)了導(dǎo)彈振動頻率的時變特性，減震墊的間隙導(dǎo)致頻率曲線的斜率存在間斷點。

（3）增大減震墊的軸向尺寸，導(dǎo)彈的姿態(tài)及指定截面受力均較好；增大減震墊的橫向剛度能明顯減小導(dǎo)彈出筒的俯仰角和俯仰角速度，但會顯著增加導(dǎo)彈姿態(tài)的震蕩和導(dǎo)彈的截面受力，從而增加導(dǎo)彈出筒的不穩(wěn)定性和不安全性；應(yīng)當(dāng)避免減震墊的間隙在發(fā)射筒內(nèi)末端分布過大，否則會引起導(dǎo)彈出筒姿態(tài)較大的震蕩以及較高的截面受力。

［1］趙世平，蔡體敏．橫向流對潛艇垂直發(fā)射導(dǎo)彈的影響［J］．船舶力學(xué)，2006，10（4）：33－37．ZHAO Shi-ping，CAI Ti-min．Effects of lateral flow to the missile vertical launched from a submarine［J］．Journal of Ship Mechanics，2006，10（4）：33－37．

［2］Waugh JH，Stubstad GW．Hydroballistiesmodeling［R］．AD－A007529．1975．

［3］Burgdorf O．Hydrodynamics of unsteady underwater launched missile with trailing cavities and cross-flow drag［R］．AIAA，F(xiàn)luid Dynamics，Plasma Dynamics，and Lasers Conference，19th，Honolulu，1987．

［4］尚書聰，孫建中，秦麗萍．潛載導(dǎo)彈水下發(fā)射出筒橫向動力學(xué)特性研究［J］．振動與沖擊，2012，31（23）：82－86．SHANGShu-cong， SUN Jian-zhong， QIN Li-ping． Lateral dynamic behavior of a underwater missile launched out its launch tube［J］．Journal of Vibration and Shock，2012，31（23）：82－86．

［5］裴，張宇文，袁緒龍，等．潛載導(dǎo)彈垂直發(fā)射橫向振動特性仿真分析［J］．兵工學(xué)報，2009，30（8）：1056－1060．PEIXuan， ZHANG YU-wen， YUAN XU-long， et al．Simulation and analysis on the lateral vibration characteristic of vertical launching for submarine-borne missile［J］．Acta Armamentarii，2009，30（8）：1056－1060．

［6］張宇文．魚雷彈道與彈道設(shè)計［M］．西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1999．

［7］劉樂華，張宇文．深海垂直發(fā)射內(nèi)彈道研究［J］．艦船科學(xué)技術(shù)，2004，26（1）：24－26．LIU Le-hua，ZHANG Yu-wen．Study on trajectory for vertical launch under deep-sea［J］．Ship Science and Technology，2004，26（1）：24－26．

［8］郜冶，陳宇翔，劉乾坤．潛射導(dǎo)彈出筒過程水動力計算［J］．計算機(jī)仿真，2011，28（9）：86－89．GAO Ye，CHEN Yu-xiang，LIU Qian-kun．Hydrodynamic computation for submarine-launched missiles emerging from a submarine［J］．Computer Simulation，2011，28（9）：86－89．

［9］芮筱亭，來峰，陸毓琪，等．多體系統(tǒng)傳遞矩陣法及其應(yīng)用［M］．北京：科學(xué)出版社，2008．