高洪波，李允公，劉 杰

（1．東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819；2．遼寧省交通高等?？茖W校 機電工程系，沈陽 110122）

齒面磨損是齒輪傳動裝置中常見的失效形式［1］，其機理通常是所謂的磨料磨損。當齒輪發(fā)生磨損時，將破壞齒輪輪齒接觸表面，使輪齒齒廓偏離理想的嚙合齒廓，造成嚙合過程中的沖擊與局部齒面接觸載荷增大，削弱齒輪接觸強度，從而引起齒面的進一步破壞［2］。對這種早期故障進行監(jiān)測與診斷，可避免斷齒等惡性故障的發(fā)生。

陳予恕等［3－4］指出對齒輪箱等旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)的故障建立合理的動力學模型，并對故障的演化過程及動力學機理進行分析，可為某些疑難振動故障的機理研究、控制和預測提供指導。在齒輪磨損故障動力學研究方面，Yesilyurt等［5］基于振動模態(tài)分析方法對磨損輪齒嚙合剛度進行測量，并得出輪齒嚙合剛度隨著齒面磨損呈現(xiàn)近似線性的下降。Choy等［6］建立含點蝕和磨損損傷的齒輪系統(tǒng)動力學仿真模型，并以嚙合剛度幅值和相位的改變來對齒面磨損進行模擬。王彥剛等［7－8］建立了含磨損故障的齒輪系統(tǒng)單自由度非線性振動模型，以不同的間隙非線性函數(shù)來模擬全齒磨損和單齒磨損，并利用混沌振子方法對系統(tǒng)的分叉與混沌運動進行了研究。但齒輪系統(tǒng)是一個復雜的非線性機械系統(tǒng)，齒面磨損會引起齒輪系統(tǒng)齒形誤差、剛度、摩擦力等諸多動力學參數(shù)的變化，必須綜合進行考慮；且由于各齒磨損量的差異、齒輪系統(tǒng)偏心和軸承的振動等原因，兩齒輪嚙合時齒側(cè)間隙是時變的，上述基于固定的齒側(cè)間隙并簡化為單自由度系統(tǒng)的齒輪磨損故障動力學模型，不能全面地反映故障系統(tǒng)的動力學特性，并且沒有考慮齒輪系統(tǒng)存在的偏心及對隨之產(chǎn)生的偏心磨損進行分析。因此，本文綜合考慮齒輪系統(tǒng)動態(tài)嚙合剛度、摩擦與節(jié)線沖擊、偏心等建立了基于動態(tài)齒側(cè)間隙的單級圓柱齒輪傳動系統(tǒng)嚙合耦合型動力學模型，并對齒輪系統(tǒng)普遍存在的齒面均勻磨損故障和偏心磨損故障的動力學行為進行了模擬，分析了不同形式和程度的齒面磨損故障下齒輪系統(tǒng)傳遞誤差、振動沖擊狀態(tài)和振動劇烈程度等的變化情況。最后，依據(jù)齒輪實驗臺的實測數(shù)據(jù)對理論分析結(jié)果進行了驗證。

1 動力學模型的建立

建立單級直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)嚙合耦合型動力學模型如圖1所示，兩齒輪的齒數(shù)分別為z1、z2，基圓半徑為Rp、Rg。假設(shè)：傳動軸為短剛性軸，不存在擺動；軸兩端的軸承具有相同的剛度和阻尼；箱體為剛體；在靜態(tài)條件下，系統(tǒng)各零件處于準確安裝位置；不計重力的影響。因此，模型為二維平面振動系統(tǒng)，具有6個自由度，分別為主、被動齒輪繞旋轉(zhuǎn)中心的扭轉(zhuǎn)振動自由度θp、θg和在 x、y方向的平移自由度 xp、yp、xg、yg。kij、cij（i＝p，g，j＝x、y）分別為傳動軸、軸承和箱體等的支承剛度和阻尼的組合等效值。

圖1 齒輪系統(tǒng)動力學模型Fig．1 Dynamicmodel of gear system

設(shè)系統(tǒng)的廣義位移列陣當齒輪存在與內(nèi)孔不同心誤差或安裝偏心時，主、被動齒輪 P、G繞實際旋轉(zhuǎn)中心 Op（xp，yp）、Og（xg，yg）轉(zhuǎn)動，O1（x1，y1）、O2（x2，y2）為兩齒輪形心，θ1＝ωpt－θp、θ′2＝ωgt＋θg為主、被動齒輪的角位移，其中 ωp、ωg為兩齒輪角速度。ep、eg為主、被動齒輪的偏心量，設(shè)主動輪的偏心量初始相位為0，θ02為兩輪偏心量相位差，被動齒輪偏心相位θ2＝θ′2＋θ02。則有，x1＝xp＋epcosθ1，y1＝y(tǒng)p－epsinθ1，x2＝xg＋egcosθ2，y2＝y(tǒng)g＋egsinθ2，嚙合線上主、被動齒輪的切點P和G的y方向位移～epsinθ1－Rp（ωpt－θp），y～G＝y(tǒng)g－egsinθ2－Rg（ωgt＋θg）。齒輪系統(tǒng)沿著嚙合線方向的誤差：δs（t）＝－－e（t），其中 e（t）為靜態(tài)傳遞誤差。轉(zhuǎn)角傳遞誤差［9］：

1.1 動態(tài)側(cè)隙

為了貯存潤滑油并為輪齒熱膨脹留有空間，齒輪安裝時要留有一定的齒側(cè)間隙，隨著齒輪中心距或齒厚的變化，齒側(cè)間隙是時變的。當齒輪系統(tǒng)由于偏心或軸承振動引起中心距變化時，齒側(cè)間隙變?yōu)椋?/p>

其中 invα＝始安裝中心距和壓力角（本文根據(jù)GB／Z 1860．2－2002推薦的工業(yè)裝置最小法向側(cè)隙jbnmin確定初始安裝齒側(cè)間隙 bn，進而得到 a0、α0）；a′、α′為齒輪實際嚙合過程中的中心距和壓力角。根據(jù)圖1：

當齒輪磨損時，實際齒厚要小于理論齒厚，從而引起的側(cè)隙變化量［10］bt＝ti－ta，其中 ti為理想齒厚，ta為實際齒厚。

綜上，齒輪嚙合系統(tǒng)的單邊動態(tài)側(cè)隙：

齒輪系統(tǒng)的間隙非線性函數(shù)表示為：

1.2 動態(tài)嚙合剛度

直齒輪的嚙合剛度是隨輪齒嚙合位置和參與嚙合的輪齒數(shù)的改變而改變的周期函數(shù)，基頻為嚙合頻率，可將其展開為傅里葉級數(shù)［11］：

式中，km＝εks，ε為重合度，ks為單齒嚙合剛度，m＜ε＜m＋1，m為整數(shù)。本文取諧波的前3項。

在齒輪傳動系統(tǒng)中，一般當ks（t）最小時，在平均載荷的作用下，輪齒變形或靜傳遞誤差為最大。取綜合靜傳遞誤差 e（t）的相位 φe＝φi＋π，均值為 em，則其傅里葉展開為：

1．3 摩擦力

齒輪嚙合的動態(tài)嚙合力可表示為 Wcy＝ks（t），其中cm為嚙合阻尼。由其產(chǎn)生的摩擦力：

摩擦力對齒輪中心的力臂分別為［12］：

式中，λ為摩擦力方向系數(shù)，μ為摩擦因數(shù)，Rag為被動齒輪齒頂圓半徑。

1．4 運動微分方程

通過分別在主動輪和被動輪應用拉格朗日方程得到齒輪系統(tǒng)的運動微分方程為：

1．5 無量綱化

設(shè) τ＝frt，fr為主動齒輪轉(zhuǎn)頻，則取無量綱長度d＝0．001 m，且

—xgd，yg＝—ygd，ep＝—epd，eg＝—egd，a＝—ad，b′＝b′d，Rp＝令軸承在 x、y方向具有相同的剛度和阻尼，且 sn1＝ωn1／fr，sn2則無量綱化的齒輪系統(tǒng)運動微分方程為：

2 數(shù)值仿真與分析

按文獻［13］取齒輪系統(tǒng)各參數(shù)如表1所示，并令輸入、輸出扭矩按0．1%正弦波動。另外，具有齒側(cè)間隙的齒輪副，在重載情況下由于傳遞載荷的需要，輪齒時刻處于接觸狀態(tài)，齒側(cè)間隙的變化對齒輪系統(tǒng)振動影響不顯著［14］，因此，本文齒面磨損的動力學分析以輕載工況為主，取0．01。均勻磨損齒輪由于在輕載工況下振動和沖擊現(xiàn)象不明顯，取均載系數(shù)Fm＝0．000 2，即接近空載的工況進行動力學分析。

2.1 全齒均勻磨損故障動力學

假設(shè)齒輪系統(tǒng)無偏心，且各齒廓磨損程度相同。根據(jù)文獻［15－16］試驗研究與仿真計算，齒面磨損時齒根和齒頂部分磨損較大，節(jié)圓處磨損較小。齒面磨損使得靜傳遞誤差的均值增大，其幅值譜的主頻隨著磨損的增加發(fā)生了移動（第1～3倍嚙合頻率）［15］，嚙合頻率處幅值逐漸減小，高次諧波處幅值逐漸增大。綜上，本文以靜態(tài)傳遞誤差的變化量 es（t） ＝模擬齒廓各處的不均勻磨損。并設(shè)當齒輪發(fā)生輕微磨損時，節(jié)圓齒厚不發(fā)生變化，即齒側(cè)間隙不變，僅齒形改變引起靜傳遞誤差變化，而當齒輪發(fā)生嚴重磨損時，設(shè)齒側(cè)間隙為bt＝5bn，且由于齒厚變薄嚙合剛度降低5%。

表1 齒輪系統(tǒng)參數(shù)Tab．1 Parameters of the gear system

分別對齒面無磨損、輕微磨損和嚴重磨損3種情況的無量綱運動微分方程進行了數(shù)值計算，結(jié)果如圖2～5所示。隨著齒側(cè)間隙的增加，動態(tài)傳遞誤差均值及波動幅度均增大（圖2）；均勻磨損齒輪系統(tǒng)傳遞誤差幅值譜主要頻率為嚙合頻率及其高次階諧波（圖3），磨損使得傳遞誤差各階諧波幅值增高；磨損引起的齒形變化使得齒輪嚙合時齒背碰撞頻率加快（圖4（b）），進一步加劇了齒面磨損；隨著齒側(cè)間隙的增大，齒背沖擊消失，齒輪嚙合變?yōu)楦哳l的單邊沖擊狀態(tài)（圖4（c）），振動能量增大。圖5為主動齒輪軸無量綱振動加速度幅值譜，隨著齒形的改變和齒側(cè)間隙增大，嚙合頻率高次諧波的幅值增大（圖5（b）），嚴重磨損時，在嚙合頻率及高次諧波附近產(chǎn)生調(diào)制邊頻帶（圖5（c））。

圖2 全齒均勻磨損齒輪系統(tǒng)傳遞誤差Fig．2 Transmission error with uniform wear

圖3 全齒均勻磨損齒輪系統(tǒng)傳遞誤差幅值譜Fig．3 Transmission error spectra with uniform wear

圖4 齒輪全齒均勻磨損嚙合動載荷Fig．4 Meshing load with uniform wear

圖5 主動齒輪軸振動加速度·y· 幅值譜pFig．5 Vibration acceleration spectra of pinion shaft

2.2 齒輪偏心磨損故障動力學

當系統(tǒng)負載周期性變動或齒輪軸偏心旋轉(zhuǎn)等使嚙合間隙周期性變化時，會使齒輪嚙合時松時緊，齒面磨損不均勻。設(shè)輕載齒輪系統(tǒng)主動軸存在50μm的偏心，仿真得到嚙合動載荷幅值譜如圖6所示，嚙合動載荷除了隨嚙合頻率變化外還隨著主動輪轉(zhuǎn)頻周期性波動。由于齒對摩擦力與嚙合力成線性關(guān)系，可見主動齒輪每轉(zhuǎn)動一轉(zhuǎn)摩擦力變化一個周期，進而在齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生相同周期的磨損間隙。

圖6 齒輪系統(tǒng)存在偏心時的嚙合動載荷Fig．6 Meshing load with eccentricity

本文用齒側(cè)間隙的周期性變化對偏心磨損進行模其中ω為偏心磨損的齒輪軸的角速度，這里為主動輪角速度ωp。根據(jù)動力學方程（11）進行計算，得到仿真結(jié)果如圖7所示。齒輪系統(tǒng)仍為單周期簡諧響應，由于齒輪間隙按主軸旋轉(zhuǎn)頻率周期變動，傳遞誤差也以磨損齒輪軸頻及倍頻為主要頻率變化（如圖7（a））；由于齒輪間隙變化是連續(xù)的，齒輪輕載嚙合無明顯的沖擊現(xiàn)象，動載荷幅值譜以嚙合頻率及其倍頻、軸頻為主要頻率，比較圖7（b）與圖6，偏心磨損后低頻段出現(xiàn)軸頻的倍頻，除嚙合頻率外各頻率處動載荷幅值升高；與圖5的全齒磨損情況有所不同，振動加速度幅值譜出現(xiàn)1倍軸頻調(diào)制頻率（如圖7（c）），且隨著偏心磨損的加劇，各主頻及調(diào)制頻率幅值升高，振動愈加劇烈。

圖7 偏心磨損仿真曲線Fig．7 Simulation curveswith eccentric wear

3 齒輪系統(tǒng)傳遞誤差的檢測方法

根據(jù)文獻［9］，如果在齒輪系統(tǒng)的輸入軸端和輸出軸端分別安裝高精度的增量編碼器對角位移進行檢測，則有：

由式（1）、（12）可得：

即可通過檢測 Δθ（t）間接估計 TE（t）。

4 實驗研究

利用圖8所示實驗臺的一級齒輪傳動部分模擬齒輪系統(tǒng)由于磨損間隙增大的故障，由于實驗設(shè)備的局限性，本文僅對部分動力學分析的結(jié)果進行了驗證。實驗臺齒輪模數(shù)為3 mm，主、從動齒輪的齒數(shù)分別為20、45，使用磁粉制動器對齒輪系統(tǒng)施加負載，負載扭矩0．45 N·m，潤滑方式為油膜潤滑。實驗中，設(shè)置主動輪轉(zhuǎn)速 400 r／min，經(jīng)計算，齒輪的嚙合頻率為133．3 Hz。

圖8 齒輪實驗臺結(jié)構(gòu)圖Fig．8 Structure of the experimental equipment

圖9 測點1振動加速度及幅值譜Fig．9 Vibration acceleration and amplitude spectrum of the No．1 measuring point

通過調(diào)整兩嚙合齒輪的相對位置，使嚙合齒輪單邊齒側(cè)間隙 b′分別為 0．1 mm、0．2 mm、0．3 mm和 0．4 mm，使用加速度傳感器在小齒輪軸承座測點1、2上采集振動加速度信號，采樣頻率10 240 Hz。經(jīng)處理，上述4種齒側(cè)間隙下測點1的振動加速度信號及其幅值譜如圖9所示?？梢?，齒輪系統(tǒng)的振動信號頻率以嚙合頻率及其高次諧波為主，隨著齒側(cè)間隙的增大，幅值譜嚙合頻率及各階諧波的幅值增大，高次諧波的幅值增大幅度尤為明顯，齒輪系統(tǒng)振動沖擊的頻率加快，振動能量增加。實驗結(jié)果與前述理論分析基本一致。

5 結(jié) 論

（1）全齒均勻磨損時，隨著齒輪磨損量的增大，齒輪傳遞誤差幅值增大，且以嚙合頻率及其高次諧波為主頻更大幅度振蕩，在空載工況下齒輪系統(tǒng)嚙合振動由間歇的齒背沖擊變?yōu)楦哳l、劇烈的單邊沖擊。

（2）齒輪系統(tǒng)存在偏心時，齒輪嚙合將產(chǎn)生隨軸頻變化的動載荷；偏心磨損的齒輪系統(tǒng)傳遞誤差幅值譜以磨損齒輪軸頻及倍頻為主要頻率，振動加速度幅值譜調(diào)制頻率為偏心磨損齒輪軸頻。

（3）利用齒輪實驗臺對齒側(cè)間隙增大的磨損故障進行了模擬，故障機理的研究結(jié)果與實測信號的振動特性基本相符。

（4）可通過高精度的增量編碼器對齒輪軸的角位移進行檢測，以間接估計齒輪系統(tǒng)的傳遞誤差，結(jié)合對齒輪系統(tǒng)嚙合沖擊狀態(tài)、振動加速度幅值譜和振動強度的監(jiān)測，可對齒面磨損故障的診斷提供指導。

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