包興先

(中國石油大學(xué)(華東)石油工程學(xué)院，山東 青島 266580)

基于環(huán)境激勵(lì)的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別是當(dāng)前結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測與安全評估的主要研究內(nèi)容之一。對于大型結(jié)構(gòu)，如橋梁、海洋平臺等，進(jìn)行在線實(shí)時(shí)的模態(tài)參數(shù)識別往往只能依靠環(huán)境荷載的激勵(lì)。與傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識別方法相比，它不需要額外的激振設(shè)備，不影響結(jié)構(gòu)物的正常使用，并且操作方便，測試費(fèi)用較低，具有廣闊的發(fā)展空間和應(yīng)用前景。在工程實(shí)際中，輸入荷載(環(huán)境荷載)是未知的，往往只能獲得含噪聲的響應(yīng)信號，如何有效獲得結(jié)構(gòu)物的模態(tài)參數(shù)是研究的關(guān)鍵［1－2］。

研究表明，將環(huán)境激勵(lì)近似當(dāng)作白噪聲處理是可行的，而自然激勵(lì)技術(shù)(NExT)對白噪聲的處理是非常有效的。復(fù)指數(shù)(Prony)法是目前較完善的模態(tài)參數(shù)識別方法之一。NExT與Prony結(jié)合的時(shí)域聯(lián)合算法為識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)提供了可行性［3］。由于測量的信號不可避免地受到噪聲的干擾，識別結(jié)果通常包含虛假模態(tài)，如何辨識并剔除虛假模態(tài)成為參數(shù)識別過程的關(guān)鍵問題，直接影響了參數(shù)識別技術(shù)在工程實(shí)際中應(yīng)用的效果。目前模態(tài)參數(shù)識別的通常做法是計(jì)算采用的模型階次高于真實(shí)的模型階次，從而引入了“噪聲模態(tài)”［3］。為了區(qū)分真實(shí)模態(tài)和虛假模態(tài)，大多采用穩(wěn)定圖方法。穩(wěn)定圖表示的是模態(tài)參數(shù)與模型階次的關(guān)系，理論上隨模型階次的增加，真實(shí)的模態(tài)參數(shù)會趨于穩(wěn)定而虛假模態(tài)卻不會，但實(shí)際上識別結(jié)果中真實(shí)模態(tài)參數(shù)也會存在不穩(wěn)定性，導(dǎo)致穩(wěn)定圖法有時(shí)也會失效［4－5］。尤其是當(dāng)信號的信噪比低的時(shí)候，如何區(qū)分大量的虛假模態(tài)和真實(shí)模態(tài)將變得很困難。

與傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識別方法不同，本文提出了環(huán)境激勵(lì)下基于信號降噪的模態(tài)參數(shù)識別方法。該方法首先對測量的隨機(jī)響應(yīng)信號采用NExT處理獲得互相關(guān)函數(shù)，然后對其進(jìn)行模型定階及結(jié)構(gòu)矩陣低秩逼近(Structured Low Rank Approximation，SLRA)計(jì)算，獲得降噪信號，最后利用Prony方法對降噪信號進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別。文中將通過一個(gè)四自由度的質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)數(shù)值算例和導(dǎo)管架式海洋平臺物理模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的有效性。

1 NExT

James等［6］指出環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)兩點(diǎn)之間響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)有相似的表達(dá)式，在求得兩點(diǎn)之間響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)后，可運(yùn)用時(shí)域模態(tài)識別方法識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

一個(gè)N自由度線性阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程表示如下:

其中，［M］、［C］、［K］分別是質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;{x··(t)］、{x·(t)］、{x(t)］是加速度、速度和位移向量;{f(t)］是作用在系統(tǒng)上的輸入力向量。對于穩(wěn)態(tài)的互不相關(guān)的輸入力，兩個(gè)測試的位移之間的互相關(guān)函數(shù)能夠表示如下:式中Φmr是振型矩陣，Gnr是一個(gè)同參考點(diǎn)n和模態(tài)階數(shù) r有關(guān)的常數(shù)項(xiàng)，mr是第 r階模態(tài)質(zhì)量，ξr、ωnr、ωdr是第r階模態(tài)的阻尼比、固有頻率和阻尼頻率。而脈沖響應(yīng)函數(shù)能夠表示為:

可以看出，互相關(guān)函數(shù)Rmn(τ)與系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)Xml(t)有相似的形式，都能表示成一系列衰減正弦函數(shù)的和，即每個(gè)衰減正弦都有一個(gè)固有頻率和阻尼比同結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)相對應(yīng)，振型向量的位置也相同。因此，可以將兩點(diǎn)間響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)Rmn(τ)代替系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)Xml(t)。

2 Prony方法

對脈沖響應(yīng)函數(shù)式(3)進(jìn)行整理，可以得到表達(dá)式(4):

如果一個(gè)N自由度動(dòng)力系統(tǒng)的實(shí)測脈沖響應(yīng)函數(shù)中包含未知的M階模態(tài)，而且，當(dāng)h(t)以采樣間隔Δt表示成離散形式時(shí)，式(4)可表示為:

由于式(5)是2M階線性微分方程齊次解的一般形式，那么一定存在一個(gè)與脈沖響應(yīng)序列hq相關(guān)的線性差分方程:

如果式(7)括號內(nèi)的每一項(xiàng)等于零，那么式(7)恒成立。而此時(shí)，Vr(r=1，…，2M)是系數(shù)為βm的2M階多項(xiàng)式的根，即

其中，H∈R2M×2M是方陣形式的Hankel矩陣。由方程(10)，我們可得到未知的多項(xiàng)式系數(shù):

如果方程(11)包含多于2M個(gè)方程，則用最小二乘法來求解該超定方程的根βm。

3 結(jié)構(gòu)矩陣低秩逼近(SLRA)

低秩逼近是解決信號過程和圖像增強(qiáng)中減噪問題的一種普遍工具。理論上，對于脈沖響應(yīng)信號的降噪技術(shù)，屬于線性數(shù)學(xué)中的矩陣低秩逼近范疇，通過獲得Frobenius范數(shù)意義下的最佳逼近矩陣來降低噪聲［7］。如今，在許多實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中提出了更高的要求，在保持矩陣結(jié)構(gòu)的情況下，還對其秩作出了約束。從而提出了一類新問題，即結(jié)構(gòu)矩陣低秩逼近［2，8］。所謂“結(jié)構(gòu)”，指矩陣的特定形式，如Hankel、Toeplitz等。

當(dāng)脈沖響應(yīng)函數(shù)hq中包含未知的M階模態(tài)，采用hq構(gòu)建m×n維的Hankel矩陣，得到:

式中，m，n分別為Hankel矩陣的行數(shù)和列數(shù)，m，n≥2M，s=m+n－2。

對Hm×n進(jìn)行奇異值分解，得到:

式(13)中，上標(biāo)“T”表示矩陣轉(zhuǎn)置;矩陣U和V是正交矩陣;Σ是對角矩陣，其對角元素為降序排列的奇異值。而Σ可分解為k個(gè)非零奇異值子矩陣Σk和幾個(gè)零子矩陣:

這一分解表明矩陣Hm×n的秩是k。理論上，那些超出矩陣的秩的奇異值應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹?。對于?shí)測信號，由于隨機(jī)噪聲的影響，這些奇異值并不等于零，但是會變得很小［9］。

若hq受到隨機(jī)噪聲的干擾時(shí)，則可以寫成:

式中和eq分別代表真實(shí)信號和噪聲。理論上，由式(15)中含噪信號hq構(gòu)建的Hankel矩陣H可以分為兩部分:

式中，代表真實(shí)信號構(gòu)建的Hankel矩陣，E代表噪聲矩陣。已經(jīng)證明，如果信號包含有M階模態(tài)，則矩陣的秩等于 2M［2］。

結(jié)構(gòu)矩陣低秩逼近降噪算法的基本思想為:基于H得到H—，即通過與H最接近的Hankel矩陣(秩為2M)來逼近，使得矩陣H和之差的Frobenius范數(shù)最小。降噪步驟如下:

步驟2，將矩陣中的各元素由其所在反對角線上的元素的數(shù)學(xué)平均值代替，得到滿足Hankel形式的矩陣。此時(shí)的秩不為k。

步驟1和2交替迭代，直到滿足收斂標(biāo)準(zhǔn)。

4 數(shù)值算例

4.1 白噪聲激勵(lì)

建立一個(gè)四自由度的質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)的數(shù)值模型如圖1所示。單元的質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)分別為 m1，2，3，4=50 kg、k1，2，3=2 × 107N/m、k4=2 × 106N/m 、c1，2，3，4=500 N·s/m。通過特征值分析，可得到模態(tài)頻率的理論值為:26.457 Hz、53.135 Hz、127.05 Hz、181.68 Hz;模態(tài)阻尼比的理論值為:0.013 243、0.018 167、0.012 377、0.014 760。

圖1 四自由度質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)Fig.1 A 4 － DOF mass-spring-dashpot system

采用Matlab編制程序，以均值為零、方差為1的高斯白噪聲為輸入，將其右向加載在m1上。采樣頻率500 Hz，得到 m1、m2兩處隨機(jī)響應(yīng)信號，約 3 s，見圖 2。以m1處響應(yīng)信號為參考測點(diǎn)，采用NExT方法計(jì)算m2測點(diǎn)與參考測點(diǎn)的互相關(guān)函數(shù)，取500個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，見圖3。

圖2 白噪聲激勵(lì)下兩處響應(yīng)信號Fig.2 Response signals related to two locations with white noise excitation

圖3 由NExT方法得到的互相關(guān)函數(shù)圖Fig.3 Cross-correlation function obtained by NExT

4.2 噪聲模擬

實(shí)測信號不可避免地會受到各種噪聲的影響。通過對精確的(不含噪聲的)隨機(jī)響應(yīng)信號疊加高斯白噪聲來模擬含噪聲的隨機(jī)響應(yīng)信號。噪聲水平通過一個(gè)百分比來定量描述，該百分比定義為白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差和精確信號的標(biāo)準(zhǔn)差之比。圖4為精確信號和含10%、40%噪聲信號分別由NExT方法得到互相關(guān)函數(shù)，再經(jīng)傅里葉變換后的頻域圖。可以看出，在隨機(jī)響應(yīng)信號的基礎(chǔ)上即使疊加了10%的白噪聲，經(jīng)過NExT處理后，噪聲信號與精確信號基本吻合;當(dāng)噪聲水平較高，比如40%時(shí)，噪聲會對原始信號形成較大干擾。這表明，NExT方法對隨機(jī)白噪聲有一定的抑制作用。

圖4 不同精確度互相關(guān)函數(shù)頻域?qū)Ρ葓DFig.4 Frequency domain of exact and corrupted cross-correlation functions

4.3 信號降噪

對含10%、40%噪聲的互相關(guān)函數(shù)分別構(gòu)建維數(shù)為251!250的Hankel矩陣。采用結(jié)構(gòu)矩陣低秩逼近方法，首先需要確定矩陣的秩，即模型階次。對Hankel矩陣進(jìn)行奇異值分解，采用奇異值歸一化曲線的方法來確定模型階次［2，10］。如圖5所示，曲線突降到漸近線時(shí)對應(yīng)的奇異值個(gè)數(shù)即為模型階次?？梢钥闯觯?0%、40%噪聲的矩陣的秩都為8，也就是說，信號中都包含4階模態(tài)。確定模型階次后，對含10%、40%噪聲的Hankel矩陣分別進(jìn)行結(jié)構(gòu)低秩逼近計(jì)算，得到降噪的互相關(guān)函數(shù)。圖6為含40%噪聲的信號經(jīng)過降噪后與精確信號的對比。可以看出，噪聲被較好地消除了。

圖5 不同噪聲情況下的模型定階曲線Fig.5 Model order indicators with different noise level

圖6 含40%噪聲信號降噪后與精確的互相關(guān)函數(shù)頻域?qū)Ρ葓DFig.6 Frequency domain of filtered(40%corrupted)and exact cross-correlation functions

4.4 模態(tài)參數(shù)識別

采用Prony方法分別對精確、含噪及降噪的互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別。對含10%噪聲及其降噪信號的識別結(jié)果見表1和表2，對含40%噪聲及其降噪信號的識別結(jié)果見表3和表4?？梢园l(fā)現(xiàn)，由精確信號識別的模態(tài)參數(shù)與該系統(tǒng)的理論值較為接近。由于含噪信號是在精確信號的基礎(chǔ)上疊加一定程度的白噪聲，所以通過比較含噪信號、降噪信號與精確信號的識別結(jié)果可以說明本文提出方法的有效性。從表1和表2可以發(fā)現(xiàn)，由含10%噪聲信號識別的頻率的誤差范圍為0.53% －1.48%，而由降噪信號識別的頻率的誤差均小于1%;由含10%噪聲信號識別的阻尼比的誤差較大，其范圍為13.7% －75.6%，而由降噪信號識別的阻尼比的誤差相對較小，范圍為3.46% －9.83%。同樣，從表3和表4可以看出，由降噪信號識別的頻率和阻尼比的誤差范圍分別為0.41% －1.26%和12.1% －24.4%，均小于由含40%噪聲識別的頻率和阻尼比的誤差。

表1 采用含10%噪聲信號和降噪信號識別的模態(tài)頻率(Hz)Tab.1 The estimated modal frequencies from the 10%corrupted and filtered signals(Hz)

表2 采用含10%噪聲信號和降噪信號識別的阻尼比(%)Tab.2 The estimated damping ratios from the 10%corrupted and filtered signals(%)

表3 采用含40%噪聲信號和降噪信號識別的模態(tài)頻率(Hz)Tab.3 The estimated modal frequencies from the 40%corrupted and filtered signals(Hz)

表4 采用含40%噪聲信號和降噪信號識別的阻尼比(%)Tab.4 The estimated damping ratios from the 40%corrupted and filtered signals(%)

5 模型實(shí)驗(yàn)

建立一鋼質(zhì)導(dǎo)管架式海洋平臺物理模型，主腿尺寸為Φ25 mm×2.5 mm，橫撐及斜撐尺寸均為16 mm×1.5 mm，模型示意圖如圖7。將模型置于振動(dòng)臺上，在各層關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)布置X向加速度傳感器，通過振動(dòng)臺施加X向的白噪聲激勵(lì)，采樣頻率500 Hz，得到各節(jié)點(diǎn)處隨機(jī)響應(yīng)信號。以節(jié)點(diǎn)17的響應(yīng)信號為參考測點(diǎn)，采用NExT方法分別計(jì)算節(jié)點(diǎn)25、27、29、31與參考測點(diǎn)的互相關(guān)函數(shù)。以節(jié)點(diǎn)25為例，圖8為截取其中2 s的隨機(jī)響應(yīng)信號及其互相關(guān)函數(shù)。

圖7 導(dǎo)管架式海洋平臺模型Fig.7 Jacket offshore platform model

圖8 節(jié)點(diǎn)25處的隨機(jī)響應(yīng)信號及互相關(guān)函數(shù)圖Fig.8 Response signals related to node 25 with white noise excitation and cross－correlation function

采用奇異值歸一化曲線的方法確定模型階次為4(如圖9)，即信號中包含2階模態(tài)。對實(shí)測信號的互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行SLRA計(jì)算，得到降噪的互相關(guān)函數(shù)。圖10為實(shí)測信號與降噪信號的互相關(guān)函數(shù)頻域?qū)Ρ葓D，可以看出，噪聲被較好地消除了。

圖9 節(jié)點(diǎn)25處互相關(guān)函數(shù)的模型定階曲線Fig.9 Model order indicator related to cross-correlation function of node 25

圖10 實(shí)測信號與降噪信號的互相關(guān)函數(shù)頻域?qū)Ρ葓DFig.10 Frequency domain of filtered and measured cross-correlation functions

采用Prony方法分別對實(shí)測和降噪的互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別。另外，對節(jié)點(diǎn)27、29、31的實(shí)測信號分別采用相同的處理步驟，不再贅述。由四個(gè)不同位置處的實(shí)測及降噪信號識別的頻率和阻尼比分別列于表5和表6。盡管無法得到物理模型的真實(shí)模態(tài)參數(shù)，但是可以通過比較不同位置信號的識別結(jié)果的一致性來評價(jià)識別效果。從表5和6中可以發(fā)現(xiàn)，由不同位置處的降噪信號識別的模態(tài)頻率和阻尼比都非常一致，而由實(shí)測信號的識別結(jié)果則有較大差異，特別是阻尼比的識別結(jié)果有較大誤差。

表5 采用實(shí)測信號和降噪信號識別的模態(tài)頻率(Hz)Tab.5 The estimated modal frequencies from the measured and filtered signals(Hz)

表6 采用實(shí)測信號和降噪信號識別的阻尼比Tab.6 The estimated damping ratios from the measured and filtered signals

6 結(jié)論

(1)本文提出一種在環(huán)境激勵(lì)下基于測試信號降噪的模態(tài)參數(shù)識別方法，即NExT－SLRA－Prony方法。該方法首先對測試的隨機(jī)響應(yīng)數(shù)據(jù)采用NExT計(jì)算而獲得互相關(guān)函數(shù)，進(jìn)而基于SLRA方法得到降噪后的信號，最后通過Prony方法識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。數(shù)值算例和模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法對測量信號有很好的降噪作用，識別精度高。

(2)NExT對隨機(jī)白噪聲有一定的抑制作用。含噪的隨機(jī)響應(yīng)信號經(jīng)NExT處理后得到互相關(guān)函數(shù)，基于此識別的頻率值受噪聲影響較小，但阻尼比受噪聲影響相對較大。

［1］ Wang Shu-qing，Liu Fu-shun.New accuracy indicator to quanfity the true and false modes for eigensystem realization algorithm［J］.Structural Engineering and Mechanics，2010，34(5):625－634.

［2］ Hu SL J，Bao X X，Li H J.Model order determination and noise removal for modal parameter estimation［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2010，24(6):1605 －1620.

［3］ Ewins D J.Modal Testing:Theory，Practice and applications［M］.2nd Edition， Baldock， Hertfordshire， England:Research Studies Press，2000.

［4］易偉建，劉翔.動(dòng)力系統(tǒng)模型階次的確定［J］.振動(dòng)與沖擊，2008，27(11):12－16.YI Wei-jian，LIU Xiang.Order identification of dynamic system model［J］.Journal of Vibration and Shock，2008，27(11):12－16.

［5］常軍，張啟偉，孫利民.穩(wěn)定圖方法在隨機(jī)子空間識別模態(tài)參數(shù)中的應(yīng)用［J］.工程力學(xué)，2007，24(2):39－44.CHANG Jun，ZHANG Qi-wei，SUN Li-min.Application of stabilization diagram for modal paramenter identification using stochastic subspace method［J］.Engineering Mechanics，2007，24(2):39－44.

［6］JamesⅢ，G H，Carne T G，Lauffer J P.The natural excitation technique(NExT)for modal parameter extraction from operating structures［J］.The International Journal of Aanalytical and Experimental Modal Analysis，1995，10(4):260－277.

［7］De Moor B.Total least squares for affinely structured matrices and the noisy realization problem［J］.IEEE Trans Signal Process，1994，42(11):3104 －3113.

［8］ Hu S L J，Bao X X，Li H J.Improved polyreference time domain method for modal identification using local or global noise removal techniques［J］. Science China:Physics Mechanica Astronomy，2012，55:1464－1474.

［9］包興先，劉福順，李華軍，等.復(fù)指數(shù)方法降噪技術(shù)及其試驗(yàn)研究［J］.中國海洋大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，41(1):155－160.BAO Xing-xian，LIU Fu-shun，LI Hua-jun，et al.The complex exponential method based on singal-noise separation for modal analysis［J］.Periodical of Ocean University of China，2011，41(1):155 －160.

［10］王樹青，林裕裕，孟元棟，等.一種基于奇異值分解技術(shù)的模型定階方法［J］.振動(dòng)與沖擊，2012，31(15):87－91.WANG Shu-qing，LIN Yu-yu，MENG Yuang-dong，et al.Model order determination based on singular value decomposition［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(15):87－91.