張幗奮

(浙江大學(xué) 數(shù)學(xué)系，杭州 310027)

在大學(xué)的理工農(nóng)醫(yī)經(jīng)管類本科教學(xué)計劃中，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》往往是一門必修課或是重要的選修課.如何學(xué)好這門課是學(xué)生迫切需要解決的問題，在教學(xué)中教師如何教學(xué)也對學(xué)習(xí)起著重要的影響.本文根據(jù)從教多年的體會，將教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的典型問題提出來與讀者討論分析，希望得到同行和讀者的寶貴意見.

目前我校使用的教材主要有張幗奮主編的《概率論，數(shù)理統(tǒng)計與隨機(jī)過程》[1]和盛驟等編的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第三版)》[2].我們認(rèn)為在教學(xué)中最重要的是幫助學(xué)生建立正確的基本概念，掌握解決問題的基本方法，理清基本的解題思路.而要做到這些，從教師的角度就需要根據(jù)具體問題以及學(xué)生的情況，采用多種教學(xué)方法才能收到好的效果.下面通過教學(xué)中容易混淆出錯或理解不到位的幾個典型問題著重談?wù)勅绾芜\(yùn)用適合的教學(xué)方法，使學(xué)生更容易掌握知識.

1 事件的獨(dú)立與不相容概念

在概率論中事件之間的關(guān)系主要有三種：包含關(guān)系(包括相等)，不相容關(guān)系和獨(dú)立關(guān)系.其中不相容和獨(dú)立關(guān)系對于初學(xué)者來說理解上會出現(xiàn)一些問題.漢語里“獨(dú)立”是指關(guān)系上不依附、不隸屬，“不相容”意思是不能同時并存；在數(shù)學(xué)里，設(shè)A,B是兩個隨機(jī)事件，A與B獨(dú)立是指P(AB)=P(A)P(B)，A與B不相容是指AB=?，即交集是空集.因此如果0

學(xué)生在學(xué)習(xí)這兩個概念時，非常容易產(chǎn)生混淆，有時候?qū)ⅹ?dú)立的情況當(dāng)作不相容，有時候是將不相容當(dāng)作獨(dú)立.為了區(qū)別這兩個概念，可以通過比較法，比如通過下面的例子給學(xué)生留下一個非常直觀的印象：

設(shè)事件A與B分別表示甲與乙參加某個活動，已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，要計算P(A∪B),P(AB)，即至少有一人參加活動的概率和兩人同時參加的概率.其實(shí)只有這些條件，概率值是算不出來的，這里需要考慮A與B的關(guān)系.如果這兩人根本不認(rèn)識，也沒有任何關(guān)系，這就是事件A與B獨(dú)立，此時P(A∪B)=0.7,P(AB)=0.2；也許這兩人是冤家對頭，只要有一人參加活動，另一個一定不參加，此時事件A與B就是不相容關(guān)系，P(A∪B)=0.9,P(AB)=0；當(dāng)然還有可能兩人關(guān)系很好，一起參加活動的可能性很大，比如P(B|A)=0.7，則P(A∪B)=0.55,P(AB)=0.35.

由此可見，理解并掌握不同的事件關(guān)系得到的計算結(jié)果大相徑庭，這就需要練好基本功，切不可自己亂加條件，出現(xiàn)這種一看到P(A∪B)，就用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)，一看到P(AB)，就用公式P(AB)=P(A)P(B)的錯誤.

2 隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

求X的分布函數(shù)F(x).

正確解法是

常見的錯誤可能有(i)

這是在密度函數(shù)大于0的兩段計算不定積分，其他各段為0得到的.

第四段沒有把(0,1)區(qū)間的積分加上.

通過一些典型例子，運(yùn)用對比的方法，并讓學(xué)生在課堂上參與練習(xí)，就能獲得事半功倍的效果.

3 數(shù)學(xué)期望的概念

對于數(shù)學(xué)期望，常見的錯誤是將概率密度分段處理，結(jié)果數(shù)學(xué)期望變成了分段函數(shù)，如

這種錯誤的發(fā)生源于概念不清，把連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，分布函數(shù)，數(shù)學(xué)期望概念都混淆起來，所以在一開始講到這些概念時需要通過實(shí)例、直觀背景等，用啟發(fā)和聯(lián)想等多種教學(xué)手段建立一個清晰的概念，把它們的相互關(guān)系和區(qū)別理順.

4 假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計

假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計既是兩個不同的概念，它們之間的聯(lián)系又是非常密切.

例如，設(shè)總體X～N(μ,σ2)，參數(shù)μ,σ2均未知，X1,…,Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，求μ的置信度為1-α的置信區(qū)間.

對于這個問題，書上一般都有現(xiàn)成公式，學(xué)生在這一部分的學(xué)習(xí)感覺就是背公式，這樣就會出現(xiàn)不理解，死記硬背，導(dǎo)致用公式時張冠李戴.下面我們通過假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計的統(tǒng)計思想，基本原理來了解這兩個不同的概念及它們的聯(lián)系.

估計σ，且有

其中tα(n)是自由度為n的t分布的上α分位數(shù).等價地，轉(zhuǎn)化成熟悉的置信區(qū)間

下面考慮針對同一個總體，同一個樣本，即總體X～N(μ,σ2)，參數(shù)μ,σ2均未知，X1,…,Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，以顯著水平α檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0.

等價地

其含有未知參數(shù)σ，無法得到拒絕域，因此又將拒絕域形式修改為

由

確定出拒絕域?yàn)?/p>

最后，如果樣本落入拒絕域中，就拒絕原假設(shè)，否則不拒絕原假設(shè).

下面了解假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計的聯(lián)系.從置信區(qū)間出發(fā)，將置信區(qū)間

中μ用原假設(shè)成立時的參數(shù)μ=μ0代人，再求逆事件，即為

剛好為拒絕域；反之，拒絕域的逆事件為接受域

等價地

將μ0作為參數(shù)，便得到置信區(qū)間.

在這部分教學(xué)中一定要將統(tǒng)計思想講透，并且讓學(xué)生自己動腦動手去實(shí)踐.如果學(xué)生能夠理解了置信區(qū)間的意義和假設(shè)檢驗(yàn)的思想，并了解它們之間的聯(lián)系，那么這兩章節(jié)那么多的公式就都變得非常容易理解了.

總之，在教學(xué)中，遇到一個新的概念，新的思想，新的方法，都要用各種教學(xué)手段與已有的內(nèi)容進(jìn)行比較，找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，使學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 張幗奮，等. 概率論，數(shù)理統(tǒng)計與隨機(jī)過程[M]. 杭州:浙江大學(xué)出版社， 2011.

[2] 盛驟,等，概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].3版. 北京:高等教育出版社,2001.