吳佐慧， 劉合國

(湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，湖北 武漢 430062)

本文采用的術(shù)語和符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的，按照文[1].

行列式是線性代數(shù)中的重要類容，一方面它是必不可少的處理問題的工具，另一方面它又有自身的理論體系，在線性代數(shù)以后的教學(xué)內(nèi)容以及后續(xù)課程和工程技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用. 因此，掌握行列式的相關(guān)知識(shí)是學(xué)好線性代數(shù)的關(guān)鍵一環(huán). 在日常教學(xué)以及研究生考試中，行列式的計(jì)算更是必不可少的，但很多學(xué)生對(duì)這部分的內(nèi)容掌握得不是特別好，他們覺得內(nèi)容枯燥，計(jì)算繁瑣，并且容易出錯(cuò). 本文將應(yīng)用Lagrange插值的思想給出一類典型行列式的統(tǒng)一解法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能更好地掌握這塊內(nèi)容，并且能抓住知識(shí)的本質(zhì)，體會(huì)到數(shù)學(xué)的簡潔與自然.

插值是基本的數(shù)學(xué)思想，有著重要的應(yīng)用. 比如當(dāng)上述定理中n=2時(shí)，稱為線性插值，也叫做兩點(diǎn)插值. 已知函數(shù)y=f(x)在給定互異點(diǎn)x0,x1上的值為y0=f(x0),y1=f(x1)，線性插值就構(gòu)成一個(gè)一次多項(xiàng)式P1(x)=ax+b使它滿足條件P1(x0)=y0,P1(x1)=y1. 其幾何解釋就是一條直線通過已知兩點(diǎn)A(x0,y0),B(x1,y1).

設(shè)D=|aij|n×n是n階行列式，稱n階行列式D(x)=|aij+x|n×n為D的加項(xiàng)行列式. 加項(xiàng)行列式有很多好的性質(zhì)，它在計(jì)算一些行列式的時(shí)候有巧妙的應(yīng)用.

性質(zhì)2[1]設(shè)D=|aij|n×n是n階行列式，則其加項(xiàng)行列式

其中Aij為D中aij的代數(shù)余子式.

不難發(fā)現(xiàn)該性質(zhì)反應(yīng)的是插值的思想，接下來我們將用該思想計(jì)算一類行列式.

例1計(jì)算行列式

其中a≠b.

解記D和D(x)如下：

顯然

D(-a)=(x1-a)(x2-a)…(xn-a),D(-b)=(x1-b)(x2-b)…(xn-b).

由性質(zhì)2可得

解方程組可得

注 取x1=x2=…=xn，即為安徽大學(xué)研究生入學(xué)試題，見[4]第33頁題62; 若x1=x2=…=xn=0,且a=b=1，即為1997年高數(shù)4考試題，見[4]第31頁題59; 若x1=x2=…=xn=b=1，且a=-1，即為1994年華中師范大學(xué)研究生入學(xué)試題，見[4]第39頁題70; 若b=-a，即為1996年華中師范大學(xué)研究生入學(xué)試題，見[4]第46頁題83.

例2計(jì)算行列式

解記D和D(a)如下：

由性質(zhì)2可得

·(x3-a)…(xn-a)+…+(x1-a)(x2-a)…(xn-1-a)].

注 例1和例2的常規(guī)解法是遞推法或加邊，然后再化成爪型行列式進(jìn)行求解，計(jì)算過程有些繁瑣. 但應(yīng)用插值的思想(性質(zhì)2)使得解答過程既簡單又自然.

例3計(jì)算行列式

其中a≠b, 且ab≠0.

解因?yàn)閍b≠0，所以

記D和D(x)如下：

顯然

D(-a)=-a(x1-a)(x2-a)…(xn-a)，

D(-b)=-b(x1-b)(x2-b)…(xn-b).

由性質(zhì)2可得

解方程組可得

所以原行列式

例4計(jì)算行列式

其中a≠b, 且abcd≠0.

解因?yàn)閍bcd≠0，所以

記D和D(x)如下：

顯然

同例3可得原行列式

例5計(jì)算行列式

解顯然

記D和D(x)如下：

由性質(zhì)2可得

則原行列式

注 若主對(duì)角線上的元素改為1+a1,2+a2,…,n+an，且a1·a2·…·an≠0，即為鄭州大學(xué)、河北師范大學(xué)研究生入學(xué)試題，見[4]第32頁題61.

例6計(jì)算行列式

其中a1·a2·…·an≠0.

解因?yàn)閍1·a2·…·an≠0，所以

記D和D(x)如下：

由性質(zhì)2可得

則原行列式

+a2(x1-a1)(x3-a3)…(xn-an)+…+an(x1-a1)·(x2-a2)…(xn-1-an-1).

例7計(jì)算行列式

其中a1·a2·…·an·b1·b2·…·bn≠0.

解因?yàn)閍1·a2·…·an·b1·b2·…·bn≠0，所以

同例6可得原行列式的值為

Dn=a1·a2·…·an·b1·b2·…·bn·D(1)

+a2b2(x1-a1b1)(x3-a3b3)…(xn-anbn)+…

+anbn(x1-a1b1)(x2-a2b2)…(xn-1-an-1bn-1).

例8計(jì)算行列式

解顯然

當(dāng)a≠b時(shí)，由例1可得(x1=x2=…=xn=0)，原行列式的值為

當(dāng)a=b時(shí)，由例2可得(x1=x2=…=xn=0)，原行列式的值為

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 王萼芳，石生明，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M]. 3版.北京:高等教育出版社, 2003.

[2] 王萼芳，石生明，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答[M]. 北京:高等教育出版社, 2007.

[3] 樊惲，鄭延履，劉合國. 線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M]. 北京:科學(xué)出版社, 2007.

[4] 錢吉林, 高等代數(shù)題解精粹[M]. 北京:中央民族大學(xué)出版社, 2002.