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        極坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)體體積公式的推廣

        2014-09-17 01:53:26陳珍培
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年1期
        關(guān)鍵詞:曲邊旋轉(zhuǎn)體頂角

        陳珍培

        (浙江樹(shù)人大學(xué)基礎(chǔ)部,浙江杭州310015)

        1 引 言

        在定積分的幾何應(yīng)用中,有關(guān)旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算問(wèn)題,一般都是在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行討論的,極坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算問(wèn)題,則很少提及. 文[1],[2]給出了曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式, 但有關(guān)曲邊扇形繞任意空間直線(過(guò)極點(diǎn))旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積問(wèn)題,至今還沒(méi)有文獻(xiàn)進(jìn)行論述.本文運(yùn)用微積分的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決這一問(wèn)題.

        2 球底圓錐殼及其體積

        由于曲邊扇形繞空間直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的空間結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,為此,先引入球底圓錐殼的定義及其體積的計(jì)算公式.

        定義設(shè)C是半徑為R的球面,C1,C2是以C的球心為頂點(diǎn)、半頂角分別為α和β的同軸圓錐面(其中β>α), 稱由C,C1,C2圍成的空間立體Ω為球底圓錐殼. 而R,α和β-α分別稱為球底圓錐殼的斜高、半頂角和厚度角,C1,C2稱為球底圓錐殼的內(nèi)、外圓錐面.

        結(jié)論1斜高為R、半頂角為α、厚度角為Δα的球底圓錐殼Ω的體積為

        (1)

        證顯然, 球底圓錐殼體積為

        結(jié)論2當(dāng)球底圓錐殼的厚度角Δα→0時(shí),其體積

        (2)

        證由(1)可得

        3 旋轉(zhuǎn)體體積元素的構(gòu)造

        如圖1,設(shè)O-xyz為空間坐標(biāo)系,xOy坐標(biāo)面上有一曲邊扇形區(qū)域T,在極坐標(biāo)系下表示為T(mén)={(r,θ)0≤r≤r(θ),α≤θ≤β},旋轉(zhuǎn)軸l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且方向向量s=(m,n,p)為單位向量.在[α,β]上任意取一小區(qū)間[θ,θ+dθ](dθ>0),得相應(yīng)的小曲邊扇形OMM1,它繞l旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體近似為球底圓錐殼,顯然其斜高為OM=r(θ),而半頂角φ及厚度角(顯然為dφ)的計(jì)算如下:

        圖1 旋轉(zhuǎn)體體積元素構(gòu)造示意圖

        (3)

        兩邊微分,得

        -sinφdφ=-(msinθ-ncosθ)dθ,

        所以

        由(2)可得球底圓錐殼的體積(即旋轉(zhuǎn)體體積元素)為

        (4)

        4 旋轉(zhuǎn)體體積公式及證明

        (5)

        圖2 旋轉(zhuǎn)體體積公式推導(dǎo)示意圖

        注1 為使證明過(guò)程簡(jiǎn)潔,不妨先做以下假設(shè):

        (ii) 隨θ的增加,曲線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與s的夾角為銳角(證明中保證mx′+ny′+pz′>0)

        (iii)m·sinθ-n·cosθ≥0 (能保證旋轉(zhuǎn)體沒(méi)有重復(fù)部分)

        任意取θ∈[α,β],得曲邊扇形AOM,過(guò)A,M分別作l的垂線,垂足為D,C, 見(jiàn)圖2,記ΔOMC,ΔOAD及空間曲邊四邊形AMCD繞l所得旋轉(zhuǎn)體的體積分別為V1,V2,V3.則

        同理可得

        由文[3]中的公式(1)可得當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸過(guò)原點(diǎn)且方向向量為單位向量時(shí),旋轉(zhuǎn)體體積公式為

        將x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθ,z=0代入,得

        顯然曲邊扇形AOM繞l的旋轉(zhuǎn)體體積為

        V(θ)=V1(θ)-V2(θ)-V3(θ),

        所以

        V′(θ)=V′1(θ)-V′2(θ)-V′3(θ).

        V′1(θ) =πr2(θ)r′(θ)(mcosθ+nsinθ)[1-(mcosθ+nsinθ)2]

        =πr2(θ)r′(θ)(mcosθ+nsinθ)[1-(mcosθ+nsinθ)2]

        V′2(θ)=0,

        V′3(θ) =πr2(θ)[1-(mcosθ+nsinθ)2]·[r′(θ)(mcosθ+nsinθ)+r(θ)(ncosθ-msinθ)]

        =πr2(θ)r′(θ)(mcosθ+nsinθ)[1-(mcosθ+nsinθ)2]

        +πr3(θ)(ncosθ-msinθ)][1-(mcosθ+nsinθ)2],

        所以

        從而體積元素為

        所以旋轉(zhuǎn)體體積

        再考慮到體積非負(fù),所以旋轉(zhuǎn)體體積公式為

        注2 (i) 若l的方向向量(m,n,p)不是單位向量,則體積公式變?yōu)?/p>

        (6)

        (ii) 當(dāng)n=p=0時(shí),此時(shí)旋轉(zhuǎn)軸為x軸且取m=1,公式(5)簡(jiǎn)化為

        此為文[1],[2]的結(jié)論.

        例1計(jì)算T={(r,θ)0≤r≤sin2θ,0≤θ≤π/4}繞l:x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.

        解取l的單位方向向量

        由n·cosθ-m·sinθ=cosθ-sinθ≥0知旋轉(zhuǎn)體沒(méi)有重疊部分,根據(jù)公式(5)得

        5 性 質(zhì)

        證在曲線r=r(θ)上任意取關(guān)于θ=θ0對(duì)稱的兩點(diǎn)M1(θ0-δ,r(θ0-δ)),M2(θ0+δ,r(θ0+δ)),設(shè)OM1,OM2繞l旋轉(zhuǎn)所得的圓錐面分別為C1,C2,其斜高分別為r(θ0-δ),r(θ0+δ),根據(jù)T的對(duì)稱性,顯然有r(θ0-δ)=r(θ0+δ).

        再設(shè)C1,C2的半頂角分別為φ1,φ2,由(3)可得

        所以

        cosφ1-cosφ2=2m·sinθ0sinδ-2n·cosθ0sinδ

        故φ1=φ2,從而兩個(gè)圓錐面C1,C2的半頂角和斜高分別相等,即兩個(gè)圓錐面重合,由取點(diǎn)的任意性可知T1和T2繞l所得的旋轉(zhuǎn)體重合.

        性質(zhì)2設(shè)兩根旋轉(zhuǎn)軸l1和l2的方向向量分別為s1=(m,n,p1)和s2=(m,n,p2),則xOy平面內(nèi)的曲邊扇形繞l1和l2所得的體積V1和V2之比為

        證由公式(6)顯然可得.

        T1={(r,θ)0≤r≤R,0≤θ≤π/3}

        T2={(r,θ)0≤r≤R,π/3≤θ≤π/2},

        根據(jù)性質(zhì)(1),T2所得的旋轉(zhuǎn)體包含在T1所得的旋轉(zhuǎn)體中,所以只要求T1所得的旋轉(zhuǎn)體體積即可,所以

        [參 考 文 獻(xiàn)]

        [1] 邸雙亮.曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)體體積的新算法[J].高等數(shù)學(xué)研究,1995(1):27-29.

        [2] 燕列雅,趙彥暉.極坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)體體積元素的直接構(gòu)造法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2007,10(6):17-18.

        [3] 王林芳,馬雅琴.空間情形下旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2006,36(5):304-307.

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