馬德宜， 柳福祥， 尹 玲

(1. 三峽大學(xué)理學(xué)院，宜昌443002； 2. 廣東醫(yī)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，東莞523808)

1 引 言

線性代數(shù)是理工科必修課目之一.雖然線性代數(shù)中矩陣運算涉及的方法學(xué)生基本上都能掌握，但對結(jié)果的正確性卻沒有把握，計算失誤現(xiàn)象比較普遍.最近幾年，學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣與熱情有下降趨勢.本文結(jié)合實際教學(xué)經(jīng)驗，認(rèn)為主要原因是檢查過程中大量的重復(fù)性加減乘除工作會消耗學(xué)生大量的學(xué)習(xí)時間和精力，并降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生不愿意檢查中間計算過程.為了提高學(xué)生對矩陣運算結(jié)果正確性檢驗的認(rèn)識，為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣和提高教學(xué)質(zhì)量，本文從矩陣的初等變換[1]、分塊矩陣[2]、矩陣的秩[3]、矩陣的逆[4]、合同矩陣[5]和相似矩陣[6]等方面，給出了詳細的快速判別方法.

2 矩陣初等變換的快速校驗

矩陣的初等變換是線性代數(shù)課程的基礎(chǔ)，又快又準(zhǔn)確的對某個矩陣進行初等變換是基本要求.初等變換的原理比較簡單，主要是中學(xué)所學(xué)的加減乘除混合運算.但數(shù)字過于集中，重復(fù)工作較多，稍不留神就會導(dǎo)致出錯, 因此對矩陣初等變換的結(jié)果進行快速驗證是必要的.

例1用初等行變換將矩陣

化為行最簡形矩陣.

例1到此解答已全部完成.只要初等變換的中間過程沒有出錯，最簡形矩陣一定正確.但如何才能保證中間計算結(jié)果沒有出錯呢？一般而言，自己檢查自己中間驗算過程是否出錯是非常困難的.因此，本文作者結(jié)合實際教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)了一條快速驗證最簡形矩陣是否正確的方法.即將矩陣A刪除最后一列后與矩陣B的最后一列相乘，如果結(jié)果等于A的最后一列則正確，否則錯誤.

通過計算，相乘結(jié)果等于矩陣A的最后一列，故最簡形階梯型矩陣正確的可能性很大.

例3用初等行變換將矩陣

化為行最簡形矩陣.

例3到此已經(jīng)全部解答完成，下面需要進一步驗證這個結(jié)果是否正確.此時按照例2的方法已經(jīng)不適用，但實際上只需要將最簡形階梯型矩陣首非零元素1所對應(yīng)的未知量的值取為最后一列中相對應(yīng)的值，其它變量取為0即可.

通過驗算，矩陣兩邊相等，可以進一步提高最簡形階梯型矩陣正確性的概率.

3 分塊矩陣的快速校驗

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，社會已進入云數(shù)據(jù)、大數(shù)據(jù)時代.由于數(shù)據(jù)量大，大矩陣的運算也就不可避免.為了對大矩陣高效的計算，分塊矩陣提供了一種強有力的手段.但分塊矩陣的計算規(guī)則很容易與普通矩陣的計算規(guī)則相混淆，因此有必要對分塊矩陣的計算結(jié)果是否正確進行快速驗證.

例5給定矩陣

求AB.

解首先將矩陣A,B分塊，

我們在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對分塊矩陣的概念沒有完全掌握，學(xué)生通過計算可以得到一個結(jié)果，但他們對分塊計算的結(jié)果正確性沒有把握.為了幫助學(xué)生快速增加對結(jié)果正確性的信心，作者建議學(xué)生對最后每個分塊矩陣的結(jié)果隨機選擇一個值，然后用普通矩陣乘法驗算，而不需要對每個元素都驗算，提高效率，減少重復(fù)計算的次數(shù).

例6驗證：在B11,B22,E2,O中分別任意選擇一個，這里選擇中間4個數(shù)字進行驗證.

(3400)(5300)′=27 (3400)(1043)′=3

(0056)(5300)′=0 (0056)(5300)′=38

通過計算，隨機選擇的4個數(shù)完全正確，故最后通過分塊矩陣得出的結(jié)果正確性概率非常大.

4 矩陣的秩的快速校驗

秩是線性代數(shù)中一個較難的概念之一，也是解決許多線性代數(shù)問題的關(guān)鍵工具之一.矩陣秩的錯誤判斷，將直接導(dǎo)致線性代數(shù)中許多問題無法求解.因此有必要對矩陣的秩進行快速驗證.

解對矩陣A進行初等行變換，

由矩陣B，得R(A)=3.

由于中間經(jīng)過了大量運算，并不能保證中間一點錯也沒有，需要對此結(jié)果進行快速驗證.本文總結(jié)的快速驗證方法是，只需要在矩陣A中找到一個3階子矩陣行列式不為0，并且隨機選擇一個4階子矩陣行列式為0即可，不需要根據(jù)秩的定義計算所有4階子矩陣的行列式，減少校驗的時間.

雖然并不能保證此結(jié)果完全正確，但它是正確的概率非常大.

5 矩陣的逆的快速校驗

逆矩陣的概念，類似于中學(xué)所學(xué)的倒數(shù)，但又有明顯區(qū)別.逆矩陣在矩陣方程和判斷矩陣的某些性質(zhì)等方面都有著舉足輕重的作用.逆矩陣的計算錯誤，將會影響對矩陣性質(zhì)的判斷，因此有必要對矩陣的逆的結(jié)果進行快速驗證.

所以

這是求矩陣逆最常用的方法之一.只要中間結(jié)果沒有錯，最后結(jié)果一定正確.為了進一步驗證此結(jié)果是否正確，常用的方法是求AA-1，如果等于E則正確，否則錯誤.本文作者根據(jù)實際教學(xué)經(jīng)驗，通過計算det(A)det(A-1)，能更加快速驗證其結(jié)果是否正確的判斷.

例9驗證：det(A)det(A-1)=1.

雖然并不能保證此結(jié)果完全正確，但它是正確的概率非常大.

6 合同矩陣的快速校驗

設(shè)矩陣A和B是n階矩陣.若有可逆矩陣C，使得B=C′AC，則稱矩陣A與B合同.若A為對稱陣，由矩陣性質(zhì)則R(A)=R(B).

對于這類選擇題，需要在最短的時間內(nèi)給出其正確結(jié)果.排除法是一種常用方式.由合同定義，B=C′AC，如果矩陣A,B都可逆，則

det(B)=det(C′)det(A)det(C)=kdet(A),

其中k>0. 換句話說，det(B)與det(A)有相同的正負號.對這四個選項依次計算，

det(A)>0, det(B)>0, det(C)>0, det(D)<0, det(M)<0.

故答案選D.

7 相似矩陣的快速校驗

設(shè)A,B都是n階矩陣，如有可逆矩陣P，使得P-1AP=B,則稱B是A的相似矩陣.若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項式相同.實對稱矩陣A與B相似的充要條件A與B具有相同的特征值.

解由A-λE=0，則

由B-λE=0，則

因為A與B的特征值不相同，故A與B不相似.

為了進一步檢驗中間計算過程是否正確，我們結(jié)合實際教學(xué)經(jīng)驗，認(rèn)為只需要將相應(yīng)的特征值代入行列式計算是否為0即可.

例12驗證：當(dāng)λ=0時，det(A)=det(B)=0.

經(jīng)過計算，相應(yīng)的行列式均等于0，進一步說明中間計算錯誤的概率很小.

8 結(jié) 論

矩陣的運算是線性代數(shù)中關(guān)鍵的內(nèi)容之一.對矩陣運算結(jié)果是否正確給出快速校驗，可以增加其正確性的保證，同時也有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)興趣.我們結(jié)合實際教學(xué)經(jīng)驗，對矩陣的初等變換、分塊矩陣、矩陣的秩、矩陣的逆、合同矩陣和相似矩陣等方面，分別給出了對其結(jié)果正確性的進一步校驗方法. 雖然這些方法并不能保證結(jié)果百分百正確，但可以快速判斷結(jié)果是否錯誤.實際教學(xué)效果表明，對矩陣運算結(jié)果正確性的再檢驗，大大提高了學(xué)生計算結(jié)果的正確率和學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的興趣.

[參 考 文 獻]

[1] 陳漢武,肖芳英.基于初等變換的量子碼構(gòu)造[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,41(5):934-937.

[2] 李曉彬,劉永輝.Hermitian型分塊矩陣的極值秩[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2012,28(1):137-139.

[3] 國慧.矩陣的秩及其應(yīng)用[J].邢臺學(xué)院學(xué)報,2011,26(2):161-164.

[4] 馮媛.逆矩陣教學(xué)與思維能力培養(yǎng)[J].高等數(shù)學(xué)研究,2013,16(1):113-117.

[5] 朱鳳娟,黃永東.關(guān)于合同矩陣的一個注記[J].寧夏師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2007,28(3):79-80.

[6] 李亦芳,張環(huán)理,張丹.相似矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2005,14(2):11-12.