鄭華盛

(南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西南昌330063)

1 引 言

目前，直接求n階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的一般方法主要是常數(shù)變易法[1]，而大多數(shù)情形都是先由待定系數(shù)法、算子法、Laplace變換法及分部積分法等[1-6]方法求出非齊次方程的特解，再加上對應(yīng)齊次方程的通解，由通解的結(jié)構(gòu)而得到非齊次方程的通解.文[7]給出了求其通解的降階解法.本文提出一種求解任意n階(n≥2)常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的逆特征算子分解新方法，該方法只需直接將逆特征算子按有理真分式的因式分解方法分解為一次因式逆算子的形式，問題就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一階非齊次線性微分方程.給出了二階和三階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的一般公式及特定情形下n階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解公式.本文方法有別于文[2-3]中的算子法，也無須象待定系數(shù)法那樣限定非齊次項(xiàng)為兩種特殊類型.之后，通過幾個(gè)實(shí)例加以驗(yàn)證.

2 主要結(jié)論

考慮二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y″+py′+qy=f(x).

(1)

定理1設(shè)方程(1)的特征方程L(r)=r2+pr+q=0的根為r1，r2，則

(i) 當(dāng)r1≠r2∈時(shí)，方程(1)的通解為

(ii) 當(dāng)r1=r2∈時(shí)，方程(1)的通解為

(iii) 當(dāng)r1與r2為共軛復(fù)根時(shí)，記r1,2=α±iβ(α,β∈，且β≠0)，方程(1)的通解為

y= eαx(C1·cosβx+C2·sinβx)

當(dāng)r1≠r2∈時(shí)，有L(D)=(D-r1I)(D-r2I)，于是方程(1)的解為

(ii) 當(dāng)r1=r2∈時(shí)，有L(D)=(D-r1I)2，于是方程(1)的解為

(iii) 當(dāng)r1,2=α±iβ時(shí)，有L(D)=(D-r1I)(D-r2I)，于是由情形(i)可得方程(1)的通解為

類似地，有

定理2設(shè)有三階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y?+p1y″+p2y′+p3y=f(x)，

(2)

它的特征方程L(r)=r3+p1r2+p2r+p3=0的根分別為r1，r2，r3，則

(i) 當(dāng)r1，r2，r3∈且互異時(shí)，方程(2)的通解為

(ii) 當(dāng)r1=r2=r3∈時(shí)，方程(2)的通解為

(iii)當(dāng)r1，r2，r3∈且r1=r2≠r3時(shí)，方程(2)的通解為

(iv)當(dāng)r1∈，時(shí)，記r2,3=α±iβ(α,β∈，且β≠0)，方程(2)的通解為

其中Ci(i=1,2,3)為任意常數(shù)，且通解表達(dá)式中的不定積分均不含任意常數(shù).

一般地，有

定理3設(shè)有n階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)+…+pn-1y′+pny=f(x)，

(3)

它的特征方程L(r)=rn+p1rn-1+p2rn-2+…pn-1r+pn=0的根為ri(i=1,2,…,n)，則

(i) 當(dāng)ri∈(i=1,2,…,n)且互異時(shí)，方程(3)的通解為

(ii) 當(dāng)r1=r2=r3=…=rn∈時(shí)，方程(3)的通解為

(iii) 除了上述兩種情形，特征根的其它情形可能有多種，不便寫出通解公式的一般形式，但可類似于情形(i)，(ii)和定理1與定理2，將逆特征算子按有理真分式的因式分解方法化為一階算子的逆算子形式，然后求多個(gè)一階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解即可.

注1 定理1-3給出了求二階、三階及n階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的一種新方法.實(shí)際求解時(shí)，既可以直接利用定理中的公式，也可以不必記公式而按定理的證明過程求解.此外，定理1-3的通解表達(dá)式中含有任意常數(shù)的部分為對應(yīng)齊次方程的通解，其余部分為非齊次方程的一個(gè)特解.因而利用本文方法也可求高階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解.

3 應(yīng)用實(shí)例

例1[1]求微分方程y″-2y′-3y=3x+1 的通解.

解L(D)=D2-2D-3I=(D+I)(D-3I)，于是原方程的解為

故原方程的通解為

例2[1,7]求微分方程y″-5y′+6y=xe2x的通解.

解由特征方程L(r)=r2-5r+6=(r-2)(r-3)=0，得r1=2，r2=3，于是由定理1得原方程的通解為

解由特征方程L(r)=r2-4r+4=(r-2)2=0，得r1=r2=2，于是由定理1得原方程的通解為

例4[1]求微分方程y″+y=x·cos2x的通解.

解由特征方程L(r)=r2+1=0，得r1,2=±i，于是由定理1中的公式(其中α=0,β=1)得原方程的通解為

例5[4]求微分方程y?-6y″+11y′-6y=3x的通解.

解由特征方程L(r)=r3-6r2+11r-6=(r-1)(r-2)(r-3)=0，得特征根r1=1，r2=2，r3=3，于是由定理2得原方程的通解為

例6[7]求微分方程y?-3y″+3y′-y=cosx的通解.

解由特征方程L(r)=r3-3r2+3r-1=(r-1)3=0，得特征根r1=r2=r3=1，于是由定理2得原方程的通解為

例7[ 8]求微分方程y(4)-4y?+6y″-4y′+y=(x+1)ex的一個(gè)特解.

解由特征方程L(r)=r4-4r3+6r2-4r+1=(r-1)4=0，得特征根r1=r2=r3=r4=1，于是由定理3得原方程的一個(gè)特解為

例8[7]求微分方程y(4)+y″=eix的通解.

解L(D)=D4+D2=D2(D-iI)(D+iI).設(shè)

故原方程的通解為

4 結(jié)束語

本文提出了一種求任意高階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的逆特征算子分解方法.得到了二階和三階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的一般公式，及兩種特殊情形下n階(n>3)常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的公式，具體求解時(shí)不需要記公式，而按定理的證明思路求解(如例1及例8).該方法也適用于求任意高階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解. 本文方法思路簡單，易于求解，且具有很好的普適性，不失為一種較好的方法.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)(下冊)[M].5版.北京：高等教育出版社，2002：311-315.

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