趙志宏 楊紹普 劉永強

(1．石家莊鐵道大學信息科學與技術(shù)學院，石家莊 050043)(2．河北省交通安全與控制重點實驗室，石家莊 050043)

基于Duffing振子的隨機共振研究*

趙志宏1?楊紹普2劉永強2

(1．石家莊鐵道大學信息科學與技術(shù)學院，石家莊 050043)(2．河北省交通安全與控制重點實驗室，石家莊 050043)

隨機共振是非線性系統(tǒng)中的一種動力學現(xiàn)象．本文對基于Duffing振子的隨機共振現(xiàn)象進行研究，研究了Duffing系統(tǒng)噪聲強度與信噪比的關(guān)系，不同頻率正弦信號與信噪比的關(guān)系，以及阻尼比參數(shù)對隨機共振的影響．研究結(jié)果表明，Duffing系統(tǒng)的阻尼比參數(shù)對隨機共振的影響非常重要，阻尼比參數(shù)與輸出信號信噪比之間存在著一種復雜的非線性關(guān)系，并且會隨著Duffing系統(tǒng)參數(shù)的改變而變化．

隨機共振(SR)， 杜芬振子， 信噪比， 雙穩(wěn)系統(tǒng)， 微弱信號

引言

隨機共振的思想是由Benzi［1］在1981年首次提出的．在Benzi的模型中，地球氣候由一個雙勢阱勢函數(shù)表示，其中一個極小值代表地球被大面積冰川覆蓋時的氣溫．地球?qū)ζ滠壍离x心率的微小調(diào)節(jié)由一個微弱的周期力表示，短期的氣候波動，如每年太陽輻射量的波動，是由高斯噪聲來模擬的．按照Benzi的理論，當噪聲強度被調(diào)節(jié)到滿足某一條件時，則與其同步發(fā)生的氣候在寒冷與溫暖兩種情況之間的跳躍行為，將顯著增強地球氣候?qū)τ谟捎谡{(diào)節(jié)離心率而造成的微弱刺激的反應．由于絕熱近似理論的限制，基于隨機共振的方法通常只能檢測頻率很低的信號［2］．

隨機共振作為一種非常有潛力的信息處理工具受到了研究者的普遍關(guān)注．1995 年，Collins［3］基于Fitzhugh－Nagumo神經(jīng)網(wǎng)絡提出了非周期隨機共振的理論，推廣了隨機共振的周期限制條件，嘗試了隨機共振與信息理論新的結(jié)合．目前，除了在微弱信號檢測得到廣泛應用外，隨機共振在其它領域也得到了成功地應用，包括語音識別［4］，量子計算［5］，圖像復原［6］等．

隨機共振模型一般包括3個基本要素［7］:(1)微弱的輸入信號;(2)噪聲;(3)用于信號處理的非線性系統(tǒng)．以有用信號與噪聲的混合信號作為系統(tǒng)輸入，經(jīng)非線性系統(tǒng)處理以后得到輸出信號．目前，用于隨機共振的非線性系統(tǒng)模型研究最多的是基于雙穩(wěn)態(tài)的Langevin方程，這方面出現(xiàn)了大量的研究成果．相比而言，基于其它非線性方程的隨機共振研究還非常少，李娟娟等［8］研究了基于Lévy噪聲的Duffing系統(tǒng)的隨機共振與相轉(zhuǎn)移．Anishchenko［9］研究了具有混沌行為的離散動力系統(tǒng)中的隨機共振現(xiàn)象．本文研究基于高斯白噪聲的Duffing系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象．

1 基于Duffing振子隨機共振理論

其中參數(shù)k是阻尼比，－ax+bx3項是非線性恢復力，參數(shù)a與b是大于零的實數(shù)．當s(t)為正弦信號時，可表示為s(t)=Asin(2πf0t)的形式，A為幅值，f0為頻率．n(t)=(t)表示噪聲強度為D的高斯白噪聲，其中ξ(t)為方差為1、均值為0的高斯白噪聲．此時，Duffing方程變?yōu)橛烧倚盘柡透咚拱自肼曅盘柟餐?qū)動，方程變?yōu)?

文獻［10］對上面形式的Duffing系統(tǒng)進行分析，指出當無外加信號時，系統(tǒng)勢函數(shù)為U(x)=－

隨機共振的一個應用是微弱信號檢測．假設正弦信號為待測微弱信號Asin(2πf0t)時，n(t)為背景噪聲，當微弱正弦信號和噪聲共同輸入Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生隨機共振時，在Duffing系統(tǒng)輸出信號的頻譜中，在正弦信號的頻率f0處會有明顯的峰值，根據(jù)這一特征檢測出噪聲中的微弱正弦信號．

一個基于Duffing振子的隨機共振如圖1所示，其中Duffing方程的各參數(shù)為:k=0．5，a=1，b=1，正弦信號幅值為 0．12，頻率為 0．01Hz，噪聲強度D=0．99，采用 Runge－Kutta法對 Duffing方程進行數(shù)值求解．從圖1可以看出，在噪聲強度D=0．99時系統(tǒng)出現(xiàn)了隨機共振現(xiàn)象，輸出信號的頻譜在正弦信號頻率f0處譜值最大，并且比輸入信號頻譜f0處的值大了許多．

圖1 基于Duffing振子的隨機共振(a)輸入信號時域波形;(b)輸入信號頻譜;(c)輸出信號時域波形;(d)輸出信號頻譜Fig．1 Stochastic resonance based on Duffing oscillator(a)time waveform of input signal(b)frequency of input signal(c)time waveform of output signal(d)frequency of output signal

2 仿真實驗

衡量隨機共振的一個非常重要的指標是輸出信號的信噪比，這里主要研究輸出信號信噪比與噪聲強度，正弦信號頻率以及阻尼比參數(shù)k的關(guān)系．

2．1 噪聲強度與輸出信號信噪比的關(guān)系

保持Duffing方程(2)中其它參數(shù)的值不變，改變噪聲強度的值，研究噪聲強度對輸出信號信噪比的影響．Duffing方程中各參數(shù)的取值為k=0．5，a=1，b=1，A=0．1，f0=0．03．噪聲強度 D 的取值為0．02－2．輸出信號信噪比與噪聲強度的變化規(guī)律如圖2所示．從圖2可以看到，含噪聲正弦信號經(jīng)過Duffing系統(tǒng)后，輸出信號的信噪比與噪聲強度之間存在著非線性的關(guān)系，總的來說，開始信噪比隨著噪聲強度的增加而增加，當達到某一個值后隨噪聲強度的增加而減少，但并不是嚴格地增加或減少．信噪比在某個噪聲強度值時達到最優(yōu)，這是隨機共振的典型特征．

圖3是噪聲強度D取不同值時得到的Duffing系統(tǒng)相圖，其中噪聲強度D的取值依次為0．1，0．5，1，2．從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，當D取值很小時，例如D=0．1，Duffing系統(tǒng)輸出主要在某個勢阱中運動．當噪聲強度D大于某個值時，Duffing系統(tǒng)輸出在兩個勢阱中運動，并且，噪聲強度D的取值越大，Duffing系統(tǒng)相圖的軌跡越復雜．

圖2 輸出信號信噪比隨噪聲強度的變化規(guī)律Fig．2 The relation between output SNR and noise strength

圖3 不同噪聲強度D得到的相圖(a)D=0．1;(b)D=0．5;(c)D=1;(d)D=2Fig．3 The phase diagram of the system with different noise strength(a)D=0．1;(b)D=0．5;(c)D=1;(d)D=2

2．2 正弦信號頻率與輸出信號信噪比的關(guān)系

研究Duffing系統(tǒng)對不同頻率微弱正弦信號的檢測效果．Duffing方程參數(shù)的取值為k=0．5，a=1，b=1，A=0．12，f0=0．03，D=0．99．不同頻率正弦信號經(jīng)過Duffing系統(tǒng)后得到的信噪比如圖4所示．從圖4可以看到Duffing系統(tǒng)對低頻正弦信號的得到的輸出信號信噪比較高．另外，如果將Duffing系統(tǒng)用于微弱正弦信號檢測，有一個適用的檢測頻率范圍．

2．3 阻尼比參數(shù)k對隨機共振的影響

與用于隨機共振的Langevin方程相比，Duffing方程增加了一項阻尼比k，阻尼比參數(shù)k的引入，使得Duffing系統(tǒng)表現(xiàn)出現(xiàn)了更豐富的非線性動力學行為，這里研究阻尼比參數(shù)k對隨機共振的影響．

圖4 不同頻率正弦信號經(jīng)過Duffing系統(tǒng)得到的信噪比Fig．4 The output SNR of the Duffing system with the different frequency of the sine signal

圖5 阻尼比k與信噪比的關(guān)系 (a)a=1，b=1;(b)a=0．5，b=1;(c)a=1，b=0．5;(d)a=1，b= －1Fig．5 The relation between the damping ratio and the output SNR(a)a=1，b=1;(b)a=0．5，b=1;(c)a=1，b=0．5;(d)a=1，b= －1

保持正弦信號和噪聲信號不變，研究在不同Duffing系統(tǒng)參數(shù)a，b取值的情況下，阻尼比參數(shù)k值的改變對隨機共振的影響．正弦信號的頻率f0為0．03Hz，幅值A 為0．12，高斯白噪聲信號的強度D為0．75．Duffing系統(tǒng)參數(shù)a，b取4組不同的值，(1)a=1，b=1;(2)a=0．5，b=1;(3)a=1，b=0．5;(4)a=1，b=－1．阻尼比k的取值與信噪比的關(guān)系如圖5所示．從圖5可以看到，(1)隨著系統(tǒng)參數(shù)a，b取值的改變，阻尼比k與輸出信號信噪比的關(guān)系也不相同．(2)阻尼比參數(shù)k與輸出信號信噪比之間是一個復雜的非線性關(guān)系，(3)陰尼比k的取值對輸出信號信噪比的影響非常大，針對不同參數(shù)a，b取值的Duffing系統(tǒng)，應該根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)的值慎重選擇阻尼比k的值．

進一步研究阻尼比k=0．1，0．2，0．5，0．8 的情況下Duffing系統(tǒng)的相圖．得到的典型Duffing系統(tǒng)相圖如圖6所示．其中a=1，b=1．從圖6可以看出，總體而言，隨著阻尼比參數(shù)k值的增加，Duffing系統(tǒng)相圖的軌跡范圍縮?。?/p>

圖6 阻尼比k不同取值得到的相圖(a)k=0．1;(b)k=0．2;(c)k=0．5;(d)k=0．8Fig．6 The phase diagram of the Duffing system with different k(a)k=0．1;(b)k=0．2;(c)k=0．5;(d)k=0．8

3 結(jié)論與展望

本文對基于Duffing振子的隨機共振進行了研究，建立了基于正弦信號與高斯白噪聲的Duffing方程隨機共振模型．研究了噪聲強度與輸出信號信噪比的關(guān)系，正弦信號頻率與輸出信號信噪比的關(guān)系，以及阻尼比參數(shù)k對隨機共振的影響．經(jīng)過仿真信號實驗結(jié)果表明，阻尼比參數(shù)k對隨機共振的影響非常重要，阻尼比與輸出信號信噪比之間存在著一種復雜的非線性關(guān)系．設計并實現(xiàn)一個實用的基于Duffing系統(tǒng)的隨機共振系統(tǒng)是下一步要研究的內(nèi)容．

1 Benzi R，Sutera A，Vulpiani A．The mechanism of stochastic resonance．Journal of Physics A:Mathematical and General，1981，14:453 ～457

2 胡崗．隨機力與非線性系統(tǒng)．上海:上?？萍冀逃霭嫔?，1994(Hu G．Stochastic force and nonlinear syste．Shanghai:Shanghai Science an d Technology Education Press，1994(in Chinese))

3 Colins J J，Chow C C，Imhoff T T．Aperiodic stochastic resonance in excitable systems．Physical Review E，1995，52:3321～3324

4 Moskowitz M T，Dickinson B W．Stochastic resonance in speech recognition:differentiating between/b/and/v/．IEEE International Symposium on Circuits and Systems3，2002，855–858

5 Gammaitoni L，H?nggi P，Jung P，Marchesoni F．Stochastic resonance:a remarkable idea that changed our perception of noise．European Physical Journal B，2009，69(1):1～3

6 龔振宇，龐全，范影樂．自適應隨機共振的圖像復原研究．計算機工程與科學，2009，31(5):46～48(Gong Z Y，Pang Q，F(xiàn)an Y L．The image restoration research by auto－adapted stochastic resonating．Computer Engineering＆Science，2009，31(5):46～48(in Chinese))

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8 李娟娟，許勇，馮晶．Duffing系統(tǒng)中Lévy噪聲誘導的隨機共振與相轉(zhuǎn)移．動力學與控制學報，2012，03:278～282(Li J J，Xu Y，F(xiàn)eng J．Levy noise induced stochastic resonance and phase transition in Duffing system．Journal of Dynamics and Control，2012，03:278 ～ 282(in Chinese))

9 Anishchenko V S，Neiman A B，Safanova M A．Stochastic resonance in chaotic systems．Journal of Statistical Physics，1993，70(1－2):183 ～196

10 冷永剛，賴志慧，范勝波等，二維Duffing振子的大參數(shù)隨機共振及微弱信號檢測研究．物理學報，2012．61(23):1～10(Leng Y G，Lai Z H，F(xiàn)an S B，et al．Large parameter stochastic resonance of two－dimensional Duffing oscillator and its application on weak signal detection．Acta Physica Sinica，2012，61(23):1～10(in Chinese))

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11172182，11227201，11202141)，Natural Science Foundation of Hebei Province(A2013210013)

? Corresponding author E－mail:hb_zhaozhihong@126．com

STUDY OF STOCHASTIC RESONANCE BASED ON DUFFING OSCILLATOR*

Zhao Zhihong1?Yang Shaopu2Liu Yongqiang2
(1．School of Computing and Informatics，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang050043，China)(2．Key Laboratory of Traffic Safety and Control of Hebei Province，Shijiazhuang050043，China)

Stochastic resonance is a kind of nonlinear phenomenon，which can enhance the weak input signal through the nonlinear system．This paper investigated the phenomenon of stochastic resonance for duffing oscillator．Following experiments were studied:the relation between the output SNR with the noise strength，the relation between the output SNR of the Duffing system with the different frequency of the sine signal，and the relation between the output SNR with the damping ratio．The experimental results show that the damping ratio parameter has an important role in the stochastic resonance and there exist a complex nonlinear relationship between the damping ratio parameter with the output SNR．

stochastic resonance(SR)， Duffing oscillator， signal to noise ratio， bi－stable system， weak signal

6 July 2013，

6 December 2013．

10．6052/1672－6553－2014－029

2013－07－06 收到第 1 稿，2013－12－06 收到修改稿．

*國家自然科學基金資助項目(11172182，11227201，11202141)，河北省自然科學基金資助項目(A2013210013)

E－mail:hb_zhaozhihong@126．com