陳方方 洪靈

(西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

一類具有時(shí)滯和非線性發(fā)生率的SIRS傳染病模型穩(wěn)定性與Hopf分岔分析*

陳方方 洪靈?

(西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

研究了一類具有時(shí)滯及非線性特性發(fā)生率的SIRS傳染病模型，首先利用特征值理論分析了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性;并以時(shí)滯τ作為分岔參數(shù)，分析了模型的Hopf分岔行為，運(yùn)用中心流形定理和規(guī)范型理論給出了分岔方向及分岔周期解穩(wěn)定性的計(jì)算公式;最后，數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析結(jié)果．

穩(wěn)定性， 時(shí)滯， 非線性發(fā)生率， 階段結(jié)構(gòu)， Hopf分岔

引言

K－M在1927年建立了所謂的“倉(cāng)室”模型［1］后，“倉(cāng)室”模型的基本思想方法一直被廣泛的使用并不斷地發(fā)展著，截至目前，學(xué)者已根據(jù)不同疾病的發(fā)病機(jī)理建立了不同類型的傳染病模型［2］，并得出了一些結(jié)論．

在以前討論的大多數(shù)模型中，我們通常將人群分成易感染者、染病者和移出者等若干類，并假定類型中的個(gè)體無(wú)差異，即他們?cè)诒桓腥?、隔離、接種等方面完全相同，針對(duì)這類模型的研究已有很多研究結(jié)果．但是這類模型假設(shè)的合理性與實(shí)際疾病的傳播仍存在一定的差距，特別是對(duì)某些傳染病或接觸性疾病，在不同的年齡階段，其傳播概率有很大不同，某些類型的疾病在成人中的傳播概率很大，如淋病，AIDS等，而有些疾病，如麻疹，水痘等則在兒童中的傳播概率較大．因此，為了更清楚的描述疾病的傳播機(jī)理，就需在相應(yīng)的傳染病模型中考慮階段結(jié)構(gòu)．于是，在刻畫傳染病模型時(shí)，具有階段結(jié)構(gòu)［3－4］的傳染病模型能更好地反映生物個(gè)體的生理特征和疾病的傳播機(jī)理，引起了很多學(xué)者的關(guān)注，且具有重要的生物學(xué)意義．

依靠媒介傳染病毒的傳染病也非常多，它通過(guò)病毒、原蟲(chóng)或細(xì)菌等生物載體傳播的，如瘧疾通過(guò)蚊子來(lái)傳播．Cooke在文［5］中給出了一種通過(guò)媒介傳播疾病的數(shù)學(xué)模型，該建模思想在以后的建模中被廣泛應(yīng)用．

為方便起見(jiàn)，我們假定由于疾病的影響，染病的成熟個(gè)體沒(méi)有繁殖能力;易感染人群僅僅被媒介染病者所感染，媒介和人群充分混合．在該假設(shè)下，我們基于文［6］，建立了具有階段結(jié)構(gòu)和非線性發(fā)生率的SIRS時(shí)滯傳染病模型，研究模型的平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，分析其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為．

1 模型的建立

本章所建立的SIRS時(shí)滯傳染病模型:

其中，X(t)為t時(shí)刻處于不成熟階段的人口密度，S(t)，I(t)，R(t)為t時(shí)刻成年人中易染者、感染者和移除者的密度，ω為不成熟個(gè)體到成熟個(gè)體的轉(zhuǎn)換率，μ0為不成熟個(gè)體的自然死亡率，μ為成熟個(gè)體的自然死亡率，σ為感染率，α為抑制率，ε為感染者的因病死亡率，γ為治愈率，δ為已免疫的個(gè)體重新獲得易感染能力的概率，τ為疾病的潛伏期．

2 平衡點(diǎn)的存在性

由于模型(1)的形式較復(fù)雜，為方便討論，我們對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化．對(duì)(1)進(jìn)行無(wú)量綱化和變量替換:

得簡(jiǎn)化后的模型為:

模型(2)的初始條件為:

其中:?4+={x1，x2，x3，x4∈?4:xi≥0，i=1，2，3，4}

定義基本再生數(shù):

經(jīng)直接計(jì)算得，系統(tǒng)(2)存在無(wú)病平衡點(diǎn):

對(duì)地方病平衡點(diǎn)的存在性，我們有如下性質(zhì):

性質(zhì) 模型(2)有唯一正平衡點(diǎn)E*=(u*，s*，i*，r*)當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立:

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

3．1 無(wú)病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

由平衡點(diǎn)的生物學(xué)意義得，若存在無(wú)病平衡點(diǎn)，則無(wú)病平衡點(diǎn)應(yīng)為正，即b1＞a．因此，有如下定理:

定理1 假設(shè)R0＜1，對(duì)任意的τ≥0，E0局部漸近穩(wěn)定的;R0＞1成立，對(duì)任意的τ≥0，E0不穩(wěn)定的．證明: 系統(tǒng)(2)在無(wú)病平衡點(diǎn)E0附近線性化系統(tǒng)的特征方程為:

易證，當(dāng)R0＜1時(shí)，特征根均具有負(fù)實(shí)部;當(dāng)R0＞1時(shí)，至少存在一個(gè)具有正實(shí)部的特征根，因此得證．

3．2 地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

定理2 假設(shè)R0＞1成立，且τ=0時(shí)，系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定．

證明: 當(dāng)τ=0時(shí)，系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*附近線性化系統(tǒng)的特征方程為:

根據(jù) Routh－Hurwitz判據(jù)，易證:當(dāng)R0＞1 時(shí)，a1＞0，且有H1，H2，H3＞0．故 τ=0 時(shí)，特征根均具有負(fù)實(shí)部，地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定．

定理3 當(dāng) τ＞0時(shí)，若aβ+b1b2＜ab2，則E*條件穩(wěn)定．

證明: 當(dāng)τ＞0時(shí)，系統(tǒng)(2)在地方病平衡點(diǎn)E*附近線性化系統(tǒng)的特征方程為:

由aβ+b1b2＜ab2得R0＞1，已有結(jié)論，當(dāng) τ=0時(shí)系統(tǒng)特征根均具有負(fù)實(shí)部．以下證明特征方程(3)有唯一一對(duì)純虛根 ±iω0(ω0＞0)，假定對(duì) τ ＞0，iω0(ω0＞0)是(3)的根，代入(3)得:

分離實(shí)部虛部得:

將上式兩邊分別平方相加得:

當(dāng)R0＞1時(shí)，我們可證得:p＞0，q＞0．由條件aβ+b1b2＜ab2，易得s＜0，由引理 2．1［6］得:(6)式存在唯一的正根ω0，即特征方程(3)存在唯一一對(duì)純虛根，由此可得到τk＞0，使得有一對(duì)純虛根．

由引理2．3［7］，于是我們完成了定理3的證明．以下我們將證明:

這意味著，在τ＞τk時(shí)，至少存在一個(gè)具有正實(shí)部的特征根．將特征方程(3)對(duì)τ微分可得:

根據(jù) Rouché＇s定理［8］得，時(shí)滯量 τ 由小于 τk的值增加到大于τk的值時(shí)，特征方程(3)的特征根，從虛軸左側(cè)穿過(guò)虛軸到達(dá)虛軸右側(cè)，橫截條件成立，因此，滿足 Hopf分岔?xiàng)l件［9］，在 τ=τk處發(fā)生了Hopf分岔．

4 Hopf分岔方向和分岔穩(wěn)定性

對(duì)模型(2)，運(yùn)用中心流形定理和規(guī)范型理論［10］給出系統(tǒng)(2)的Hopf分岔方向及分岔周期解的穩(wěn)定性和周期計(jì)算公式．令:

為方便起見(jiàn)，去掉“—”，則系統(tǒng)(2)可以寫成C=C(［－1，0］，R4)上的泛函微分方程:

f:R×C→R4，Lμ:C→R4分別表示為:由Riesz表示引理得:對(duì) θ∈［0，1］，存在一個(gè)有界變差函數(shù) η(θ，μ)，使得:

實(shí)際上，可選取:

其中δ(．)表示Dirac Delta函數(shù)．

對(duì)于 φ =(φ1，φ2，φ3，φ4)T∈C［－1，0］，R4)，定義:

因此，系統(tǒng)(7)可化為:

和雙線性內(nèi)積:

顯然，A和A*為共軛算子．±iω0τk是A(0)的特征值，也是A*的特征值．下面計(jì)算A和A*關(guān)于iω0τk和 －iω0τk的特征向量．q(θ)=(1，q1，q2，q3)Teiω0τkθ是A(0)特征向量，有A(0)q(θ)=iω0τkq(θ)，根據(jù)A(0)定義及式(9)(10)(11)可解得:

A*對(duì)應(yīng)特征向量為q*(s)=D(1，)

確?！磓*(s)，q(θ)〉=1．接下來(lái)計(jì)算在 μ=0決定中心流形C0的坐標(biāo)，令μ=0時(shí)(12)的解為ut，定義:

在中心流形C0上，我們有

z和表示q*和上中心流形C0的局部坐標(biāo)．

由式(13)和(14)得:

連同式(8)得:

下面需要計(jì)算W20(θ)和W11(θ)，由式(12)(13)得:

將式(17)代入式(16)，并比較系數(shù)得:

比較式(15)和式(17)的系數(shù)得:

由A(0)的定義及式(18)和(19)得:

類似地，由式(18)和式(19)得:

接下來(lái)，計(jì)算E1和E2的值．由A(0)及式(18)，有:

由式(16)得，當(dāng)θ=0時(shí)，

此時(shí)，將式(20)和式(23)代入式(22)，可求得E1．類似將式(21)和(24)代入式(22)，可求得E2．因此，可得如下計(jì)算公式:

根據(jù)計(jì)算所得結(jié)果，給出如下結(jié)論:

定理4 (1)μ2決定了Hopf分岔的方向:若μ2＜0(＞0)，則系統(tǒng)(2)產(chǎn)生次臨界(超臨界)的Hopf分岔，且在τ＜τ0(τ＞τ0)時(shí)存在分岔周期解;(2)β2決定了Hopf分岔周期解的穩(wěn)定性，若β2＞0(＜0)，則周期解是不穩(wěn)定(穩(wěn)定)的;(3)T2決定了分岔周期解的周期，若T2＜0(＞0)，則分岔周期解的周期隨τ的增加而減少(增加)的．

5 數(shù)值模擬

在系統(tǒng)(2)中，取a=2．5，b0=0．1，b1=0．5，b2=2．5，β =1．2，c=0．5，d=0．6 時(shí)，通過(guò)式(25)給出的計(jì)算公式，結(jié)合推導(dǎo)過(guò)程，可得:

根據(jù)定理4，模型(2)在τ0處產(chǎn)生超臨界Hopf分岔，且分岔周期解的周期是穩(wěn)定的，分岔周期解的周期將隨τ的增加而增加．進(jìn)一步的數(shù)值模擬結(jié)果為:

圖1 地方病平衡點(diǎn)的時(shí)間歷程圖(τ=17．5)Fig．1 time history of the endemic equilibrium when τ=17．5

圖2 地方病平衡點(diǎn)的相圖(τ=17．5)Fig．2 phase diagram of the endemic equilibrium when τ=17．5

圖3 地方病平衡點(diǎn)的時(shí)間歷程圖(τ=19)Fig．3 time history of the endemic equilibrium when τ=19

圖4 地方病平衡點(diǎn)的相圖(τ=19)Fig．4 phase diagram of the endemic equilibrium τ=19

圖5 不同非線性影響因素下染病個(gè)體的時(shí)間歷程圖Fig．5 time history of infected individuals under different nonlinear factors

6 結(jié)論

本文建立了具有非線性發(fā)生率和階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯SIRS模型，分析了平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性．得出:當(dāng)R0＜1時(shí)，對(duì)任意的τ，無(wú)病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0＞1時(shí)，對(duì)任意的τ，無(wú)病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定．對(duì)地方病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析時(shí)，在R0＞1的前提下，當(dāng)τ=0時(shí)，得到了地方病平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定的;當(dāng)τ＞0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)條件穩(wěn)定，且在τk處發(fā)生了Hopf分岔，即疾病會(huì)出現(xiàn)周期性爆發(fā)．

對(duì)Hopf分岔方向和分岔周期解的穩(wěn)定性及分岔周期的討論，我們運(yùn)用了中心流形定理和規(guī)范型理論進(jìn)行研究分析，得出系統(tǒng)(2)在參數(shù)滿足一定的條件下，發(fā)生了超臨界的Hopf分岔，分岔周期解是穩(wěn)定的，且分岔周期解的周期隨著時(shí)滯量τ的增加而增大．進(jìn)一步的數(shù)值模擬結(jié)果，也驗(yàn)證了理論分析的正確性．在此基礎(chǔ)上，為了驗(yàn)證非線性發(fā)生率對(duì)疾病的影響效果，通過(guò)一定的數(shù)值模擬得出，適當(dāng)?shù)脑黾油饨缫种茝?qiáng)度，能使染病個(gè)體的數(shù)量明顯的下降，更利于治療疾病，因此非線性發(fā)生率的引入具有非常重要的生物學(xué)意義．

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11332008)

? Corresponding author E－mail:hongling@mail．xjtu．edu．cn

STABILITY AND HOPF BIFURCATION ANALYSIS OF A DELAYED SIRS EPIDEMIC MODEL WITH NONLINEAR SATURATION INCIDENCE*

Chen Fangfang Hong Ling?
(State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures，Xi'an Jiaotong University，Xi'an710049，China)

An SIRS epidemic model with nonlinear saturation incidence rate and time delay was investigated．By analyzing the corresponding characteristic equations，the local stability of disease－free equilibrium and endemic equilibrium was discussed．The bifurcation property was obtained as the time delay passed through a critical value．Applying the center manifold argument and normal form theory，some local bifurcation results were obtained and the formulas for determining the bifurcation direction and stability of the bifurcated periodic solution were derived．Numerical simulations were presented to illustrate the theoretical analysis．

stability， time delay， nonlinear incidence rate， stage structure， Hopf bifurcation

31 May 2013，

8 June 2013．

10．6052/1672－6553－2013－070

2013－05－31 收到第 1 稿，2013－06－08 收到修改稿．

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11332008)

E－mail:hongling@mail．xjtu．edu．cn