郭抗抗 曹樹(shù)謙?

(1．天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)(2．天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

壓電發(fā)電懸臂梁的非線性動(dòng)力學(xué)建模及響應(yīng)分析*

郭抗抗1，2曹樹(shù)謙1，2?

(1．天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)(2．天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

以單晶懸臂梁壓電發(fā)電裝置為研究對(duì)象，在考慮壓電材料非線性的情況下，利用廣義Hamilton原理、Rayleigh－Ritz法、Euler－Bernoulli梁理論及壓電元件恒定電場(chǎng)假設(shè)建立了懸臂梁壓電發(fā)電裝置的分布式機(jī)電耦合模型，通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析諧振頻率附近解的特性與系統(tǒng)參數(shù)及初始條件的關(guān)系，揭示了壓電材料非線性、外激勵(lì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響規(guī)律，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了解析解的正確性．結(jié)果表明，壓電材料的非線性特性會(huì)導(dǎo)致近似解的共振峰向左偏移，呈現(xiàn)軟特性的非線性特征;當(dāng)激勵(lì)頻率變化時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)存在多解、跳躍等現(xiàn)象，主共振解的真正實(shí)現(xiàn)與初始條件的選取有關(guān)．

壓電發(fā)電懸臂梁， 非線性建模， 主共振， 跳躍現(xiàn)象

引言

微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)的發(fā)展開(kāi)辟了一個(gè)全新的技術(shù)領(lǐng)域，系統(tǒng)或產(chǎn)品微型化、智能化、集成化的發(fā)展方向勢(shì)必要求其供電部分應(yīng)具有體積小、能量密度高、集成度高、壽命長(zhǎng)甚至長(zhǎng)期無(wú)需更換等特點(diǎn)．傳統(tǒng)的供電電池不僅質(zhì)量大，體積大，供能壽命有限，需要定期更換，而且還會(huì)帶來(lái)材料浪費(fèi)，環(huán)境污染等問(wèn)題．目前用于向MEMS供電的振動(dòng)能量采集裝置主要有電磁式、靜電式和壓電式，相對(duì)于其他發(fā)電方式，壓電發(fā)電裝置利用壓電材料的正壓電效應(yīng)將周?chē)h(huán)境中的振動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化成可利用的電能具有明顯優(yōu)勢(shì)［1］，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、綠色環(huán)保、能量密度大、無(wú)電磁干擾，可直接輸出較高電壓，易于加工和實(shí)現(xiàn)微型化、集成化等，因此備受關(guān)注［2］．

壓電發(fā)電裝置的核心元件是壓電振子，雙晶或單晶懸臂梁是壓電振子常用的結(jié)構(gòu)形式［3］．壓電振子的工作模式可分為d31和d33兩種，其中d31模式下壓電振子的諧振頻率較低，更符合懸臂梁壓電發(fā)電裝置低頻的工作環(huán)境要求［4］．

Sodano HA等［5］針對(duì)無(wú)附加質(zhì)量的壓電雙晶懸臂梁，建立了機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)和電學(xué)模型，并利用數(shù)值方法和實(shí)驗(yàn)方法對(duì)理論模型進(jìn)行了驗(yàn)證．Roundy S等［6］制備了雙晶懸臂式壓電發(fā)電模型，并在梁的末端添加質(zhì)量塊以降低結(jié)構(gòu)頻率，應(yīng)用等效電路法對(duì)該模型進(jìn)行了建模分析，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)給出了輸出電壓、功率與負(fù)載電阻的關(guān)系．duToit NE［7］應(yīng)用 Hamilton 原理、Rayleigh － Ritz法及壓電元件恒定電場(chǎng)假設(shè)，對(duì)帶集中質(zhì)量的懸臂梁進(jìn)行了建模分析．Jitsaria JA等［8］同樣將雙晶壓電懸臂梁發(fā)電裝置作為研究對(duì)象，分別采用等效電路法、能量法以及Euler－Bernoulli與Timoshenko相結(jié)合的梁理論分析法對(duì)模型進(jìn)行了描述，并通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)對(duì)上述三種方法進(jìn)行了對(duì)比分析．Erturk A等［9］分別對(duì)串、并聯(lián)的雙晶壓電懸臂梁進(jìn)行了理論建模，分別給出了基礎(chǔ)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)下系統(tǒng)的單模態(tài)及多模態(tài)頻響方程，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)予以驗(yàn)證．闞君武等［10］建立了單、雙晶壓電梁發(fā)電能力的仿真分析模型，研究了結(jié)構(gòu)尺寸、激勵(lì)方式及材料性能等對(duì)其發(fā)電能力的影響規(guī)律．袁江波等［11］對(duì)懸臂梁壓電振子進(jìn)行了有限元分析，并對(duì)其發(fā)電性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究．

然而上述文獻(xiàn)中所有壓電材料均假設(shè)為線性材料．事實(shí)上，非線性是壓電材料的本質(zhì)特征，即使在低場(chǎng)下也有明顯的非線性現(xiàn)象［12］．在壓電發(fā)電研究中，壓電材料非線性卻幾乎被忽略［13］．duToit NE［7］研究發(fā)現(xiàn)，共振區(qū)內(nèi)線性模型預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差較大，并預(yù)測(cè)是忽略材料非線性所致．目前在壓電發(fā)電研究中，只有少數(shù)文獻(xiàn)考慮到壓電材料非線性．Stanton SC等［14］考慮壓電材料三次非線性本構(gòu)關(guān)系，通過(guò)理論建模分析了壓電懸臂梁的發(fā)電特性，指出在較大激勵(lì)振幅下，線性結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差較大，說(shuō)明線性結(jié)果的局限性．

本文以帶集中質(zhì)量的單晶懸臂梁壓電發(fā)電系統(tǒng)為研究對(duì)象．考慮非線性壓電效應(yīng)，即電致彈性和電致伸縮效應(yīng)，利用廣義Hamilton原理及Rayleigh－Ritz法建立其機(jī)電耦合模型;通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析了壓電材料非線性及外激勵(lì)條件等對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響．為深入研究材料非線性對(duì)壓電俘能結(jié)構(gòu)發(fā)電性能的影響規(guī)律提供一定的理論依據(jù)．

1 非線性動(dòng)力學(xué)建模

針對(duì)基礎(chǔ)激勵(lì)下具有附加質(zhì)量的單晶懸臂梁壓電振子，考慮其d31工作模式下的振動(dòng)，如圖1示．梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為b，厚為t0，單晶懸臂梁的上層為壓電層(厚度為tp)，下層為彈性金屬結(jié)構(gòu)層(厚度為ts)，極化方向(P方向)沿3方向，x表示軸向坐標(biāo)(沿著梁的長(zhǎng)度方向，即1方向)，y表示縱向坐標(biāo)(沿著梁的厚度方向，即3方向)．

圖1 懸臂式壓電發(fā)電系統(tǒng)模型ig．1 the vibrating model of piezoelectric cantilever with base excitation

對(duì)于彈性金屬梁結(jié)構(gòu)而言，其應(yīng)力－應(yīng)變具有如下線性關(guān)系:

其中為剛度系數(shù)矩陣，T1及S1表示沿梁長(zhǎng)度方向的應(yīng)力、應(yīng)變．

考慮非線性壓電效應(yīng)，壓電材料的非線性本構(gòu)關(guān)系可以表示為［15］

式中，E3和D3表示沿梁厚度方向的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移為剛度系數(shù)，e31為壓電系數(shù)，為介電常數(shù)為二次非線性剛度系數(shù)，γ113為電致彈性系數(shù)，β133為電致伸縮系數(shù)．ν333為二次非線性介電常數(shù)．

基礎(chǔ)激勵(lì)下，壓電懸臂梁存在機(jī)械能和電能的轉(zhuǎn)換，適于機(jī)電耦合系統(tǒng)的廣義Hamilton變分原理［7］

其中，Tk為系統(tǒng)動(dòng)能，U為系統(tǒng)勢(shì)能，We為壓電陶瓷的電能，δW為外力做功的變分．

考慮梁的一階模態(tài)，并將壓電元件上下表面兩金屬電極看作一個(gè)電極對(duì)，應(yīng)用Rayleigh－Ritz法，Euler－Bernoulli梁理論及壓電元件恒定電場(chǎng)假設(shè)

其中，u(x，t)為梁的橫向相對(duì)位移，Ψr(x)表示懸臂梁的一階彎曲模態(tài)振型函數(shù)，r(t)表示梁橫向振動(dòng)位移模態(tài)坐標(biāo)，Ψv(x)表示電勢(shì)分布函數(shù)，v(t)表示廣義電壓模態(tài)坐標(biāo)．

從而得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

其中，M和K分別是層合梁振子的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度，θ和Cp分別是機(jī)電耦合系數(shù)和壓電元件的電容，N1、N2及N3是方程非線性項(xiàng)的系數(shù)，Bf為外部激勵(lì)項(xiàng)系數(shù)．

設(shè)外加基礎(chǔ)激勵(lì)w¨B=ZecosΩet)，并假設(shè)負(fù)載電阻為純電阻RL，于是(7)、(8)兩式可化為

其中ω1為一階固有頻率，ζm為阻尼比，且

對(duì)上述動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行無(wú)量綱化處理，定義特征時(shí)間、特征長(zhǎng)度、特征電壓分別為

代入(9)、(10)得到無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程:

引入無(wú)量綱小參數(shù)ε，令

方程(13)、(14)又可進(jìn)一步化為

2 壓電層合梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)值分析

采用四、五階Runge－Kutta法對(duì)無(wú)量綱后的方程進(jìn)行數(shù)值模擬，分析懸臂式壓電發(fā)電系統(tǒng)在不同基礎(chǔ)激勵(lì)及初始條件下的響應(yīng)特性．

取方程各參數(shù) ε =0．1，κ =0．1，ζm=1，α1=1，α2=1，α3=0．1，α4=3．2，α5=1，f=2．5，σ = － 4，初始條件為(x(0)，x(0)，u(0)，u(0))=(0，0，0，0)，計(jì)算得到原系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的時(shí)間歷程圖和相圖，如圖2所示．

圖2 系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖(a)和相圖(b)Fig．2 time history(a)and Phase trajectory(b)

若(x(0)，x(0)，u(0)，u(0))=(1，0．5，0，0)，得到原系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的時(shí)間歷程圖和相圖，如圖3所示．

圖3 系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖(a)和相圖(b)Fig．3 time history(a)and Phase trajectory(b)

從圖2、圖3可以看出，在相同的系統(tǒng)參數(shù)和外激勵(lì)(σ=－4)下，不同的初始條件對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)不同．圖2中的系統(tǒng)響應(yīng)x穩(wěn)定在振幅為0．366的極限環(huán)上;圖3中的系統(tǒng)響應(yīng)x穩(wěn)定在振幅為1．137的極限環(huán)上，分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)有兩個(gè)穩(wěn)定響應(yīng)解．由此可以看出，多解支的真正實(shí)現(xiàn)與系統(tǒng)的初始條件有關(guān)．

圖4 系統(tǒng)主共振的跳躍現(xiàn)象Fig．4 the jumping phenomenon of the primary resonance

為了進(jìn)一步搞清系統(tǒng)響應(yīng)的多解、跳躍現(xiàn)象以及不同解支的穩(wěn)定性，通過(guò)數(shù)值的方法對(duì)原方程分別進(jìn)行升、降頻掃描模擬，如圖4所示．從該圖可以看出，升頻掃描下系統(tǒng)響應(yīng)在σ=－3．737時(shí)向上跳躍;降頻掃描下則在σ=－6．162處向下跳躍．在－3．737到－6．162區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)多解現(xiàn)象，上下兩個(gè)解支對(duì)應(yīng)兩個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)，對(duì)于該區(qū)間內(nèi)的某一固定σ而言，響應(yīng)解落在上解支還是下解支取決于初始條件的選?。?/p>

圖5給出了對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)，即不考慮材料非線性影響時(shí)(α1=α2=α4=α5=0)系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)曲線．對(duì)比可以看出，由于壓電材料非線性的影響，系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)了共振峰偏移以及共振點(diǎn)附近的多解和跳躍現(xiàn)象，同時(shí)共振頻帶也明顯拓寬．

圖5 對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)Fig．5 the amplitude － frequency response of the primary resonance for α1= α2= α4= α5=0

圖6給出系統(tǒng)響應(yīng)隨非線性剛度系數(shù)α4的變化曲線．當(dāng)α4=0時(shí)，沒(méi)有跳躍現(xiàn)象;當(dāng)α4不為0時(shí)，則發(fā)生跳躍現(xiàn)象，即響應(yīng)在某一確定激勵(lì)頻率下存在多解;隨著α4的增大，近似解的共振峰向左偏移增大，呈現(xiàn)軟特性的非線性性質(zhì)，共振區(qū)對(duì)應(yīng)頻率減?。?/p>

圖6 α4變化時(shí)穩(wěn)態(tài)主共振的幅頻響應(yīng)曲線Fig．6 the amplitude－ frequency response of the primary resonance with different α4

3 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證上述的分析結(jié)果，建立懸臂式壓電發(fā)電實(shí)驗(yàn)裝置，如圖7所示．主要參數(shù)值見(jiàn)表1．

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig．7 Experimental setup

表1 壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Geometrical parameters of piezoelectric cantilever

實(shí)驗(yàn)裝置主要包括PolytecPSV－400激光測(cè)振儀、YE5871功率放大器、激振器、INV306DF智能信號(hào)采集處理分析儀等．激光測(cè)振儀內(nèi)置信號(hào)發(fā)生器，可輸出掃頻信號(hào)以及頻率、幅值可調(diào)的正弦信號(hào)．激勵(lì)信號(hào)經(jīng)功率放大器對(duì)激振器進(jìn)行振動(dòng)控制，并采用加速度傳感器測(cè)得激勵(lì)幅值的大小，為懸臂式壓電發(fā)電裝置提供激勵(lì)源．利用激光測(cè)振儀獲得梁的振動(dòng)響應(yīng)，同時(shí)利用數(shù)據(jù)采集器采集電壓響應(yīng)數(shù)據(jù)．

選取外激勵(lì)幅值為 1．5g(g=9．8m/s2)，頻率為8．2Hz測(cè)得壓電發(fā)生裝置的響應(yīng)特性如圖8所示，系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng)．不改變激勵(lì)的幅值，逐漸增大激勵(lì)頻率，測(cè)量系統(tǒng)在不同激勵(lì)頻率下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，如圖9所示．

從圖9可以看出，穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)的峰值有向左偏移的趨勢(shì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性反映出壓電發(fā)電系統(tǒng)的軟非線性特性，與數(shù)值模擬結(jié)果的結(jié)論一致．綜上分析表明，壓電結(jié)構(gòu)固有的材料非線性特性能有效降低結(jié)構(gòu)的共振頻率，這一點(diǎn)更有利于結(jié)構(gòu)適應(yīng)具有寬、低頻特點(diǎn)的環(huán)境振動(dòng)．非線性是壓電材料的固有特性，在對(duì)壓電結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，考慮這一特性有利于優(yōu)化結(jié)構(gòu)工作頻帶與環(huán)境振動(dòng)頻帶的吻合性，從而提高發(fā)電效率．

圖8 時(shí)域圖(a)及相圖(b)Fig．8 time domain graph(a)and phase diagram(b)

圖9 不同激勵(lì)頻率下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)幅值Fig．9 the amplitude－frequency response with different excitation frequency

4 結(jié)論

本文建立了帶有集中質(zhì)量的懸臂式壓電發(fā)電系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型．通過(guò)數(shù)值和實(shí)驗(yàn)研究了不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)及外激勵(lì)參數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)特性．結(jié)果表明，壓電結(jié)構(gòu)主共振狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)具有較大的振動(dòng)幅值，可從外界提取更多的能量．此時(shí)壓電材料固有的非線性特性對(duì)結(jié)構(gòu)主共振響應(yīng)的影響較為突出．系統(tǒng)的響應(yīng)共振峰向左偏移，對(duì)應(yīng)外激勵(lì)頻率小于系統(tǒng)的固有頻率．當(dāng)外激勵(lì)頻率變化時(shí)響應(yīng)振幅發(fā)生跳躍現(xiàn)象，響應(yīng)解的真正實(shí)現(xiàn)取決于解的穩(wěn)定性條件及初始條件的選?。?/p>

本文結(jié)論為研究壓電懸臂式發(fā)電系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)機(jī)理奠定了一定的基礎(chǔ)，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中參數(shù)的選擇及發(fā)電性能的優(yōu)化提供一定的理論依據(jù)．

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11172199)and the Key Project of Tianjin Municipal Natural Science Foundation(11JCZDJC25400)

? Corresponding author E－mail:sqcao@tju．edu．cn

NONLINEAR MODELING AND ANALYSIS OF PIEZOELECTIC CANTILEVER ENERGY HARVESTER*

Guo Kangkang1，2Cao Shuqian1，2?
(1．School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin300072，China)(2．Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control，Tianjin300072，China)

The electromechanical coupling model of cantilevered piezoelectric harvester was developed by considering the nonlinearities of piezoelectric material，based on Hamilton theory，Rayleigh－Ritz method，Euler－Bernoulli beam theory and constant electrical field across the piezoelectric element．The response characteristics of the system were investigated numerically，and the influences of piezoelectric material nonlinear coefficient on the system response were analyzed．By exploring the nonlinear characteristics of the piezoelectric vibrator near the resonant frequency，the nature of the multi－solutions and jump phenomena in the resonance region was revealed．The results were verified experimentally．which provides a theoretical basis for the study of nonlinear mechanism of piezoelectric power generation system．

piezoelectric cantilever for power generation， nonlinearity， primary resonance， jump phenomena

2 June 2013，

1 October 2013．

10．6052/1672－6553－2013－068

2013－06－02 收到第 1 稿，2013－10－01 收到修改稿．

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172199)和天津市自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(11JCZDJC25400)

E－mail:sqcao@tju．edu．cn