劉燕 張偉 王冬梅，3

(1．北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124)(2．西華師范大學(xué)物電學(xué)院，南充 637002)(3．山東濟(jì)寧學(xué)院數(shù)學(xué)系，曲阜 273155)

可伸縮復(fù)合材料懸臂梁的非線性動(dòng)力學(xué)建模及分析*

劉燕1，2?張偉1王冬梅1，3

(1．北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124)(2．西華師范大學(xué)物電學(xué)院，南充 637002)(3．山東濟(jì)寧學(xué)院數(shù)學(xué)系，曲阜 273155)

首先，根據(jù)Reddy給出的考慮高階剪切效應(yīng)的層合理論，氣動(dòng)彈性活塞理論，利用Hamilton原理，對(duì)考慮采用基于活塞理論的一階非線性氣動(dòng)力和面內(nèi)參數(shù)激勵(lì)的聯(lián)合作用下的軸向可伸縮復(fù)合材料懸臂梁進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行建模，得到其偏微分動(dòng)力學(xué)控制方程．然后對(duì)控制方程無量綱化，利用Galerkin方法對(duì)控制方程進(jìn)行了截?cái)?，得到三個(gè)可反映可伸縮懸臂梁橫向振動(dòng)的無量綱形式的常微分非線性動(dòng)力學(xué)方程，只要選取適合的復(fù)合材料及其相關(guān)參數(shù)，使用數(shù)值方法就對(duì)模型在外伸和回收過程中的相關(guān)振動(dòng)特性進(jìn)行了分析．

可伸縮梁， 復(fù)合材料懸臂梁， 高階剪切理論， 一階活塞理論， 非線性動(dòng)力學(xué)

引言

軸向可伸縮機(jī)翼是可變體機(jī)翼中的一種，它通過變展弦比來實(shí)現(xiàn)機(jī)翼變形以適應(yīng)不同的飛行環(huán)境．和傳統(tǒng)機(jī)翼相比，可以進(jìn)行光滑無縫變形的軸向可伸縮機(jī)翼機(jī)具有以下優(yōu)點(diǎn):

1)、更大限度的提升飛行包絡(luò)線，更好的適應(yīng)具體的飛行環(huán)境．

2)、變形的靈活性及變形的可控制性，可使飛行器的飛行性能獲得最大限度的提升．

3)、可以降低飛行阻力，提高飛行距離．

但是，人們尚未對(duì)軸向可伸縮機(jī)翼伸縮過程中的動(dòng)力學(xué)特性完全清楚．一方面，機(jī)構(gòu)的軸向伸縮運(yùn)動(dòng)極易誘發(fā)其產(chǎn)生橫向振動(dòng)及失穩(wěn)．另一方面，系統(tǒng)常處于高速的工作環(huán)境中，在外界擾動(dòng)下將不可避免的帶來非線性振動(dòng)問題．因此，在軸向可伸縮機(jī)翼設(shè)計(jì)過程中，考慮并分析其伸縮過程的結(jié)構(gòu)非線性以及空氣動(dòng)力的非線性特性對(duì)機(jī)翼振動(dòng)的影響在工程應(yīng)用中具有非常重要的價(jià)值．

由于軸向可伸縮機(jī)翼所具有的優(yōu)勢(shì)，近年來，軸向可伸縮機(jī)翼的研究受到越來越多學(xué)者關(guān)注．前蘇聯(lián)的Bakashaev設(shè)計(jì)了一架伸縮翼飛機(jī)［1］，命名為RK．其伸縮部分外伸長(zhǎng)度可達(dá)到未伸展時(shí)翼展長(zhǎng)度的2/3．Gevers飛機(jī)公司申請(qǐng)了一個(gè)伸縮翼的專利［2］．該機(jī)翼的翼展可以改變100%．雷聲公司提出“壓縮機(jī)翼”方案［3］．弗吉尼亞理工大學(xué)(Virginia Tech)設(shè)計(jì)了可變后掠角的伸縮翼飛行器［4］．孫麟、張偉對(duì)可變體機(jī)翼的非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了建模、理論分析與數(shù)值模擬研究［5］．張謙、張偉設(shè)計(jì)、制作了軸向可伸縮機(jī)翼結(jié)構(gòu)，并對(duì)其振動(dòng)情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究［6］．關(guān)于可伸縮翼研究主要集中在對(duì)它進(jìn)行設(shè)計(jì)、制作和試飛．理論研究相對(duì)較少．

在研究中，可伸縮機(jī)翼可簡(jiǎn)化為可伸縮系統(tǒng)進(jìn)行研究，對(duì)于可伸縮系統(tǒng)，一般可簡(jiǎn)化為可伸縮梁模型進(jìn)行研究，Tabarrok等人［7］對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究，推導(dǎo)其動(dòng)力學(xué)方程，得到四個(gè)非線性偏微分方程和一個(gè)代數(shù)方程．1995年，Yuji Matsuzaki等人［8］分別從理論分析和實(shí)驗(yàn)的角度對(duì)懸臂梁的外伸和回收過程中的振動(dòng)進(jìn)行了研究．李山虎等人［9］對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁的獨(dú)立模態(tài)振動(dòng)控制進(jìn)行了研究．王亮等人［10］使用哈密頓原理建立了端部帶主動(dòng)振子和跨內(nèi)含有主動(dòng)控制力的軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁的振動(dòng)方程．

現(xiàn)有的研究，大多只針對(duì)伸出部分進(jìn)行研究．由于可伸縮機(jī)翼結(jié)構(gòu)較一般伸縮系統(tǒng)復(fù)雜，外伸部分也會(huì)對(duì)固定部分的振動(dòng)產(chǎn)生影響，同時(shí)，目前機(jī)翼的選材上，也大多使用復(fù)合材料．因而，針對(duì)可伸縮機(jī)翼，本文將以其視為實(shí)際工程背景，以在一定速度下運(yùn)動(dòng)的復(fù)合材料懸臂梁作為其力學(xué)模型，利用Hamilton原理，運(yùn)用Galerkin方法即可得到該模型常微分形式的非線性動(dòng)力學(xué)方程，然后只要選取適合的復(fù)合材料及其相關(guān)參數(shù)，使用數(shù)值方法就可對(duì)模型的在外伸和收縮時(shí)的相關(guān)特性進(jìn)行分析．

1 可伸縮復(fù)合材料懸臂梁動(dòng)力學(xué)方程的建立

圖1所示為一矩形截面復(fù)合材料層合梁，該梁左側(cè)固定，右端自由．梁的初始長(zhǎng)度為l0，總厚度為h，u0(x(t)，t)為梁中面沿x軸正方向的位移，w0(x(t)，t)為梁的中面橫向位移，即沿z軸正方向位移，梁的瞬時(shí)長(zhǎng)度l(t)為

圖1 懸臂梁模型Fig．1 The model of cantilever beam

考慮模型做大變形振動(dòng)，利用Reddy的高階剪切變形理論，幾何方程為

在圖一所建坐標(biāo)系下，該層合梁上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示如下:

x，z是梁上任意一點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系下的表示．

應(yīng)變與位移關(guān)系考慮為幾何非線性

根據(jù)Hamilton原理，得到系統(tǒng)廣義力形式動(dòng)力學(xué)方程:

根據(jù)系統(tǒng)中廣義力和廣義位移的關(guān)系，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)廣義位移形式的偏微分動(dòng)力學(xué)方程可表示為

將(5a)式求解可得

代入(5c)，同時(shí)綜合(5b)可得

引入以下無量剛變量

將無量綱變量代入(6)式，可得無量綱形式的動(dòng)力學(xué)方程如下:

2 Galerkin離散

為了后續(xù)研究和分析，需要將偏微分方程(7)離散為常微分方程，在這里直接使用Galerkin原理將(7)進(jìn)行離散．設(shè)橫向位移的模態(tài)函數(shù)為

轉(zhuǎn)角φx的模態(tài)函數(shù)為

λn則是由超越方程1+coshλncosλn=0的根給出的長(zhǎng)期項(xiàng)

設(shè)軸向外伸梁橫向位移的形式

轉(zhuǎn)角φx的表達(dá)形式為

對(duì)(8a)做一階Galerkin截?cái)?，?duì)(8b)做二階Galerkin截?cái)?，利用三角函?shù)的正交性，得到常微分形式的非線性動(dòng)力學(xué)方程為

3 結(jié)果分析

取初始長(zhǎng)度 l0=2m，寬 b=0．2m，厚 h=0．001m，飛行速度Vair=865m/s，阻尼系數(shù)c=300N·s/m的等直截面復(fù)合材料層合梁進(jìn)行研究，對(duì)應(yīng)無量綱初始條件選取如下

對(duì)應(yīng)拉伸彈性模量，剪切彈性模量及密度給出如下

其中 ρ(1)，ρ(2)和 ρ(3)代表層合梁上，中，下三層材料的密度，代表機(jī)翼上，中，下三層材料的拉伸彈性摸量;，，代表機(jī)翼上、中、下三層材料的簡(jiǎn)切彈性摸量．

3．1 伸縮梁由2米外伸至4米時(shí)端點(diǎn)的振動(dòng)情況

圖2－4表示的是給定相同初速度 v0=0．001m/s，不同加速度時(shí)，機(jī)翼外伸的振動(dòng)圖象，對(duì)應(yīng)的加速度分別為 a1=0．001m/s2，a2=0．002m/s2，a3=0．004m/s2．在圖2－4中，梁端點(diǎn)振動(dòng)的振幅均有增大的趨勢(shì)，并且加速度越大，振動(dòng)的振幅越大．

3．2 伸縮梁由4米回收至2米時(shí)端點(diǎn)的振動(dòng)情況

在梁回收過程中，給定相同初速度v0=－0．2m/s，不同減加速度 a1=0．001m/s2，a2=0．002m/s2，a3=0．003m/s2以后，通過數(shù)值模擬可得梁端點(diǎn)的振動(dòng)情況，分別由圖5－7表示．由圖5－7可以看出，梁端點(diǎn)的振幅在整體上呈下降趨勢(shì)，將圖5－7進(jìn)一步對(duì)比得出梁在回收過程中，減加速度越大，回收速度減小得越快，機(jī)翼的振幅也衰減得越快．

圖2 機(jī)翼端點(diǎn)的波形圖Fig．2 The tip waveform of the wing

圖3 機(jī)翼端點(diǎn)的波形圖Fig．3 The tip waveform of the wing

圖4 機(jī)翼端點(diǎn)的波形圖Fig．4 The tip waveform of the wing

圖5 機(jī)翼端點(diǎn)的波形圖Fig．5 The tip waveform of the wing

圖6 機(jī)翼端點(diǎn)的波形圖Fig．6 The tip waveform of the wing

圖7 機(jī)翼端點(diǎn)的波形圖Fig．7 The tip waveform of the wing

4 結(jié)論

本文以可伸縮機(jī)翼為實(shí)際工程背景，以在一定速度下運(yùn)動(dòng)的復(fù)合材料懸臂梁作為其力學(xué)模型，建模中考慮高階剪切效應(yīng)的層合理論，氣動(dòng)彈性活塞力的影響，引入Hamilton原理對(duì)可伸縮機(jī)翼進(jìn)行建模，得到其非線性運(yùn)動(dòng)控制方程，為了進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行數(shù)值分析并盡量保證結(jié)果的完整性，運(yùn)用Galerkin方法分別對(duì)關(guān)于轉(zhuǎn)角的控制方程做一階Galerkin截?cái)嗪完P(guān)于橫向位移的控制方程進(jìn)行了二階離散，得到常微分形式的非線性動(dòng)力學(xué)方程．然后通過數(shù)值模擬得到以下結(jié)論:

1)、在梁加速外伸過程中，端點(diǎn)的振幅越來越大，梁的外伸速度對(duì)振動(dòng)的影響較大，外伸速度越大，對(duì)機(jī)翼振動(dòng)的影響越大;

2)、在梁減速回收過程中，端點(diǎn)的振幅越來越小，梁的回收速度對(duì)振動(dòng)的影響較大，回收速度越大，對(duì)機(jī)翼振動(dòng)的影響越大．

1 Tabarrok B，Leech C M，Kim Y I．On the dynamics of an axially moving beam．Journal of the Franklin Institute，1974，297:201 ～220

2 Gevers D E．Multi－purpose aircraft．US Patent 1998，5:850～990

3 Andersen G R，Cowan D L，Piatak D J．Aeroelastic modeling，analysis and testing of a morphing wing structure．48th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures，Structural Dynamics，and Materials Conference， Honolulu， Hawaii，2007:359～373

4 Arrison L，Birocco K，Gaylord C，et al．2002－2003 AE/ME morphing wing design．Virginia Tech Aerospace Engineering Senior Design Project Spring Semester Final Report，2003:1 ～89

5 Sun L，Zhang W，Cao D X，Yao M H．Dynamcial behaviour of telescoping wing in supersonic airflow．In:The Third International Conference on Dynamics，Vibration and Control，Hangzhou，2010

6 Zhang W，Chen J E，Cao D X，Zhang Q．Experimental investigation on principal parametric resonance of prebuckling flexible cantilever beam with square section．ASME 2011 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference，Washington，2011

7 Tabarrok B，Leech C M，Kim Y I．On the dynamics of an axially moving beam．Journal of the Franklin Institute，1974，297:201 ～220

8 Matsuzaki Y，Taki Y，Toyama M．Vibration of a cantilevered beam during deployment and retrieval:analysis and experiment．Smart Materials and Structures，1995，4:334 ～339

9 李山虎，楊靖波，黃清華，陳德成．軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁的獨(dú)立模態(tài)振動(dòng)控制－I近似理論分析．應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2002，19(1):35～39(Li S L，Yang J B，Huang Q H，Chen D C．Independent Model Space Vibration Control of An Axially Moving Cantilever Beam－Part I:Theoretical A－nalysis of Approximation．Chinese Journal of Applied Mechanics，2002，19(1):35～39(in Chinese))

10 王亮，陳懷海，賀旭東，游偉倩，軸向運(yùn)動(dòng)變長(zhǎng)度懸臂梁的振動(dòng)控制，振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2009，22(6):565～570(Wang L，Chen H H，He X D，You W Q．Vibration control of an axially moving cantilever beam with varying length．Journal of Vibration Engineering，2009，22(6):565～570(in Chinese))

*The project supported by the National Natural Science Foundation Key Program of China(10732020)and the National Natural Science Foundation of China(11072008)

? Corresponding author E－mail:liuliuyanyan2004@163．com

NONLINEAR DYNAMICS MODELING AND NUMERICAL ANALYSIS OF TELESCOPING-AND-TRANSLATING COMPOSITE LAMINATED CANTILEVER BEAM*

Liu Yan1，2?Zhang Wei1Wang Dongmei1，3
(1．College of Mechanical Engineering，Beijing University of Technology，Beijing100124，China)(2．Department of Physics and Electronic Information，China West Normal University Nanchong，Nanchong637002，China)(3．Department of Mathematics Jining University Qufu，Shandong273155，China)

Firstly，based on the Reddy higher－order shear deformation theory and the pneumatic elastic piston theory，the nonlinear governing equations of motion for an axially moving cantilever beam were established by using the generalized Hamilton’s principle，and the first order nonlinear aerodynamic force and parametric excitation in－plane were obtained．After introducing dimensionless variables and parameters，the nonlinear governing equations became dimensionless equations．At last，according to Galerkin’s approach，the governing equations of motion were simplified to three ordinary differential nonlinear dynamic equations．As long as the suitable composite material and relevant parameters are given，the relevant vibration characters of the modeling during deployment and retrieval can be analyzed by using numerical method．

telescoping－and－translating beam， composite material laminated beam， higher－order shear deformation theory， pneumatic elastic piston theory， nonlinear dynamic

9 October 2012，

22 October 2012．

10．6052/1672－6553－2013－115

2012－10－09 收到第 1 稿，2012－10－22 收到修改稿．

*國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(10732020)和國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11072008)

E－mail:liuliuyanyan2004@163．com