鄒靈果

(廈門海洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 廈門 361009)

0 引言

近年來，研究非線性方程的方法已趨于成熟，許多學(xué)者利用各種方法在研究一些典型的非線性方程中，得到了一些很有意義的解。其中行波解是非線性偏微分方程非常重要的一類解，并已經(jīng)發(fā)現(xiàn)很多典型的非線性偏微分方程有豐富的行波解。例如，著名的KdV方程：ut-6uux+uuxxx=0[1]有光滑的孤立波解；CH方程：ut-uuxxt+3uux=2uxuxx+uuxx[2]有孤立尖波解等行波解；Fornberg-Whitham方程：ut-uxxt+ux=uuxx-uux+3uxuxx[3]在一定條件下會出現(xiàn)爆破的行波解。除此之外像Burgers方程、Sine-Gordon方程、KP方程等都有豐富的行波解。像輔助方程法[4](代數(shù)方法)，廣義橢圓方程法[5]，F(xiàn)-展開法[6]，和平面動力系統(tǒng)分支理論[7]都被運用到研究非線性偏微分方程領(lǐng)域中。這四種數(shù)學(xué)方法一直都是非線性分析很好的工具。本文利用W.Rui提出的一種改進(jìn)的方法[8]——積分分支法來求解非線性偏微分方程。這種改進(jìn)的方法不像分支理論那樣需要涉及復(fù)雜的相圖分析，它很容易就能夠滿足。為積分分支法在解非線性偏微分方程的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

1 非線性偏微分方程的積分分支法

1.1積分分支法的概述

對一個給定的(n+1)維非線性偏微分方程：

E(t，xi，uxi，uxixi，uxixj，utt，…)=0(i，j=1，2，…，n)，

(1)

積分分支法簡單過程如下：

P(ξ，φ，φξ，φξξ，φξξξ)=0

(2)

這里μi(i=1，2，…n)是任意非零常數(shù)。

反復(fù)對(2)積分直到它變成下面的二階非線性常微分方程：

G(φ，φξ，φξξ，φξξξ)=0

(3)

那么進(jìn)行下一步。

(4)

(5)

這里的τ是參數(shù)。如果系統(tǒng)(4)是一個積分系統(tǒng)，那么方程(4)與方程(5)有如下相同的積分：

H(φ，y)=h

(6)

這里是積分常數(shù)。一般情況下，函數(shù)(6)滿足下面關(guān)系：

y=y(φ，h)

(7)

(8)

如果表達(dá)式(7)是一個分式，那么把(7)代入(5)的第一個方程并積分之，得到：

(9)

因為方程(1)的參數(shù)值和方程(6)，(7)中的常數(shù)h是變化的，方程(8)，(9)也是一樣，所以叫這些積分表達(dá)式為積分分支。不同的積分分支相當(dāng)于不同的行波解。以上為積分分支法的全部過程。

1.2積分分支法的改進(jìn)

W.Rui[8]在積分分支法的基礎(chǔ)上結(jié)合Jacobi橢圓函數(shù)積分對積分分支法進(jìn)行了一些改進(jìn)：

由系統(tǒng)(4)得到：

(10)

或者由系統(tǒng)(5)得到：

(11)

根據(jù)A，B，…，C或P，Q，…，R的取值結(jié)合表1、表2得到方程(1)的解。

表1 方程F′2=RF2+QF3+PF4的解

表2 方程F′2=RF2+QF3+PF4的參數(shù)選擇

2 采用積分分支法求CH-γ方程的精確解

2.1對CH-γ方程的約化

首先對CH-γ方程：

ut+c0ux+3uux-α2(uxxt+uuxxx+3uxuxx)+γuxxx=0，

(12)

作變換，令u=φ(ξ)=φ(x-ct)，其中，ξ=x-ct，x為波長，t為時間都是變量，c為波速為待定參數(shù)，

則方程(12)變形為：

(c0-c)φ′+3φφ′-α2(-cφ′′+φφ′′+3φ′φ′′)+γφ′′=0，

(13)

方程(13)兩邊對ξ積分得：

2(c0-c)φ+3φ2+2(α2c+γ-α2φ)φ′′-2α2(φ′)2=0，

(14)

令φ′=y，則(14)變成下面兩個微分系統(tǒng)：

(15)

再令dξ=2(α2c+γ-α2φ)dτ，

(16)

則系統(tǒng)(15)變?yōu)椋?/p>

由(17a)/(17b)得：

其中h為積分常數(shù)。

(21)

結(jié)合(16)，(21)可以變形為：

(22)

2.2求CH-γ方程的精確解

(1)求CH-γ方程的參數(shù)解

情形I：h=0

則方程(22)變形為：

(23)

dξ=D(1+Eφ)dτ。

(24)

(25)

這里τ是參數(shù)，圖1是其波形圖。

圖1 波參數(shù)解(25)波形圖

圖1b參數(shù)條件：α=1，γ=2，c=10，c0=2，ε=-1，τ=[-0.2…0.10609])

類似的結(jié)合表1和方程(24)，得到方程(12)的解如下：

(26)

(27)

圖2是解(27)的波形圖。

圖2 波參數(shù)解(27、33)波形圖

圖2b參數(shù)條件：α=2，γ=3，c=5，c0=5，τ=[-4.5302…4.5])

(28)

圖3是解(28)的波形圖。

圖3 波參數(shù)解(28)波形圖

圖3b參數(shù)條件：α=4，γ=2，c=5，c0=2，ε=-1，τ=[-0.1005…5.3])

(29)

圖4是解(29)的波形圖。

圖4 波參數(shù)解(29)波形圖

圖4b參數(shù)條件：α=2，γ=3，c=1，c0=10，ε=-1，τ=[-2.93…4.8701])

(30)

圖5是解(30)的紐子波與反扭子波的波形圖。

圖5 波參數(shù)解(30)波形圖

(31)

圖6是解(31)的波形圖。

圖6 波參數(shù)解(31)波形圖

(32)

(33)

解(33)是孤立波解，圖2是其波形圖。

情形Ⅱ：h≠0

(34)

φ(τ)=sn(τ，r)，

(35)

圖7b參數(shù)條件：r=0.99，c0=5，γ=-0.8126146357，τ=[-29.52…23.45]

圖7 波參數(shù)解(36)波形圖

把方程(35)代入方程(26)，兩邊積分，可得到方程(12)一個特殊的周期波參數(shù)解：

(36)

圖7是其波形圖。

(37)

圖8是其波形圖。

圖8 波參數(shù)解(37)波形圖

(38)

(39)

(2)求CH-γ方程的顯式解

從方程(20)，定義

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

把方程(44)分離變量兩邊積分得：

(45)

(46)

3 結(jié)論

本文采用積分分支法結(jié)合Jacobi橢圓函數(shù)積分在不同的參數(shù)條件下得出了方程(12)的多種參數(shù)行波解和一種顯示解，包括紐子波解、反紐子波解、周期波解、孤立波解等行波解，并與原文獻(xiàn)相比出現(xiàn)了一些新的結(jié)果。