李曉青, 趙亞衛(wèi), 李新波, 單澤彪, 楊志剛, 石要武(吉林大學 . 通信工程學院; . 機械工程與科學學院, 長春 130022)

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均勻圓型聲矢量陣的四元數(shù)二維波達方向估計

李曉青a, 趙亞衛(wèi)b, 李新波a, 單澤彪a, 楊志剛b, 石要武a
(吉林大學 a. 通信工程學院; b. 機械工程與科學學院, 長春 130022)

為提高聲場空域中目標參數(shù)估計的精度, 將四元數(shù)理論應用于均勻圓型聲矢量陣列的二維空間角度估計中, 建立了基于四元數(shù)模型的信號接收模型, 推導了圓型聲矢量陣的四元數(shù)導向矢量, 給出了二維波達角估計的四元數(shù)域空間譜算法。考慮算法的軟硬件可實現(xiàn)性, 理論分析了算法的內存占用空間和計算量。此外, 分析了圓陣半徑對側向性能的影響, 為實際工作中圓陣的半徑選取提供了一定的依據(jù)。仿真結果表明, 基于四元數(shù)模型的MUSIC(Multiple Signal Classification)算法的分辨力較高, 抗干擾能力較強, 提高了信號參數(shù)估計的精度。

波達估計; MUSIC算法; 四元數(shù); 均勻圓陣; 聲矢量傳感器

0 引 言

聲矢量傳感器作為一種新型的水聲測量設備, 其應用領域廣泛, 加之其所特有的輸出特性, 使聲矢量傳感器信號處理技術成為水聲界備受關注的研究之一[1]。聲矢量傳感器的很多優(yōu)點不僅在于它的多維輸出特性, 還在于其輸出分量之間的內在關系。已有的聲矢量傳感器陣列信號處理方法都是基于長矢量模型, 沒有考慮矢量傳感器內部各個天線分量的垂直關系, 而是簡單地將所有分量的輸出數(shù)據(jù)排成一個列向量, 以矩陣的形式對觀測數(shù)據(jù)進行處理。因此, 破壞了各分量輸出數(shù)據(jù)所具有的矢量垂直關系, 沒有利用各輸出分量之間內在的關聯(lián)性, 有一定的局限性[2]?？梢? 有效利用傳感器各分量間的關聯(lián)性仍是個有待深入研究的問題。

長矢量模型沒有考慮傳感器輸出分量之間的關聯(lián)關系, 而四元數(shù)模型能很好地體現(xiàn)這一點。四元數(shù)所特有的四維超復數(shù)正交結構能保證矢量傳感器輸出分量間的正交關系, 為矢量傳感器信號處理提供了一種新思路。隨著四元數(shù)理論的發(fā)展, 四元數(shù)理論在陣列信號處理[3-8]、 圖像處理[9,10]等方面有了很大發(fā)展。研究表明, 四元數(shù)具有較強的正交性約束能力, 用四元數(shù)描述聲矢量傳感器輸出的各個分量, 其抗干擾能力較強, 空間分辨力也更高。

在波達方向估計問題中, 均勻圓形陣列是一種中心對稱陣列, 與其他平面陣相比, 圓陣有很多優(yōu)點, 如分辨率與方向無關, 方向圖在陣列平面旋轉時, 波束的形狀不會有明顯的改變, 可同時估計方位角與俯仰角等[11,12]。由于圓陣的特性, 使基于圓陣的陣列研究成為研究者關注的一個熱點。

針對以上問題, 筆者研究了基于均勻圓陣型的聲矢量傳感器二維DOA(Direction of Arrival)估計問題, 提出的四元數(shù)MUSIC方法利用輸出分量間的正交關系, 有效實現(xiàn)了陣列接收信號的波達參數(shù)估計。此外, 四元數(shù)模型還能有效地降低計算量與存儲空間。

1 四元數(shù)

Hamilton于1843年提出了四元數(shù)的概念[13], 它由1個實部和3個虛部構成, 并且3個虛部間滿足一定的轉換關系。四元數(shù)的表示形式如下

虛部間的轉換關系為

四元數(shù)的全體稱為四元數(shù)集, 記為H。四元數(shù)的運算法則及性質與復數(shù)類似, 但四元數(shù)的乘法不滿足交換律。由式(1)可看出, 四元數(shù)的數(shù)據(jù)表達形式更“緊湊”, 一個四元數(shù)包含4個分量, 使其能在一個運算中包含更多信息。

2 均勻圓陣四元數(shù)模型

圖1 圓陣型聲矢量傳感器陣列分布Fig.1 Distribution of circular acoustic vector sensor array

均勻圓陣采用中心原點處存在陣元的形式,如圖1所示。其中一個陣元位于圓陣的圓心(坐標原點)處, 其余的M個陣元均勻地分布于一個半徑為R的圓周上, 從X正半軸的陣元開始沿逆時針方向依次標記為陣元1,…,M, 則坐標表示為{Rcos(mφ),Rsin(mφ),0}, 其中m=1,…,M,φ=2π/M為圓周上相鄰兩個陣元的間隔角。

忽略噪聲影響, 在t時刻, 第n個聲源在第m個陣元上產生的輸出用四元數(shù)表示為

式(4)與文獻[3,4,5,14]等描述的陣列輸出四元數(shù)模型是一致的, 但已有的四元數(shù)模型沒有考慮陣列導向矢量的四元數(shù)特性, 故筆者重點分析了圓陣陣元相位差及導向矢量的四元數(shù)形式。設位于坐標原點的陣元為參考陣元, 記為第0個陣元, 第m個陣元在坐標系中的坐標為{Rcos(mφ),Rsin(mφ),0}, 第n個聲源作用在第m個陣元相對于參考陣元的波程差表示為四元數(shù)形式為

則

按照歐拉公式展開, 可得

則第n個聲源的圓陣導向矢量可表示為四元數(shù)形式

聲矢量傳感器陣列的四元數(shù)導向矢量矩陣為

陣列的四元數(shù)輸出為

3 Q-MUSIC方位譜估計

將式(3)代入式(4), 有

其中

定義一種新的導向矢量

可見,b(Θn)為四元數(shù)矢量。式(9)可表示為

接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

對式(14)中的R進行四元數(shù)奇異值分解, 可得

其中四元數(shù)矩陣U1∈Q(M+1)×N,G=Q(M+1)(M+1-N), 分別為由N個大特征值對應的特征矢量構成的信號子空間和由剩余的M+1-N個特征值對應的特征矢量構成的噪聲子空間。

定義噪聲投影矩陣ΠN=GGH∈QM×M, 則四元數(shù)MUSIC算法的譜估計公式為[7]

4 性能分析

參數(shù)估計算法實際的計算量和存儲量受到具體的軟硬件、 實現(xiàn)方法和陣列模型等條件的綜合限制, 因此, 筆者著重分析了所提算法應用在均勻圓陣的存儲空間和計算量問題[14,15]。

4.1 存儲分析

設一個聲源入射到由M個聲矢量傳感器組成的均勻圓型陣列上, 入射信號參數(shù)包括俯仰角和方位角, 陣列的導向矢量為四元數(shù)模型, 不考慮噪聲對計算量的影響, 則在采樣時刻t, 陣列輸出信號的四元數(shù)表達式和對應的協(xié)方差矩陣分別記為Yq(t)和Rq, 接收信號的長矢量表達式和方差矩陣分別記為Yl(t)和Rl。因為Yq(t)∈QM×1,Yl(t)∈C4M×1, 所以

陣列輸出具有如下表達式形式

其中Ai(Θ)為導向矢量矩陣的表示符號。

陣元接收數(shù)據(jù)的有限長度, 設快拍數(shù)為L, 則Rq和Rl的估計值可表示為

4.2 計算量分析

表1給出了四元數(shù)模型與長矢量模型的對比結果, 四元數(shù)模型對存儲器的操作以及計算量均比長矢量模型有減少很多, 尤其在快拍數(shù)很大時, 四元數(shù)模型的這些優(yōu)點使聲矢量傳感器DOA估計算法的具體實施的計算量以及存儲器的操作次數(shù)明顯減少, 當快拍數(shù)很大時, 更為突出。這也體現(xiàn)了四元數(shù)表示方法更“緊湊”這一特點。

表1 四元數(shù)模型與長矢量模型的比較

5 仿真實驗

實驗1 四元數(shù)MUSIC算法對多聲源DOA估計實驗。實驗中, 均勻圓陣列由9個陣元組成, 傳播介質為水； 背景噪聲為零均值的高斯白噪聲； 快拍數(shù)為1 024。兩個待測聲源信號的入射角分別為(30°45°),(50°35°),兩個聲源的載波頻率分別為f1=200 Hz,f2=250 Hz, 聲速為c=340 m/s, 信噪比RSNR=5 dB。為了使兩相鄰陣元的間距為λ/2, 由三角形知識, 圓陣的半徑R滿足R=λ/(4sin(π/8)), 本實驗中R≈0.65λ。

實驗1的仿真結果如圖2和圖3所示。可見, 筆者提出的四元數(shù)MUSIC算法能成功分辨出兩個入射聲源信號的入射角度, 四元數(shù)MUSIC算法仿真圖形的峰值與分辨力都優(yōu)于傳統(tǒng)的V-MUSIC算法。

a 三維圖 b 等高線圖

a 三維圖 b 等高線圖

實驗2 四元數(shù)MUSIC算法在不同信噪比條件下對入射聲源信號DOA估計性能實驗。實驗采用第1個聲源, 信噪比RSNR在-5～10 dB之間變化, 變化步長為1 dB, 進行100次獨立的蒙特卡洛實驗。采用聯(lián)合均方根誤差作為評判準則, 其中聯(lián)合均方根誤差公式如下

筆者提出的四元數(shù)MUSIC算法的估計誤差明顯小于矢量MUSIC算法的估計誤差(見圖4), 并且在信噪比較低時尤為明顯, 這說明四元數(shù)模型在低信噪比的噪聲環(huán)境中抗干擾能力更強。

實驗3 均勻圓陣的四元數(shù)MUSIC算法性能與半徑變化的關系實驗。

本實驗中, 半徑的選擇方法如下： 當兩相鄰陣元的間距為λ時, 對應的半徑滿足R1=λ/(2sin(π/8)) ≈1.31λ。當兩相鄰陣元的間距為λ/2時, 對應的半徑滿足R2≈0.65λ。采用實驗2的實驗條件, 信噪比RSNR取0, 半徑從0.5λ～1.31λ變化, 步長為0.1, 進行100獨立蒙特卡洛實驗, 均方根誤差仍采用式(20)進行評判。

所得結果如圖5所示, 均勻圓陣的半徑變化對四元數(shù)MUSIC算法性能影響較大, 聯(lián)合均方根誤差隨著半徑的增大而減少, 四元數(shù)模型的均方誤差較小, 說明四元數(shù)模型具有較好的抗噪性能。在標量陣列中, 為了保證算法的分辨性能, 往往假設陣元間距不大于處理最高頻率信號波長的二分之一。而在均勻圓矢量陣中, 相鄰兩陣元的間距并不受假設約束。半徑越大, 估計效果越好, 但綜合考慮到偽峰影響等因素, 半徑不能隨意取定。

圖4 均方根誤差實驗Fig.4 RMSE of DOA versus SNR

圖5 半徑與均方根誤差的關系(RSNR=0)Fig.5 Relationship between radius and RMSE

6 結 語

筆者研究了四元數(shù)理論在均勻圓型聲矢量陣的二維波達參數(shù)估計中的應用, 建立了四元數(shù)導向矢量模型和四元數(shù)輸出模型, 并將模型與MUSIC算法結合應用于均勻圓陣型。分析表明, 四元數(shù)模型所需的存儲空間及運算操作明顯減小, 并且仿真結果表明, 與傳統(tǒng)MUSIC算法相比, 筆者提出的Q-MUSIC算法其分辨力較高, 抗干擾能力較強； 此外, 分析了圓陣半徑對算法性能的影響, 均勻圓陣半徑的確定同均勻線陣中的原則不同, 為實際工作中圓陣的半徑選取提供了一定的依據(jù)。

[1]孫貴青, 李啟虎. 聲矢量傳感器研究進展 [J]. 聲學學報, 2004, 29(6)： 481-490. SUN Guiqing, LI Qihu. Research Progress on Acoustic Vector Sensor [J]. Journal of Acoustics, 2004, 29(6): 481-490.

[2]MIRON S, BIHAN N L, MARS J. High Resolution Vector-Sensor Array Processing Based on Biquaternions[C]∥IEEE International Conference on Acoustics Speech and Signal Processing (ICASSP). Toulouse,France: IEEE, 2006(5): 248-251.

[3]何光進, 程錦房, 劉毅. 聲矢量陣方位估計算法及其改進 [J]. 計算機仿真, 2012, 29(7): 162-165. HE Guangjin, CHENG Jinfang, LIU Yi. Azimuth Estimation Algorithm and Its Improvement of Acoustic Vector Array [J]. Computer Simulation, 2012, 29(7): 162-165.

[4]LE BIHAN N, MIRON S, MARS J. MUSIC Algorithm for Vector-Sensors Array Using Biquaternions [J]. Signal Processing, IEEE Transactions on, 2007, 55(9): 4523-4533.

[5]何光進, 程錦房, 張煒. 基于四元數(shù)的聲壓振速聯(lián)合方位估計算法 [J]. 武漢理工大學學報, 2012, 36(4)： 712-716. HE Guangjin, CHENG Jinfang, ZHANG Wei. Sound Pressure and Velocity Joint Estimation Algorithm Based on Quaternion[J]. Journal of Wuhan University of Technology, 2012, 36(4): 712-716.

[6]ZHANG Xiaofei, ZHOU Ming, CHEN Han, et al. Two-Dimensional DOA Estimation for Acoustic Vector Sensor Array Using a Successive MUSIC [J]. Multidimensional Systems and Signal Processing, 2013, 25(3): 583-600.

[7]MIRON S, LE BIHAN N, JI MARS. High Resolution Vector-Sensor Array Processing Using Quaternions [C]∥IEEE Transactions on Signal Processing. [S.l.]: IEEE, 2005: 918-923.

[8]ZHANG Xirui, LIU Wei, XU Yougen, et al. Quaternion-Based Worst Case Constrained Beamformer Based on Electromagnetic Vector-Sensor Arrays [C]∥IEEE International Conference on Acoustics Speech and Signal Processing (ICASSP). [S.l.]: IEEE, 2013: 4149-4153.

[9]朱明, 孫繼剛, 梁偉, 等. 四元數(shù)曲波變換多源多聚焦彩色圖像融合 [J]. 光學精密工程, 2013, 21(10): 2671-2678. ZHU Ming, SUN Jigang, LIANG Wei, et al. Multiple Multifocus Color Image Fusion Using Quarternion Curvelet Transform [J]. Optics and Precision Engineering, 2013, 21(10)： 2671-2678.

[10]高朝邦, 周激流. 基于四元數(shù)分數(shù)階方向微分的圖像增強 [J]. 自動化學報, 2011, 37(2): 150-159. GAO Chaobang, ZHOU Jiliu. Image Enhancement Based on Quaternion Fractional Directional Differentiation [J]. Acta Automatica Sinica, 2011, 37(2): 150-159.

[11]康曉濤, 王志洋, 康博宇, 等. 四元數(shù)在均勻圓形矢量傳感器陣列信號參數(shù)估計中的應用 [J]. 吉林大學學報: 工學版, 2013, 42(增刊): 154-159. KANG Xiaotao, WANG Zhiyang, KANG Boyu, et al. Application of Quaternion Vector Sensor in the Uniform Circular Array Signal Parameter Estimation [J]. Journal of Jilin University: Engineering Science Edition, 2013, 42(S1): 154-159.

[12]陶建武, 石要武, 常文秀. 基于均勻圓陣的信號二維方向角互相關估計 [J]. 電子學報, 2003(6): 875-878. TAO Jianwu, SHI Yaowu, CHANG Wenxiu. Cross-Correlation Estimation of Two-Dimensional Direction Angle Based on Uniform Circular Array Signal [J]. Journal of Electronics, 2003(6): 875-878.

[13]KANTOR I, SOLODOVNIKOV A. Hypercomplex Numbers, an Elementary Introduction to Algebras [M]. New York: Springer-Verlag, 1989.

[14]王友華, 張建秋. 矢量水聽器陣列超復數(shù)模型及在高分辨率波達角估計中的應用 [J]. 復旦大學學報: 自然科學版, 2008, 47(6): 679-684. WANG Youhua, ZHANG Jianqiu. The Hypercomplex Model of Vector Hydrophone Array and Its Application in the Angle of High-Resolution DOA Estimation [J]. Journal of Fudan University: Natural Science Edition, 2008, 47(6): 679-684.

[15]SEBASTION MIRON, NICOLAS LE BIHAN, JEROME I MARS. Quaternion-MUSIC for Vector-Sensor Array Processing [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2006, 54(4): 1218-1229.

(責任編輯： 張潔)

Two-Dimensional DOA Estimation Using Quaternion Based on UCA of Acoustic Vector Sensor

LI Xiaoqinga, ZHAO Yaweib, LI Xinboa, SHAN Zebiaoa, YANG Zhigangb, SHI Yaowua
(a. College of Communication Engineering; b. College of Mechanical Engineering and Science, Jilin University, Changchun 130022, China)

In order to improve the accuracy of target parameter estimation, the quaternion theory was applied to the two-dimensional DOA (Direction of Arrival) estimation of the uniform circular acoustic vector array. Receiving signal model based on the quaternion model was established, quaternion vector was deduced, and a quaternion field spatial spectrum estimation algorithm was presented. Considering software and hardware of algorithm realization, theoretical analyses show that the required storage space and computing operations of the quaternion model significantly decrease, and the simulation results show that the proposed MUSIC (Multiple Signal Classification) algorithm has higher resolution, stronger anti-jamming capability and the improved accuracy of the signal parameter estimation.

direction of arrival (DOA) estimation; multiple signal classification (MUSIC) algorithm; quaternion; uniform circular array (UCA); acoustic vector sensor

1671-5896(2014)05-0451-07

2014-03-28

國家自然科學基金重點資助項目(51075175; 51375207); “863”高技術研究發(fā)展計劃基金資助項目(2011AA040406); 吉林省青年科研基金資助項目(20140520064JH)

李曉青(1989— ), 女, 河北邢臺人, 吉林大學碩士研究生, 主要從事陣列信號處理研究, (Tel)86-13654364163(E-mail)595270@163.com;

李新波(1980— ), 男, 吉林省吉林市人, 吉林大學講師, 主要從事陣列信號處理研究, (Tel)86-13604312160(E-mail)cinple@126.com; 石要武(1954— ), 男, 長春人, 吉林大學教授, 博士生導師, 主要從事信息處理與智能控制研究, (Tel)86-13620781237(E-mail)13620781237@139.com。

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