劉文波，李來鴻

(1. 勝利油田電力管理總公司，山東 東營 257200；2. 勝利油田電力管理總公司 河口供電公司，山東 東營 257200)

自1991年Jacobs[1]提出模塊化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)MNN(Modular Neural Network)以來，MNN已經(jīng)在控制、建模等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。MNN采用“分而治之”的思想，將復(fù)雜問題分解為若干獨(dú)立的子問題，對于每一子問題構(gòu)建相應(yīng)子網(wǎng)絡(luò)。對于給定輸入，MNN只選擇一個子網(wǎng)絡(luò)對其進(jìn)行處理，子網(wǎng)絡(luò)的輸出即為整個網(wǎng)絡(luò)的輸出。“分而治之”的策略有效地降低了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜程度，解決了單一神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在面對復(fù)雜問題時存在的結(jié)構(gòu)設(shè)計困難、學(xué)習(xí)速度慢、泛化性能差等諸多問題。但是，傳統(tǒng)MNN的每個子網(wǎng)絡(luò)只處理獨(dú)立的樣本空間，這使得MNN的子網(wǎng)絡(luò)功能之間出現(xiàn)了明顯的邊界，從而MNN對于邊界輸入的處理精度較低。

針對MNN的缺點(diǎn)，一些學(xué)者提出在MNN中引入集成學(xué)習(xí)的思想[2-5]，理論和實(shí)踐的研究均證明[6]集成學(xué)習(xí)可以有效地提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近精度和泛化能力。2007年，Gao等[4]采用類模塊劃分方法將一個n分類問題分解為n個2分類問題，其中，每個子網(wǎng)絡(luò)除對本網(wǎng)絡(luò)的樣本子空間進(jìn)行訓(xùn)練外，還對相鄰子網(wǎng)絡(luò)樣本子空間的樣本進(jìn)行訓(xùn)練。2009年，Mario[5]也采取了類似的方法解決圖像識別問題。在子網(wǎng)絡(luò)整合中兩者都采用了集成的方法。對于任一給定輸入，與該輸入相鄰的所有子網(wǎng)絡(luò)均參與信息的處理。上述方法在總體“分而治之”的基礎(chǔ)上，通過局部的“集思廣益”，有效地提高了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能。但是，上述方法中MNN的每個子網(wǎng)絡(luò)都對所有相鄰區(qū)域的樣本進(jìn)行訓(xùn)練，這使得每個子網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的樣本空間增大，勢必會增大子網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模。此外，2002年，Zhou等[6]對集成學(xué)習(xí)問題進(jìn)行了研究，提出了“Many could be better than all”的思想，并證明從與輸入相鄰的所有子網(wǎng)絡(luò)選擇部分子網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行集成可以獲得更好的性能。所以，對于一個輸入信息，如何從與輸入相鄰的所有子網(wǎng)絡(luò)選擇部分合適的子網(wǎng)絡(luò)對其進(jìn)行處理，針對各子網(wǎng)絡(luò)的輸出如何進(jìn)行整合仍然是MNN尚未解決的問題。

筆者提出了一種基于距離測度和模糊決策的子網(wǎng)絡(luò)選擇方法，并提出了基于樣本空間重構(gòu)的方法來優(yōu)化子網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)重。上述方法實(shí)現(xiàn)了MNN的在線自適應(yīng)集成。

1 模塊化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

一般的MNN結(jié)構(gòu)如圖1所示。其主要由任務(wù)分解、子網(wǎng)絡(luò)、輸出整合三個部分組成。

圖1 MNN結(jié)構(gòu)示意

離線學(xué)習(xí)時，任務(wù)分解實(shí)質(zhì)是將整個輸入樣本空間按照一定規(guī)則劃分為若干子樣本空間[7](由于樣本集的模糊性，各子樣本空間可以存在一定程度的交疊)。對于在線輸入信息，任務(wù)分解模塊需首先判斷該輸入屬于哪個子樣本空間，然后將輸入信息送入相應(yīng)子樣本空間對應(yīng)的子網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行處理。子網(wǎng)絡(luò)的個數(shù)與子樣本空間個數(shù)相同。

輸出整合是將被選擇進(jìn)行信息處理的子網(wǎng)絡(luò)的輸出進(jìn)行合并。一般MNN的整合采用線性整合方式[4-6，8]，圖1所示的模塊化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的總輸出為

(1)

式中：P——子網(wǎng)絡(luò)個數(shù)；yi——第i個子網(wǎng)絡(luò)(記為NETi)的輸出；wi——NETi的權(quán)重，滿足∑wi=1，且0≤wi≤1，i=1， …，P。

對于在線輸入，傳統(tǒng)的MNN子網(wǎng)絡(luò)選擇方法(記為SM1)只選擇一個子網(wǎng)絡(luò)(假設(shè)為NETs)，對其進(jìn)行處理，即有w=1，wi， i≠s=0。而文獻(xiàn)[4-5]提出的網(wǎng)絡(luò)選擇方法(記為SM2)則選擇所有與輸入相鄰的子網(wǎng)絡(luò)對輸入信息進(jìn)行集成處理，即對于所有與輸入相鄰的子網(wǎng)絡(luò)，有0≤wi≤1，而與輸入不相鄰的子網(wǎng)絡(luò)，wi=0。

實(shí)際上，MNN的子網(wǎng)絡(luò)選擇與輸入點(diǎn)位置有關(guān)。如圖2所示，當(dāng)輸入位于A點(diǎn)時，子網(wǎng)絡(luò)1對輸入進(jìn)行單獨(dú)處理即可取得較好的效果。而當(dāng)輸入位于B，C點(diǎn)時(樣本子空間的交界處)，任何單一子網(wǎng)絡(luò)對該點(diǎn)的處理能力均有限。按照集成學(xué)習(xí)理論，選擇與B，C點(diǎn)臨近的部分子網(wǎng)絡(luò)對其進(jìn)行集成處理可以獲得較好的效果。因此，筆者提出了一種根據(jù)輸入信息位置動態(tài)選擇參與信息處理的子網(wǎng)絡(luò)方法SM3。采用該種方法，每個子網(wǎng)絡(luò)只對相應(yīng)子空間及其某一鄰域的樣本進(jìn)行訓(xùn)練。對于任一輸入信息，SM3的選擇的子網(wǎng)絡(luò)個數(shù)介于SM1和SM2之間，因而該方法可以使MNN具有更強(qiáng)的自適應(yīng)能力。

圖2 樣本分割示意

綜合上述分析，SM3的集成問題主要有兩個： 如何根據(jù)輸入信息動態(tài)選擇參與信息處理的子網(wǎng)絡(luò)；如何確定參與信息處理的子網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重(對于未被選擇的子網(wǎng)絡(luò)，其權(quán)重wi=0)。

2 SM3的動態(tài)集成方法

2.1 子網(wǎng)絡(luò)選擇

子網(wǎng)絡(luò)選擇的實(shí)質(zhì)是針對給定輸入從所有子網(wǎng)絡(luò)中選擇出最適合處理該輸入的子網(wǎng)絡(luò)集合。文獻(xiàn)[4-5]采用局部全集成策略，易導(dǎo)致子網(wǎng)絡(luò)規(guī)模過大。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于距離測度選擇子網(wǎng)絡(luò)的方法。對于給定輸入Xs，計算該輸入與NETi對應(yīng)樣本中心的距離測度di，與輸入距離測度小的子網(wǎng)絡(luò)更適合處理該輸入。其做法是設(shè)定一閾值K，若di≤K，則NETi被選擇，否則，NETi被剔除。文獻(xiàn)[9]提出了一種首先用遺傳算法優(yōu)化權(quán)重，然后剔除對權(quán)重小于某一閾值的子網(wǎng)絡(luò)。相比文獻(xiàn)[4-5]的方法，文獻(xiàn)[8-9]的方法更為靈活，但文獻(xiàn)[8-9]的方法需要憑經(jīng)驗確定閾值K，K值選擇不合理，會引入差的子網(wǎng)絡(luò)或剔除好的子網(wǎng)絡(luò)，從而達(dá)不到通過集成處理提高性能的目的。此外，對于不同的輸入，文獻(xiàn)[8-9]中閾值K是固定的，使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對不同輸入的適應(yīng)能力較差。

針對上述問題，筆者提出了一種基于距離測度和模糊決策的子網(wǎng)絡(luò)選擇方法，該方法不需要確定閾值，并且子網(wǎng)絡(luò)選擇具有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力。

設(shè)V={V1， …，VP}為樣本分類中心，令

di=‖Xs-Vi‖/dai

(2)

其中，

(3)

式中：dai——第i個樣本子空間的樣本平均距離；di——輸入Xs對NETi的相對距離測度；Ni——第i個樣本子集的樣本數(shù)。

顯然，對于輸入Xs，相對距離小的子網(wǎng)絡(luò)應(yīng)首先被選擇。而相對距離大的子網(wǎng)絡(luò)不僅不能提高網(wǎng)絡(luò)性能，反而會降低網(wǎng)絡(luò)精度，因此，網(wǎng)絡(luò)選擇過程實(shí)質(zhì)是保留相對距離小的子網(wǎng)絡(luò)，同時剔除相對距離大的子網(wǎng)絡(luò)。按照這種思想，子網(wǎng)絡(luò)的選擇即轉(zhuǎn)化為輸入對子網(wǎng)絡(luò)的相對距離判別問題。

首先將Xs對所有子網(wǎng)絡(luò)的相對距離測度按照下式進(jìn)行歸一化處理：

(4)

其中，ui∈[0 1]， ∑ui=1。

令相對距離測度的模糊集A={很小(VS)，小(S)，中等(M)，大(B) }。ui對A的模糊隸屬函數(shù)曲線如圖3所示。

圖3 ui的隸屬度曲線(P=4)

ui的大小可以反映輸入Xs與NETi的距離。若ui∈{VS}，則說明Xs距離NETi很近，則子網(wǎng)絡(luò)NETi應(yīng)該被選擇用于處理Xs；若ui∈{B}，則說明Xs距離NETi很遠(yuǎn)，則對于Xs來說子網(wǎng)絡(luò)NETi應(yīng)該被剔除。子網(wǎng)絡(luò)選擇的算法如下：

Step1： 對于輸入Xs，通過式(2)～(4)計算輸入Xs對相應(yīng)子網(wǎng)絡(luò)的ui值。

Step2： 根據(jù)圖3所示的隸屬函數(shù)曲線，計算ui相對于A各模糊子集的隸屬度。

Step3： 通過最大隸屬度法判斷ui屬于哪個模糊子集，然后按照從VS到B的順序選擇屬于同一集合的子網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行集成。

Step3中，首先選擇ui∈{VS}的子網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行集成，其余的子網(wǎng)絡(luò)均被舍棄。若ui∈{VS}的子網(wǎng)絡(luò)不存在，則選擇ui∈{S}的子網(wǎng)絡(luò)，否則選擇ui∈{M}的子網(wǎng)絡(luò)。

設(shè)置隸屬函數(shù)中模糊子集{VS，S，M，B}的中心點(diǎn)分別為1/(4P)， 1/(2P)， 1/P， 2/P，并且滿足：ui<1/(4P)，ui∈{VS}的隸屬度為1；ui> 2/P，ui∈{B}的隸屬度為1。由于∑ui=1，因而所有的ui不會同時滿足ui>1/P，即ui∈{VS，S，M}對應(yīng)的子網(wǎng)絡(luò)不會為空集。由于step3中子網(wǎng)絡(luò)的選擇順序為VS到B，所以ui∈{B}的子網(wǎng)絡(luò)不可能被選擇。

2.2 子網(wǎng)絡(luò)整合權(quán)重的確定

對于輸入Xs，設(shè)被選擇的子網(wǎng)絡(luò)為NETks(k=1， …，m)，m為被選擇的子網(wǎng)絡(luò)個數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的總輸出為

(5)

式中：wk——子網(wǎng)絡(luò)NETks的權(quán)重；yks——NETks對Xs的輸出。權(quán)重確定問題實(shí)質(zhì)上是為被選擇用于信息處理的子網(wǎng)絡(luò)集合選擇一組最佳的值。Zhou等[6，9-10]提出了一種基于遺傳算法的權(quán)重優(yōu)化方法(GASEN)，由于遺傳算法尋優(yōu)速度較慢，因而GASEN方法不適合參數(shù)的在線優(yōu)化。此外，由于Xs為在線輸入，其目標(biāo)值未知，因而很難構(gòu)造遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)。王攀等[8]提出了一種基于距離測度的權(quán)重確定方法，這種方法使得與輸入距離近的網(wǎng)絡(luò)獲得更高的權(quán)重。Sun等[2]提出了一種將輸出誤差倒數(shù)作為權(quán)重的方法。這兩種方法本質(zhì)上屬于一種經(jīng)驗方法，無法保證權(quán)重的最優(yōu)性。針對上述方法的不足，筆者提出了一種基于樣本空間重構(gòu)的權(quán)重優(yōu)化方法。

對于輸入樣本空間，若兩個樣本的距離越近，則這兩個樣本的相似性越強(qiáng)。對于輸入Xs，參與信息處理子網(wǎng)絡(luò)為NETks(k=1， …，m)，則用該子網(wǎng)絡(luò)集合對于Xs的某一微小鄰域的輸入進(jìn)行處理也是合適的。

設(shè)δ為Xs的一個微小的鄰域，其包含的樣本為{X1， …，XK}，相應(yīng)目標(biāo)值為{t1， …，tK}，K為δ鄰域包含的樣本數(shù)，所有樣本均滿足：

‖Xi-Xs‖≤δ。

由于δ很小，因此該K個樣本均可由NETks(k=1， …，m)處理。將δ空間中的樣本輸入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)泛化誤差為

(6)

其中，Yj為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對Xj的輸出：

顯然，權(quán)重向量w的選擇應(yīng)使式(6)最小化。因此，上述問題可以用一個約束優(yōu)化模型描述：

minJ(J=MSE)

(7)

由于δ鄰域中樣本的目標(biāo)值tj是已知的，因而權(quán)重的確定問題轉(zhuǎn)化成一個如式(7)約束優(yōu)化問題，其未知數(shù)為w=[w1， …，wm]T。該問題可以用動態(tài)規(guī)劃的方法求解。

上述方法通過重構(gòu)一個Xs的鄰域δ，通過δ鄰域內(nèi)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的樣本信息將權(quán)重優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成了一個約束優(yōu)化問題。但是，當(dāng)樣本點(diǎn)較為稀疏或δ鄰域過小時，可能會出現(xiàn)K=0的情況(δ鄰域內(nèi)不包含樣本點(diǎn))，此時w不能用式(7)所表示的模型優(yōu)化。出現(xiàn)這種情況時，w可以采用文獻(xiàn)[8]的方法確定。在實(shí)際應(yīng)用中，可以人為給定一個樣本個數(shù)最小值KF，當(dāng)K≤KF時，子網(wǎng)絡(luò)的w由下式確定：

(8)

式(8)賦予與輸入距離小的子網(wǎng)絡(luò)以較大的權(quán)重。

3 仿真實(shí)驗

首先以一維“SinC”函數(shù)(二維Mexican Hat)[9-10]逼近為例對網(wǎng)絡(luò)的逼近能力進(jìn)行研究，“SinC”函數(shù)表達(dá)式為

其中，x∈[-10， 10]，在區(qū)間[-10， 10]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生1000個訓(xùn)練樣本和200個測試樣本，樣本中不含噪聲。取P=5(子網(wǎng)絡(luò)采用BP網(wǎng)絡(luò)，為方便起見，每個子網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)取為相同)，采用Fuzzy C-means技術(shù)將1000個樣本分為10組，各組樣本之間存在一定程度的交疊。分別采用SM1(只選取一個子網(wǎng)絡(luò)參與信息處理)、SM2(選擇與輸入相鄰的所有子網(wǎng)絡(luò)參與信息的處理)、SM3(筆者提出的子網(wǎng)絡(luò)選擇方法及權(quán)重確定方法)、SM4(文獻(xiàn)[8]提出的基于距離測度和閾值選擇子網(wǎng)絡(luò)和確定子網(wǎng)絡(luò)權(quán)重的方法)進(jìn)行逼近性能測試。SM3方法的擬合曲線如圖4所示。

a) 無噪聲

b) 有噪聲

四種網(wǎng)絡(luò)在隱層節(jié)點(diǎn)個數(shù)不同情況下的均方誤差見表1所列。從表1可以看出，在隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)較少的情況下，SM1， SM3， SM4方法的逼近精度高于SM2方法，這是由于SM2方法采用局部全集成策略，每個子網(wǎng)絡(luò)都要對相鄰的樣本子空間實(shí)現(xiàn)映射，子網(wǎng)絡(luò)映射范圍較大。當(dāng)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)較少時(子網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為3)，子網(wǎng)絡(luò)映射能力不足，導(dǎo)致SM2的泛化誤差較大。當(dāng)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)與問題復(fù)雜度匹配時(子網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為4)，SM2的泛化誤差明顯減小。而SM1， SM3， SM4方法需要映射的樣本子空間較小，實(shí)現(xiàn)映射所需要的子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也較SM2簡單，因而在子網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)較少的情況下也可以獲得較高的精度。在訓(xùn)練樣本不含噪聲的情況下，四種方法都可以達(dá)到較高的精度，但SM3在獲得較低的泛化誤差同時，還可以使網(wǎng)絡(luò)保持較為簡單的結(jié)構(gòu)。

表1 網(wǎng)絡(luò)的擬合誤差(無噪聲)

由于實(shí)際數(shù)據(jù)往往含有噪聲，為了測試SM3在噪聲下的泛化能力，在所有訓(xùn)練樣本上附加取值范圍為[-0.2， 0.2]的隨機(jī)噪聲。圖4b)為SM3的擬合曲線。幾種網(wǎng)絡(luò)在隱節(jié)點(diǎn)數(shù)不同情況下的擬合均方誤差見表2所列。

表2 網(wǎng)絡(luò)的擬合誤差(有噪聲)

從表2可見，當(dāng)訓(xùn)練樣本含有噪聲時，SM3的泛化誤差明顯小于SM1，這是由于SM3采用了集成學(xué)習(xí)的思想，降低了噪聲的影響。在子網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)較少的情況下，SM3的泛化誤差明顯小于SM2，與SM4相比，SM3的泛化誤差相當(dāng)，但是SM4方法的閾值需要經(jīng)過多次測試才能得到較好的結(jié)果，而SM3則避免了此困難，因此，在結(jié)構(gòu)的簡單性、泛化能力及參數(shù)選擇難度上，SM3優(yōu)于其余三種方法。

接下來對SM3處理多維信息的能力進(jìn)行測試，首先選擇三維Mexican Hat函數(shù)(二維“SinC”函數(shù))[11]：

仿真結(jié)果如圖5所示：

SM3擬合的均方誤差為5.132E-5，文獻(xiàn)[11]也采用一種基于遺傳算法的集成方法(GPCMNN)對該函數(shù)進(jìn)行了測試，均方誤差為9.613E-5，所以該方法在泛化能力存在一定優(yōu)勢。

a) 擬合曲面

b) 誤差曲面

進(jìn)一步，對Friedman #1， Friedman #2， Plane 3個人工數(shù)據(jù)集進(jìn)行測試(其中前兩個數(shù)據(jù)集輸入為5維，后一個為2維)。3種人工數(shù)據(jù)集的生成方式見文獻(xiàn)[10]，文獻(xiàn)[10]采用了集成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ENN)進(jìn)行測試。采取不同集成方法時神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測試均方誤差見表3所列。由表3可見，模塊化網(wǎng)絡(luò)的均方誤差均比文獻(xiàn)[10]的均方誤差要低，說明MNN“分而治之”的思想在解決復(fù)雜回歸問題方面具有一定的優(yōu)勢。而在3組數(shù)據(jù)集實(shí)驗中，SM3的測試誤差最小，說明本文的子網(wǎng)絡(luò)選擇方法和權(quán)重優(yōu)化方法是有優(yōu)勢的。

表3 網(wǎng)絡(luò)的測試誤差

4 結(jié)束語

在“分而治之”的基礎(chǔ)上，融合了“集思廣益”的思想，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)大幅簡化的同時，提高了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能。對于給定輸入信息，采用模糊決策的方法實(shí)現(xiàn)處理該信息的子網(wǎng)絡(luò)集合的選擇，避免了人為設(shè)定閾值的困難。通過重構(gòu)輸入信息的鄰域樣本空間，將權(quán)重的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個約束優(yōu)化問題，從而可以使用動態(tài)規(guī)劃等多種方法實(shí)現(xiàn)權(quán)重的優(yōu)化。大量的仿真實(shí)驗表明，筆者提出的MNN集成方法在結(jié)構(gòu)的簡單性、泛化能力、參數(shù)選擇的難度等方面與ENN及其他的模塊化網(wǎng)絡(luò)集成方法相比具有一定的優(yōu)勢。

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