李錦華，吳春鵬，陳水生

(華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌 330013)

雷暴天氣會(huì)形成局部強(qiáng)下沉氣流猛烈沖擊地面，產(chǎn)生突發(fā)性、破壞性強(qiáng)風(fēng)即下?lián)舯┝?。所謂下?lián)舯┝?，即能在地面產(chǎn)生17.9 m/s以上輻散風(fēng)的強(qiáng)烈下沉氣流[1]。Chay等[2]從本質(zhì)上詳細(xì)闡述過(guò)下?lián)舯┝黠L(fēng)速的形成方式。在雷暴環(huán)境中尺度較小的微下?lián)舯┝靼l(fā)生頻率較高，在近地面產(chǎn)生的最大風(fēng)速達(dá)75 m/s[3]。破壞性極大，屬近地面災(zāi)害性強(qiáng)風(fēng)。建筑物主體及圍護(hù)結(jié)構(gòu)均會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重?fù)p傷、破壞，甚至垮塌[4-5]。

通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)、實(shí)驗(yàn)?zāi)M、理論分析及數(shù)值仿真等方法對(duì)下?lián)舯┝髡归_(kāi)廣泛研究。對(duì)下?lián)舯┝鲾?shù)次實(shí)測(cè)發(fā)現(xiàn)，下?lián)舯┝黠L(fēng)速場(chǎng)中最大風(fēng)速出現(xiàn)在近地面，而距地面較高處風(fēng)速較小，與傳統(tǒng)大氣邊界層風(fēng)速場(chǎng)分布明顯不同[3]。Holmes等[6]通過(guò)碰撞射流理論研究下?lián)舯┝餍羞M(jìn)過(guò)程中某一固定位置產(chǎn)生的平均風(fēng)速提出隨時(shí)間變化的平均風(fēng)速模型。Wood等[7]通過(guò)下沉氣流的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提出與計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)分析模型吻合的風(fēng)速場(chǎng)平均風(fēng)速模型。Savory等[8]用Holmes模型研究下?lián)舯┝髯饔玫妮旊娝茐?。由于該模型未考慮風(fēng)速場(chǎng)的隨機(jī)波動(dòng)成分，會(huì)低估下?lián)舯┝黠L(fēng)荷載作用的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)。下?lián)舯┝黠L(fēng)速具有較強(qiáng)非平穩(wěn)性。瞿偉廉等[9]將下?lián)舯┝鞣纸鉃榇_定的時(shí)變平均風(fēng)速與調(diào)制的非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速進(jìn)行數(shù)值模擬研究。李春祥等[10]采用Deodatis的均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)模擬方法模擬下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速。張文福等[11]通過(guò)時(shí)變函數(shù)均勻調(diào)制基于AR模型的平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速生成具有空間相關(guān)性的下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速。據(jù)進(jìn)化譜理論[12]，非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速模擬應(yīng)通過(guò)與時(shí)間頻率有關(guān)的非均勻調(diào)制函數(shù)對(duì)功率譜進(jìn)行調(diào)制獲得非平穩(wěn)風(fēng)速的時(shí)變功率譜即進(jìn)化譜，再通過(guò)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模擬方法進(jìn)行模擬。為簡(jiǎn)化，通常將非均勻調(diào)制函數(shù)設(shè)為僅與時(shí)間有關(guān)的均勻調(diào)制函數(shù)，將非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模擬轉(zhuǎn)化為均勻調(diào)制函數(shù)對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的調(diào)制，可避免據(jù)時(shí)變功率譜模擬非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程難度。

目前，對(duì)非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速模擬通常將時(shí)變平均風(fēng)速函數(shù)設(shè)為平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速的均勻調(diào)制函數(shù)無(wú)相關(guān)理論依據(jù)。為此，李錦華等[13]將非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速離散成若干段在足夠短時(shí)間Δt內(nèi)近似為平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速的短時(shí)時(shí)間序列，嚴(yán)格推導(dǎo)出與時(shí)間、頻率有關(guān)的非均勻調(diào)制函數(shù)及相應(yīng)非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速進(jìn)化譜。

本文據(jù)進(jìn)化譜理論，通過(guò)下?lián)舯┝鲿r(shí)變平均風(fēng)速模型及與時(shí)間頻率有關(guān)的非均勻調(diào)制函數(shù)對(duì)功率譜進(jìn)行調(diào)制獲得下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)變功率譜；將平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程AR模型考慮時(shí)變特征建立非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的TAR時(shí)變模型；通過(guò)時(shí)變功率譜、TAR時(shí)變模型實(shí)現(xiàn)下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速的有效模擬。

1 下?lián)舯┝鲿r(shí)變平均風(fēng)速

(1)

式中：f(t)為時(shí)間函數(shù)，最大值為1；V(z)為最大平均風(fēng)速的豎向分布函數(shù)。

三種最大平均風(fēng)速豎向風(fēng)剖面[14]為

Vicroy豎向分布模型

V(z)=1.22[e-0.15z/zmax-e-3.2175z/zmax]Vmax

(2)

Wood豎向分布模型

(3)

Oseguera 、Bowles豎向分布模型

(4)

式中：Vmax為豎向分布風(fēng)速中最大風(fēng)速；zmax為最大風(fēng)速所處高度位置；erf為誤差函數(shù)；δ為最大風(fēng)速一半所處高度位置；r為距離下?lián)舯┝黠L(fēng)場(chǎng)中心徑向位置；R為下?lián)舯┝黠L(fēng)場(chǎng)輻射半徑；z*為大氣邊界層外特征高度；ε為大氣邊界層內(nèi)特征高度；λ為尺度因子。

在碰撞射流理論中徑向風(fēng)速為軸對(duì)稱(chēng)，在某高度處徑向風(fēng)速[6]可表示為

(5)

式中：Vr,max為風(fēng)速場(chǎng)中某高度處最大風(fēng)速；rmax為最大風(fēng)速點(diǎn)與下?lián)舯┝髦行乃骄嚯x；r為觀測(cè)點(diǎn)與下?lián)舯┝髦行木嚯x；Rr為徑向長(zhǎng)度比例系數(shù)；Π為強(qiáng)度系數(shù)，表明雷暴強(qiáng)度隨時(shí)間變化。

考慮下?lián)舯┝髯陨碓谝苿?dòng)，故觀測(cè)點(diǎn)與雷暴中心距離rt為隨時(shí)間變化，觀測(cè)點(diǎn)平均風(fēng)速可表示為徑向風(fēng)速Vr與下?lián)舯┝髌揭扑俣萔o的矢量合成，即

Vp(t)=Vr(rt)+Vο

(6)

時(shí)間函數(shù)f(t)可定義為空間點(diǎn)任意時(shí)刻平均風(fēng)速與最大平均風(fēng)速比值，表示為豎向風(fēng)剖面隨時(shí)間變化的函數(shù)，即

f(t)=Vp(t)/max|Vp(t)|

(7)

2 下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速

與大氣邊界層風(fēng)速不同，下?lián)舯┝鞯钠骄L(fēng)速具有明顯的時(shí)變特征，其脈動(dòng)風(fēng)速具有較強(qiáng)的非平穩(wěn)特征。基于非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的進(jìn)化譜理論，下?lián)舯┝鞯姆瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速的模擬，可首先通過(guò)一調(diào)制函數(shù)對(duì)某一功率譜進(jìn)行調(diào)制獲得時(shí)變功率譜，然后通過(guò)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模擬算法進(jìn)行模擬。該模擬過(guò)程不僅需要獲得有效的調(diào)制函數(shù)，而且還需建立非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的模擬算法。

2.1 非均勻調(diào)制函數(shù)

據(jù)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程數(shù)值模擬理論，非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速的數(shù)值模擬關(guān)鍵是獲得時(shí)變功率譜。時(shí)變功率譜即進(jìn)化譜的獲取可通過(guò)對(duì)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)非平穩(wěn)風(fēng)速進(jìn)行時(shí)變譜估計(jì)或據(jù)進(jìn)化譜理論通過(guò)調(diào)制函數(shù)對(duì)功率譜進(jìn)行調(diào)制獲得。現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)對(duì)大多數(shù)值模擬研究而言并不可行，而更方便可行的方法為用功率譜調(diào)制。為獲得有效調(diào)制函數(shù)，李錦華等[13]將非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速離散成若干段在足夠短時(shí)間Δt內(nèi)可近似為平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速的短時(shí)時(shí)間序列，基于Kaimal譜推導(dǎo)出與時(shí)間、頻率有關(guān)的非均勻調(diào)制函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)Kaimal調(diào)制函數(shù)。

(8)

Davenport調(diào)制函數(shù)

(9)

Harris調(diào)制函數(shù)

(10)

Simiu調(diào)制函數(shù)

(11)

2.2 進(jìn)化譜

據(jù)進(jìn)化譜理論[12]，零均值非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程f(t)可表示為

(12)

式中：A(ω,t)為非均勻調(diào)制函數(shù)；Z(ω)為正交過(guò)程，且滿(mǎn)足

E[dZ(ω)]=0

(13)

E[dZ*(ω)dZ(ω′)]=J(ω)δ(ω-ω′)dωdω′

(14)

式中：*表示共軛；δ為狄拉克函數(shù)。

非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程均值為

(15)

相關(guān)函數(shù)為

Rff(t,τ)=E[f*(t)f(t+τ)]=

τ)e-iωteiω′(t+τ)E[dZ*(ω)dZ(ω′)]=

(16)

τ=0時(shí)

(17)

因此，進(jìn)化譜S(ω,t)可通過(guò)時(shí)頻函數(shù)A(ω,t)對(duì)功率譜非均勻調(diào)制表示[16]，即

S(ω,t)=|A(ω,t)|2J(ω)

(18)

據(jù)式(17)、(18)可建立非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)與時(shí)變功率譜間關(guān)系為

Rff(t,τ)=E[f*(t)f(t+τ)]=

(19)

2.3 非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速TAR時(shí)變模型建立

在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模擬中，較成熟方法主要有譜表示及線(xiàn)性濾波。為進(jìn)一步建立非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模擬方法，Liang等[16]詳細(xì)推導(dǎo)考慮時(shí)變特征的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程譜表示方法。在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模擬中譜表示方法模擬精度較高，但模擬效率較低。對(duì)大型工程的風(fēng)場(chǎng)模擬往往需在譜表示方法基礎(chǔ)上改進(jìn)模擬效率。將譜表示成考慮時(shí)變特征模擬非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，模擬效率更難滿(mǎn)足實(shí)際工程應(yīng)用。線(xiàn)性濾波法因計(jì)算量小、速度快而廣泛用于隨機(jī)過(guò)程模擬，但其主要針對(duì)平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程模擬。李錦華等[17]考慮隨機(jī)過(guò)程的非高斯特性，實(shí)現(xiàn)基于線(xiàn)形濾波法中AR、ARMA模型非高斯隨機(jī)過(guò)程模擬。本節(jié)將繼續(xù)對(duì)線(xiàn)性濾波法中的AR模型考慮時(shí)變特征，建立非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的TAR時(shí)變模型。

設(shè)TAR時(shí)變模型階數(shù)為p，非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模擬樣本點(diǎn)數(shù)為N，采樣時(shí)間間隔為Δt，基于TAR(p) 時(shí)變模型的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模擬公式可表示為

(20)

在t=t′時(shí)刻，有

(21)

確定Ai(t′)可將式(21)兩邊同時(shí)右乘f(t′-jΔt)，并取數(shù)學(xué)期望，有

iΔt)f(t′-jΔt)]+E[L(t′)w(t′)f(t′-jΔt)]

(22)

L(t′)Rwf(t′,jΔt)，即

jΔt-iΔt)+L(t′)Rwf(t′,jΔt)

(23)

對(duì)右二項(xiàng)，Rwf(t′,jΔt)可理解為w(t′)與f(t′-jΔt)的互相關(guān)函數(shù)。w(t)為該系統(tǒng)輸入，而f(t)為系統(tǒng)輸出。當(dāng)前輸出只依賴(lài)于當(dāng)前與過(guò)去的輸入，與將來(lái)輸入無(wú)關(guān)，因此w(t′)與f(t′-jΔt)互相獨(dú)立，故

Rwf(t′,jΔt)=0

(24)

將式(24)代入式(23)，可確定Ai(t′)，即

(25)

展開(kāi)式為

確定L(t′)可將式(21)兩邊同時(shí)右乘w(t′)，并取數(shù)學(xué)期望，有

(26)

當(dāng)前輸入w(t′)與過(guò)去輸出f(t′-iΔt)互相獨(dú)立，則

Rfw(t′-iΔt,iΔt)=0

(27)

將式(27)代入式(26)，得

Rfw(t′,0)=L(t′)Rww(t′,0)

(28)

據(jù)白噪聲特性，有Rww(t′,0)=1，則

Rfw(t′,0)=L(t′)

(29)

將式(21)兩邊同時(shí)右乘f(t′)，并取數(shù)學(xué)期望，有

-iΔt)+L(t′)Rwf(t′,0)

(30)

因

Rwf(t′,0)=E[w(t′)f(t′)]=

E[f(t′)w(t′)]=Rfw(t′,0)

(31)

將式(29)、(31)代入式(30)，有

(32)

令A(yù)0(t′)=-1，則

(33)

因此，時(shí)變模型系數(shù)Ai(t′)、L(t′)(t′=1,2,3,…)，可分別據(jù)式(25)、(33)確定。

3 數(shù)值模擬

3.1 下?lián)舯┝鲿r(shí)變平均風(fēng)速模擬

圖1 下?lián)舯┝鲝较蝻L(fēng)速與平移速度矢量合成

位于同高度的6個(gè)下?lián)舯┝黠L(fēng)速觀測(cè)點(diǎn)P1～P6見(jiàn)圖1。初始時(shí)刻，觀測(cè)點(diǎn)與下?lián)舯┝髦行木嚯x均為r0=3 500 m，方位角為θ01=0°、θ02=15°、θ03=30°、θ04=45°、θ05=60°、θ06=90°。考慮下?lián)舯┝髯陨淼囊苿?dòng)，則某高度觀測(cè)點(diǎn)與雷暴中心距離rt隨時(shí)間變化，觀測(cè)點(diǎn)平均風(fēng)速可表示為徑向風(fēng)速Vr與下?lián)舯┝髌揭扑俣萔o的矢量合成:

Vp(t)=

(34)

下?lián)舯┝髌骄L(fēng)速豎向分布模型V(z)采用Vicroy模型，下?lián)舯┝鲿r(shí)變平均風(fēng)速可表示為

(35)

考慮下?lián)舯┝髫Q向分布風(fēng)速中最大風(fēng)速Vmax=80 m/s，所處高度位置zmax=67 m；風(fēng)速場(chǎng)中某高度處徑向最大風(fēng)速Vr,max取47 m/s，與下?lián)舯┝髦行乃骄嚯xrmax取1 000 m，徑向長(zhǎng)度比例系數(shù)Rr取700 m，雷暴強(qiáng)度∏隨時(shí)間變化[18]可表示為

(36)

下?lián)舯┝髌揭扑俣热o=8 m/s。

圖2 下?lián)舯┝鲿r(shí)變平均風(fēng)速

各觀測(cè)點(diǎn)時(shí)變平均風(fēng)速見(jiàn)圖2，對(duì)徑向距離相同各觀測(cè)點(diǎn)，時(shí)變平均風(fēng)速波動(dòng)隨方位角的增大而減弱。由式(8)～式(11)知，非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速功率譜非均勻調(diào)制函數(shù)與時(shí)變平均風(fēng)速有關(guān)，因此時(shí)變平均風(fēng)速波動(dòng)性將影響非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速功率譜的時(shí)變性?？紤]觀測(cè)點(diǎn)P1的時(shí)變平均風(fēng)速具有較強(qiáng)波動(dòng)性，本文基于建立的TAR時(shí)變模型進(jìn)一步對(duì)該位置處豎向不同點(diǎn)非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速進(jìn)行模擬。

3.2 基于TAR時(shí)變模型的下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速模擬

現(xiàn)采用建立的TAR時(shí)變模型來(lái)模擬下?lián)舯┝餍羞M(jìn)路線(xiàn)上初始距離雷暴中心3 500 m處的豎向(Z1=15 m，Z2=25 m，Z3=45 m)三個(gè)不同點(diǎn)的非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速。模擬采用的上限截止圓頻率取為4 rad/s，模擬的時(shí)間長(zhǎng)度為800 s，TAR時(shí)變模型階數(shù)P=15。下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速的時(shí)變功率譜采用Kaimal非均勻調(diào)制函數(shù)對(duì)Kaimal譜進(jìn)行調(diào)制。三個(gè)不同點(diǎn)處的下?lián)舯┝鱇aimal非均勻調(diào)制函數(shù)見(jiàn)圖3。

圖3 下?lián)舯┝鱇aimal非均勻調(diào)制函數(shù)

圖4 下?lián)舯┝黠L(fēng)速時(shí)程與非平穩(wěn)脈動(dòng)成分

圖5 下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)變功率譜

不同點(diǎn)間的相干函數(shù)采用Davenport相干函數(shù)模型，即

(37)

式中：zi，zj分別為第i，j點(diǎn)豎向空間坐標(biāo)；Cz為空間豎向兩點(diǎn)間衰減系數(shù)；Ui，Uj分別為第i，j點(diǎn)平均風(fēng)速，取時(shí)變平均風(fēng)速算術(shù)平均值。

基于TAR模型模擬的下?lián)舯┝黠L(fēng)速時(shí)程及脈動(dòng)風(fēng)速成分見(jiàn)圖4。由圖4看出，脈動(dòng)風(fēng)速振幅與時(shí)變平均風(fēng)速大小有關(guān)，即時(shí)變平均風(fēng)速越大脈動(dòng)風(fēng)速振幅越大，與實(shí)際風(fēng)場(chǎng)特性吻合，非均勻調(diào)制函數(shù)的有效性得以驗(yàn)證。為說(shuō)明模擬下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速具有目標(biāo)非平穩(wěn)特征，本文對(duì)模擬100組下?lián)舯┝髅}動(dòng)風(fēng)速樣本進(jìn)行時(shí)變功率譜估計(jì)見(jiàn)圖5。由圖5看出，樣本估計(jì)功率譜時(shí)變特征明顯，此與目標(biāo)時(shí)變譜的時(shí)變特征吻合。

圖6 單樣本下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速統(tǒng)計(jì)平均估計(jì)譜與目標(biāo)譜對(duì)比

圖7 單樣本下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速統(tǒng)計(jì)平均自相關(guān)函數(shù)與目標(biāo)自相關(guān)函數(shù)對(duì)比

圖8 單樣本下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速統(tǒng)計(jì)平均自相關(guān)函數(shù)

4 結(jié) 論

由于計(jì)算簡(jiǎn)化的需要，模擬非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速通常將調(diào)制函數(shù)設(shè)為僅與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)，使非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速模擬轉(zhuǎn)化為時(shí)間函數(shù)對(duì)平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速調(diào)制，但無(wú)相關(guān)理論依據(jù)。本文通過(guò)建立有效功率譜非均勻調(diào)制函數(shù)及非平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速模擬方法，對(duì)下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速進(jìn)行數(shù)值模擬。并通過(guò)模擬的下?lián)舯┝鞣瞧椒€(wěn)脈動(dòng)風(fēng)速相關(guān)性、功率譜分析驗(yàn)證該模擬的有效性。

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