陳美霞，鄧乃旗，張 聰，魏建輝

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院,武漢 430074)

環(huán)肋圓錐殼為工程中常見(jiàn)結(jié)構(gòu)。支撐水下航行體螺旋槳與軸系艉部結(jié)構(gòu)常采用該結(jié)構(gòu)形式。水下航行體主要噪聲源之一為由槳的脈動(dòng)力激起艇體艉部振動(dòng)并輻射聲而產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)振動(dòng)噪聲。為研究水下航行體振動(dòng)噪聲機(jī)理，本文針對(duì)截頂環(huán)肋圓錐殼在水中的振動(dòng)特性，將螺旋槳脈動(dòng)激勵(lì)模擬為對(duì)圓錐殼施加縱向點(diǎn)激勵(lì)，通過(guò)考慮圓錐殼在點(diǎn)力下受迫振動(dòng)位移響應(yīng)研究螺旋槳激起艇體振動(dòng)機(jī)理，提出適合解決任意邊界條件下水中環(huán)肋圓錐殼振動(dòng)特性的計(jì)算方法。

錐殼在水中與流體耦合振動(dòng)會(huì)改變其動(dòng)力特性。由振動(dòng)方程知，由于錐頂角的存在，錐殼半徑隨母線方向不斷變化，使殼體本構(gòu)方程出現(xiàn)拉彎耦合項(xiàng)，方程系數(shù)由圓柱殼時(shí)的常系數(shù)變?yōu)樽兿禂?shù)，難于求其精確解。國(guó)內(nèi)的研究主要集中于圓錐殼強(qiáng)度、穩(wěn)定性、固有振動(dòng)特性。王安穩(wěn)等[1]提出關(guān)于圓錐殼軸對(duì)稱變形的有矩理論方程。崔維成等[2]由旋轉(zhuǎn)殼體的基本微分方程出發(fā)，重新推導(dǎo)圓錐殼應(yīng)力計(jì)算精確解。崔維成等[3]將圓錐殼有矩問(wèn)題求解的基本微分方程轉(zhuǎn)換成二階復(fù)常系數(shù)常微分方程式可用于圓錐殼邊界效應(yīng)。對(duì)圓錐殼振動(dòng)分析研究尚少。駱東平等[4]用Flügge殼體理論及遷移矩陣法研究環(huán)肋圓錐殼自由振動(dòng)。Crenwelge等[5]用能量法計(jì)算簡(jiǎn)支環(huán)肋圓錐殼自由振動(dòng)。Tong等[6]用冪級(jí)數(shù)解各向異性圓錐殼自由振動(dòng)。Caresta等[7-9]沿用文獻(xiàn)[6]方法并考慮流體負(fù)載作用，研究水中圓錐殼、圓柱殼及錐柱結(jié)合殼在各種邊界條件下的振動(dòng)特性。Efraim等[10]采用冪級(jí)數(shù)法求解包括圓錐、圓柱、圓板在內(nèi)的軸對(duì)稱局部殼體固有頻率。Leissa[11]用解析法、試驗(yàn)法分析錐柱殼的模態(tài)及振型。吳仕昊等[12-13]基于區(qū)域分解方法研究圓錐殼-圓柱殼-球殼組合殼體的固有振動(dòng)。文獻(xiàn)[10]僅考慮真空中殼體結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)，未考慮流體負(fù)載影響，而文獻(xiàn)[7]則未考慮環(huán)肋對(duì)殼體振動(dòng)特性影響；為此，本文采用冪級(jí)數(shù)法與波傳播法結(jié)合方法對(duì)水中環(huán)肋圓錐殼固有及受迫振動(dòng)特性進(jìn)行研究。冪級(jí)數(shù)法求解錐殼振動(dòng)，用波傳播法考慮分段等效圓柱殼上流體載荷，搜索水中復(fù)波數(shù)，用平攤法等效環(huán)肋，分析水流體負(fù)載、環(huán)肋、邊界條件、半錐角及長(zhǎng)度對(duì)振動(dòng)特性影響。國(guó)內(nèi)將該方法用于水中環(huán)肋圓錐殼振動(dòng)特性研究尚少見(jiàn)。

1 水中環(huán)肋圓錐殼振動(dòng)耦合方程求解

1.1 環(huán)肋圓錐殼運(yùn)動(dòng)方程

Flügge殼體理論描述的圓錐殼運(yùn)動(dòng)方程[14]為

(1)

(2)

(3)

式中：uc,vc分別為殼體中面沿x，θ方向位移；wc為殼體中面沿z方向法向位移，理論模型見(jiàn)圖1；ρ為殼體密度；h為殼體厚度；α為半錐角；R為錐殼任意位置x處半徑；R1，R2分別為錐殼小、大端半徑；Nx,Nθ,Nθx,Nxθ,Qx,Qθ為錐殼內(nèi)力項(xiàng)，見(jiàn)附錄A。

本文將環(huán)肋圓錐殼等效為正交各向異性殼體，考慮等肋骨間距的環(huán)肋圓錐殼。環(huán)肋內(nèi)力、內(nèi)力矩表達(dá)式[15]為

(4)

(5)

圖1 圓錐殼幾何模型與環(huán)肋尺寸示意圖

(6)

(7)

(8)

1.2 流體負(fù)載處理

由于圓錐殼各位置x處半徑是變化的，求流體負(fù)載較難。故將圓錐殼劃分成N段窄錐殼，每錐段等效成以錐殼分段平均半徑為半徑的圓柱殼，見(jiàn)圖2。認(rèn)為作用于每錐段的流體壓力大小等同于作用于同長(zhǎng)度的圓柱殼流體壓力大小，通過(guò)該近似處理方法可得作用于圓錐殼的流體壓力。

圖2 錐殼分段與等效柱殼坐標(biāo)系圖

用Flügge方程描述分段圓柱殼運(yùn)動(dòng)方程為

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

u(x,θ,t)=Uejknxcos(nθ)e-jωt

(14)

v(x,θ,t)=Vejknxsin(nθ)e-jωt

(15)

w(x,θ,t)=Wejknxcos(nθ)e-jωt

(16)

式中：U,V,W分別為軸向、周向、徑向位移幅值。將通解代入式(9)～式(11)，得帶U,V,W項(xiàng)的線性方程為

(17)

式中：Aij[7]為矩陣微分算子項(xiàng)。

對(duì)非齊次方程解，式(17)中矩陣行列式值必為0。展開(kāi)行列式可得由kn，ω項(xiàng)構(gòu)成的特征值方程。對(duì)每個(gè)ω，行列式值為關(guān)于結(jié)構(gòu)波數(shù)kn的八階控制方程。由于式(13)中漢克爾函數(shù)及貝塞爾函數(shù)的存在，特征方程為非線性，無(wú)法直接求解。因此須用數(shù)值方法求解kn。本文用搜索法。在無(wú)流體負(fù)載(Pa=0)情況下求解特征方程獲得4對(duì)解。每對(duì)解中取1個(gè)解，該4個(gè)解作為流體負(fù)載的初始解。對(duì)實(shí)數(shù)解與虛數(shù)解，分別在實(shí)域、虛域范圍內(nèi)初始解附近搜索，獲得能使控制方程為0的解。對(duì)復(fù)數(shù)解將初始解分解成實(shí)部、虛部，即kn=kre+jkim，其中kre為阻尼效應(yīng)，kim為質(zhì)量效應(yīng)。控制方程也可分解為實(shí)部、虛部C=Cre+jCim，在初始解附近搜索同時(shí)使控制方程實(shí)部、虛部為0的解，即將控制方程C=0化為{Cre=0Cim=0}并求解。由于求解方法較復(fù)雜，可將流體負(fù)載逐步增加，先估計(jì)無(wú)流體負(fù)載解附近的帶一半流體負(fù)載(0.5 Pa)的特征方程的解，再求解一半流體負(fù)載解附近的加載全部流體負(fù)載的復(fù)波數(shù)解。文獻(xiàn)[14]給出每個(gè)錐殼分段的母線方向長(zhǎng)度滿足不等式Li≤2R0,iT%/sinα，其中T為分段系數(shù)，對(duì)同一錐殼模型，T保持不變。

1.3 連續(xù)條件

錐殼分段用力及位移連續(xù)條件連接，每錐段均需8個(gè)基本參數(shù)唯一描述，共需8N個(gè)基本參數(shù)確定整個(gè)錐殼振動(dòng)，每?jī)慑F段間需滿足位移、內(nèi)力、內(nèi)力矩連續(xù)條件。

位移連續(xù)條件：

(18)

力平衡連續(xù)條件：

(19)

式中：uc,i,vc,i,wc,iNx,i,Nxθ,iMx,i,Mxθ,iVx,i為每個(gè)錐殼第i分段處位移及內(nèi)力；Ri為第i分段大徑，i=1，2…N-1。

1.4 水中環(huán)肋圓錐殼自由、受迫振動(dòng)求解

圓錐殼振動(dòng)方程冪級(jí)數(shù)形式的一般解為

uc(x,θ,t)=uccos(nθ)e-iωt

(20)

vc(x,θ,t)=vcsin(nθ)e-iωt

(21)

wc(x,θ,t)=wccos(nθ)e-iωt

(22)

式中：n為錐殼周向模態(tài)數(shù)。

用冪級(jí)數(shù)表示位移分量：

(23)

(24)

(25)

將式(20)～式(25)代入式(6)～式(8)，可得序列數(shù)am，bm，cm的遞推關(guān)系。據(jù)Flügge理論導(dǎo)出其表達(dá)式為

(26)

(27)

(28)

式中：Aai、Bai、Cai為相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)。據(jù)遞推關(guān)系只需用8個(gè)基本參數(shù)a0,a1,b0,b1,c0,c1,c2,c3即可表示任意am(m≥2)，bm(m≥2)，cm(m≥4)。uc(x)，vc(x)，wc(x)可表示為

uc(x)=[u1(x)…u8(x)][a0a1b0b1c0c1c2c3]T

(29)

vc(x)=[v1(x)…v8(x)][a0a1b0b1c0c1c2c3]T

(30)

wc(x)=[w1(x)…w8(x)][a0a1b0b1c0c1c2c3]T

(31)

將內(nèi)力、位移各項(xiàng)表示成關(guān)于a0,a1,b0,b1,c0,c1,c2,c38個(gè)未知系數(shù)的表達(dá)式。殼體兩端邊界條件與殼體分段間連續(xù)條件可組成矩陣方程Acxc=F，其中xc=[xc1T…xcNT]T;F為激勵(lì)力列向量。

(32)

對(duì)第i分段，上式中位移、力連續(xù)條件矩陣為

位移連續(xù)矩陣：

(33)

內(nèi)力連續(xù)條件矩陣：

(i=1,2…N)

(34)

組合矩陣中，最初、最后兩矩陣B1，BN為由錐殼兩端邊界條件決定。自由、簡(jiǎn)支、固支三種條件下矩陣為

自由端：

(i=1,N)

(35)

固支端：

(36)

簡(jiǎn)支端：

(37)

方程Acxc=F中激勵(lì)力項(xiàng)F為0時(shí)，可求解環(huán)肋圓錐殼在水中的自由振動(dòng)。令系數(shù)矩陣Ac的行列式值為0，即可求出固有頻率ω。F不為0時(shí)，則可求解環(huán)肋圓錐殼在水中的受迫振動(dòng)。激勵(lì)力下殼體位移的頻率響應(yīng)函數(shù)可通過(guò)將激勵(lì)力視為部分邊界條件求得。對(duì)錐殼小大端自由、簡(jiǎn)支及固支情況，殼體在小半徑端施加一沿母線方向點(diǎn)力F1或法向點(diǎn)力F2，平均幅值F0=1 N。見(jiàn)圖3。

圖3 圓錐殼點(diǎn)力受迫振動(dòng)

求錐殼某點(diǎn)點(diǎn)力位移響應(yīng)時(shí)用柱坐標(biāo)系(x0c,θ,y0c)表達(dá)。其中y0c為錐殼任意位置半徑方向長(zhǎng)度坐標(biāo)，θ為錐殼某截面周向角度坐標(biāo)，x0c為錐殼軸向長(zhǎng)度坐標(biāo)。在柱坐標(biāo)(x0c,θ,y0c)下，位于(x0,θ0,R(x0))處的點(diǎn)力可用δ函數(shù)表示(R(x0)為錐殼x0處半徑)：

F(x,θ,t)=F0δ(x-x0)δ(θ-θ0)e-jωt

(38)

對(duì)殼體自由端，將激勵(lì)力考慮成邊界條件的一部分，在xi=x0處加載沿母線方向點(diǎn)力F1，該點(diǎn)邊界條件中Nx的表達(dá)式為

Nx=F0δ(x-x0)δ(θ-θ0)e-jωt

(39)

代入x=x0，并對(duì)cos(nθ)在-π～π范圍內(nèi)積分，得：

Nx=εF0cos(nθ0)

(40)

當(dāng)n為0時(shí)ε=1/2πR(x0)，n大于等于1時(shí)ε=1/πR(x0)。

同理，對(duì)法向激勵(lì)F2，有

Vx=εF0cos(nθ0)

(41)

任意方向激勵(lì)力均可分解到母線及法向求解。

對(duì)每個(gè)周向模態(tài)n，所有邊界條件、連續(xù)條件及激勵(lì)力均由矩陣方程Acxc=F表示，其中F為8N×1的力向量，只有一個(gè)非零項(xiàng)εF0。結(jié)果表示成一系列頻率響應(yīng)函數(shù)形式，該函數(shù)對(duì)每個(gè)頻率、周向模態(tài)n求解方程Acxc=F，取前20個(gè)周向模態(tài)位移(n=0:20)疊加，即可求得錐殼面任點(diǎn)位移頻率響應(yīng)。位移響應(yīng)在總體坐標(biāo)系軸向x0c及徑向y0c的分量為

ux0c,i=uc,icosα-wc,isinα

(42)

uy0c,i=uc,isinα+wc,icosα

(43)

2 數(shù)值計(jì)算與結(jié)果分析

為驗(yàn)證解析法的正確性，本文將解析法計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圓錐殼參數(shù)：錐殼母線向長(zhǎng)度L=8.9 m，軸線向長(zhǎng)度L′=8.46 m。殼體厚度h=0.014 m，小端半徑R1=0.5 m，大端半徑R2=3.25 m，平均半徑R0=1.875 m，半錐角α=18°，材料密度ρ=7 800 kg/m3，楊氏模量E=2.1×1011 N/m2，泊松比μ=0.3。在殼體表面均布環(huán)肋，肋厚br=0.014 m，肋高h(yuǎn)r=0.04 m，肋間距l(xiāng)=0.21 m。流體聲速cf=1 500 ms-1，流體密度ρf=1 000 kgm-3，結(jié)構(gòu)損耗因子ηs=0.02。數(shù)值法用有限元軟件ANSYS求解，殼體建模用shell63單元，環(huán)肋用beam188單元，外部流場(chǎng)用fluid30單元，吸聲邊界層用fluid130單元，共劃分25萬(wàn)網(wǎng)格。

2.1 環(huán)肋圓錐殼固有頻率

本文考慮三種邊界條件的錐殼固有頻率，即小端自由-大端自由(FR-FR)、小端自由-大端簡(jiǎn)支(FR- SD)、小端自由-大端固支(FR-CL)。計(jì)算每個(gè)周向模態(tài)n下最低固有頻率。水中環(huán)肋圓錐殼在三種邊界條件下的固有頻率計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖4。由圖4看出，解析法與數(shù)值法計(jì)算三種邊界條件下固有頻率結(jié)果吻合較好，由此驗(yàn)證本文解析法求解水中環(huán)肋圓錐殼固有頻率的正確性。較高周向模態(tài)出現(xiàn)誤差主要源于環(huán)肋的平攤法等效。

圖4 三種邊界條件下固有頻率

圖5為有無(wú)流體負(fù)載對(duì)圓錐殼固有頻率影響對(duì)比。由圖5看出，錐殼在水中的固有頻率均小于在真空中固有頻率。此因外部流體負(fù)載以附連水質(zhì)量或阻尼形式作用于殼體振動(dòng)法向，而附連水質(zhì)量使殼體振動(dòng)等效質(zhì)量增加，故水中固有頻率低于真空中固有頻率。

為研究錐殼振動(dòng)特有規(guī)律，考慮不同半錐角、殼體長(zhǎng)度的錐殼固有振動(dòng)特性。在錐殼結(jié)構(gòu)參數(shù)基礎(chǔ)上，不改變平均半徑R0及軸向長(zhǎng)度L′，僅改變半錐角α，兩端簡(jiǎn)支條件下水中固有頻率計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖6。由圖6看出，半錐角為0°的圓柱殼固有頻率最高。隨半錐角的減小，固有頻率增大。n=1～3時(shí)半錐角影響不大，n=4～10時(shí)，半錐角越小，其變化對(duì)固有頻率影響越大。半錐角減小時(shí)，錐殼結(jié)構(gòu)沿軸向逐漸趨于對(duì)稱，至圓柱殼時(shí)完全對(duì)稱，錐殼剛度隨之增大，模態(tài)數(shù)越高其固有頻率也相應(yīng)增大。

不改變錐殼平均半徑R0及半錐角，僅改變軸向長(zhǎng)度L′，兩端簡(jiǎn)支條件下軸向長(zhǎng)度對(duì)固有頻率影響見(jiàn)圖7。由圖7看出，在相同半錐角及平均半徑條件下，錐殼長(zhǎng)度越短固有頻率越高。而錐殼長(zhǎng)度在周向模態(tài)數(shù)較低時(shí)影響亦較大。

圖7 軸向長(zhǎng)度L′對(duì)固有頻率影響

2.2 點(diǎn)力下圓錐殼諧響應(yīng)分析

為驗(yàn)證水中環(huán)肋圓錐殼受迫振動(dòng)解析方法的正確性，用有限元軟件ANSYS分析計(jì)算錐殼在水中的點(diǎn)力諧響應(yīng)，并與解析法結(jié)果對(duì)比。理論計(jì)算模型見(jiàn)圖3。圓錐殼小端為自由邊界條件，端部加載沿母線方向單位點(diǎn)力F1或沿端部徑向單位點(diǎn)力F3，大端固支約束。位移響應(yīng)點(diǎn)取錐殼端部激勵(lì)點(diǎn)A(0,0,0.5)或殼體中部點(diǎn)B(4.11,0,1.84)，取點(diǎn)軸向、徑向位移幅值響應(yīng)。用平攤法等效環(huán)肋，計(jì)算頻率為1～250 Hz，計(jì)算F1激勵(lì)下A點(diǎn)軸向響應(yīng)，結(jié)果見(jiàn)圖8，圖中Re=10E-12 m/N。由圖8看出，計(jì)算頻率在1～116 Hz時(shí)解析法與有限元法峰值位置、位移幅值吻合良好，而在117～250 Hz時(shí)位移幅值誤差較大，峰值位置出現(xiàn)偏移。說(shuō)明平攤法等效環(huán)肋只適用較低頻率范圍?？紤]工程實(shí)際中螺旋槳脈動(dòng)產(chǎn)生的激勵(lì)頻率也在低頻范圍，本文取計(jì)算頻率1～100 Hz，可保證計(jì)算的準(zhǔn)確性。

圖8 計(jì)算頻率范圍分析

圖9、圖10分別為F1，F(xiàn)3激勵(lì)下環(huán)肋錐殼端點(diǎn)A及中間點(diǎn)B的軸向、徑向位移幅值響應(yīng)。由二圖看出，① 解析法與有限元ANSYS計(jì)算結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了冪級(jí)數(shù)法的正確性。誤差主要源于流體載荷的近似處理及平攤法等效環(huán)肋。② 水中響應(yīng)峰值位置相對(duì)于真空峰值位置偏向低頻，且響應(yīng)幅值較小。此因?yàn)橥獠苛黧w負(fù)載以附連水質(zhì)量及阻尼形式作用于殼體的動(dòng)響應(yīng)，殼體振動(dòng)阻尼增加，使殼體峰值響應(yīng)幅值減小；附連水質(zhì)量作用相當(dāng)于振動(dòng)時(shí)殼體質(zhì)量增加，減小水中峰值對(duì)應(yīng)的固有頻率。

圖11為環(huán)肋對(duì)水中錐殼響應(yīng)影響。由圖11知，環(huán)肋錐殼峰值小于不加肋骨峰值，且峰值位置相對(duì)偏向高頻。此因?yàn)榄h(huán)肋以質(zhì)量及剛度平攤方式作用于殼體，使殼體等效剛度及質(zhì)量增加，而等效剛度增加的作用大于等效質(zhì)量增加的作用，故峰值位置對(duì)應(yīng)的固有頻率變大。剛度增加限制殼體的振動(dòng)位移，從而使峰值幅值變小。

圖12為邊界條件對(duì)水中環(huán)肋錐殼響應(yīng)影響。錐殼小端為自由邊界，大端分別為自由、簡(jiǎn)支、固支三種。由圖12看出，頻率較低時(shí)(1～30 Hz)，小端自由-大端簡(jiǎn)支與小端自由-大端自由邊界條件響應(yīng)曲線相近或重合；頻率較高時(shí)(31～100 Hz)，小端自由-大端簡(jiǎn)支與小端自由-大端固支邊界條件響應(yīng)曲線相近或重合。研究表明，頻率較低時(shí)錐殼軸向約束作用較大，而大端簡(jiǎn)支與自由兩種邊界條件均無(wú)軸向約束，故兩種邊界條件下曲線相近；頻率較高時(shí)，錐殼徑向、周向約束作用較大，大端簡(jiǎn)支與大端固支均對(duì)錐殼徑向、周向有約束，故兩種邊界條件下曲線相近。

圖9 F1激勵(lì)下流體負(fù)載對(duì)環(huán)肋錐殼A點(diǎn)位移響應(yīng)影響

圖12 F3激勵(lì)下邊界條件對(duì)水中環(huán)肋錐殼A點(diǎn)響應(yīng)影響

以上結(jié)果已表明本文解析方法的正確性、適用性。該方法優(yōu)點(diǎn)在于由殼體運(yùn)動(dòng)方程及力法角度分析殼體，能反應(yīng)殼體的運(yùn)動(dòng)特性，采用冪級(jí)數(shù)法可靈活處理任意邊界條件，且可用連續(xù)條件將不同殼體結(jié)構(gòu)拼接計(jì)算組合結(jié)構(gòu)。而傳統(tǒng)有限元方法則將結(jié)構(gòu)離散成微元，由動(dòng)力學(xué)方程求解，無(wú)法反映殼體結(jié)構(gòu)特性。冪級(jí)數(shù)法計(jì)算速度快，用ANSYS12.1計(jì)算水中環(huán)肋錐殼單個(gè)頻率需15 min(2.8 GHz、8 G內(nèi)存)，而用冪級(jí)數(shù)法在MATLAB2012b中編程計(jì)算僅需5 s，計(jì)算速度極大提升。處理流體負(fù)載方法簡(jiǎn)便，僅需改變流體參數(shù)及分段數(shù)，而有限元軟件則需建流場(chǎng)單元，較耗時(shí)。故用冪級(jí)數(shù)法可通過(guò)修改結(jié)構(gòu)及流體參數(shù)高效分析錐殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性及規(guī)律，提取任意節(jié)點(diǎn)位移速度等信息，便于分析殼體聲輻射，亦可將冪級(jí)數(shù)法編制計(jì)算軟件，可更方便應(yīng)用于工程實(shí)際中。

圖9～圖12中，Re=10E-12 m/N。

3 結(jié) 論

(1) 本文基于殼體振動(dòng)的Flügge理論，采用冪級(jí)數(shù)法研究水中環(huán)肋圓錐殼固有振動(dòng)及受迫振動(dòng)特性。環(huán)肋采用剛度各向異性法，等效為殼體附加質(zhì)量。通過(guò)將圓錐殼分段，將每段圓錐殼等效為圓柱殼考慮流體負(fù)載影響，采用搜索法搜獲得水中復(fù)波數(shù)。數(shù)值法與本文冪級(jí)數(shù)法結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的正確性。

(2) 通過(guò)對(duì)流體負(fù)載、環(huán)肋、邊界條件、半錐角及軸向長(zhǎng)度對(duì)錐殼固有振動(dòng)、受迫振動(dòng)特性影響研究，計(jì)算結(jié)果表明，流體負(fù)載以附連水質(zhì)量、阻尼形式作用于殼體，會(huì)使錐殼固有頻率降低、振動(dòng)響應(yīng)幅值減??；環(huán)肋主要以增加剛度形式作用于殼體，使殼體峰值對(duì)應(yīng)的固有頻率增高，且約束殼體振動(dòng)，減小振動(dòng)響應(yīng)幅值；半錐角減小、軸向長(zhǎng)度變短均會(huì)使固有頻率增高；頻率較低時(shí)錐殼以軸向約束作用為主，頻率較高時(shí)以徑向、周向約束作用為主。

[1] 王安穩(wěn),郭日修.圓錐殼方程的二次漸近解[J].海軍工程學(xué)院學(xué)報(bào),1993(2):1-8.

WANG An-wen, GUO Ri-xiu.Asymptotic solution of the second degree for the equation of conical shells[J].Journal of Naval University of Engineering, 1993(2):1-8.

[2] 崔維成,裴俊厚.圓錐殼的精確解與等效圓柱殼的解比較[J].船舶力學(xué),2000,4(4):33-42.

CUI Wei-cheng, PEI Jun-hou.A comparison of equivalent cylinder solution with accurate solution for conical shells[J].Journal of Ship Mechanics, 2000,4(4):33-42.

[3] 崔維成,裴俊厚.具有薄殼理論同樣精度的圓錐殼簡(jiǎn)化解[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào),2002,36(1):125-129.

CUI Wei-cheng, PEI Jun-hou.Simplified solution having the same accuracy as thin walled shell theory for conical shells[J].Journal of Shanghai Jiaotong University, 2002,36(1):125-129.

[4] 駱東平,趙玉喜.環(huán)肋圓錐殼自由振動(dòng)特性分析[J].振動(dòng)與沖擊,1990,9(4):64-69.

LUO Dong-ping, ZHAO Yu-xi.Vibration characteristics analysis of ring-stiffened conical shells[J].Journal of Vibration and Shock, 1990,9(4):64-69.

[5] Crenwilge O E, Muster J R D.Free vibration of ring and stringer stiffened conical shells[J].J.Acoust.Soc.Am, 1969, 46(1):176-185.

[6] Tong L Y.Free vibration of orthotropic conical shells[J].International Journal of Engineering Science, 1993, 31(5): 719-733.

[7] Caresta M, Kessissoglou N J.Vibraion of fluid loaded conical shells[J].Acoustical Society of American, 2008,124(4): 2068- 2077.

[8] Caresta M, Kessissoglou N J.Free vibrational characteristics of isotropic coupled cylindrical-conical shells[J].Journal of Sound and Vibration,2010,329(6):733-751.

[9] Caresta M, Kessissoglou N J.Acoustic signature of a submarine hull under harmonic excitation[J].Applied Acoustics,2010, 71(1):17-31.

[10] Efraim E, Eisenverger M.Exact vibration frequencies of segmented axisymmetric shells[J].Thin-Walled Structures, 2006,44(3):281-289.

[11] Leissa A W.Vibration of shells[M].New York:American Institute of Physics, 1993.

[12] 吳仕昊,瞿葉高,華宏星.圓錐殼-圓柱殼-球殼組合結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)分析[J].振動(dòng)與沖擊,2013,32(6):109-114.

WU Shi-hao, QU Ye-gao, HUA Hong-xing.Free vibration analysis of joined conical-cylindrical-spherical shells[J].Journal of Vibration and Shock,2013,32(6):109-114.

[13] 瞿葉高,華宏星,孟光,等.基于區(qū)域分解的圓錐殼-圓柱殼-圓錐殼組合結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)[J].振動(dòng)與沖擊,2012, 31(22): 1-7.

QU Ye-gao, HUA Hong-xing, MENG Guang, et al.A domain decomposition method for free vibration analysis of a joined conical-cylindrical-conical shell[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(22):1-7.

[14] Caresta M.Structural and acoustic responses of a submerged vessel[D].Sydney: University of New South Wales,2009.

[15] Baruch M, Arbocz J, Zhang G Q.Laminated conical shells-considerations for the variations of the stiffness coefficients[C]//Proceedings of the 35th AIAA/ASME/ ASCE/ASC S.S.D.M.Conference, Hilton Head, SC: Delft University of Technology,1994:2506-2516.

附錄A

(A1)

(A2)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

(A8)

(A9)

(A10)

(A11)

式中：E,μ,h分別為楊氏模量、泊松比、殼體厚度。