張申貴

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730030)

測(cè)度鏈上次線性二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性*

張申貴

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730030)

研究測(cè)度鏈上非自治二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性問題.在非線性項(xiàng)次線性增長(zhǎng)時(shí),將這類系統(tǒng)的周期解轉(zhuǎn)化為定義在一個(gè)適當(dāng)空間上泛函的臨界點(diǎn),然后利用臨界點(diǎn)理論建立了此類系統(tǒng)周期解的存在性結(jié)果.

測(cè)度鏈上系統(tǒng)；周期解；次線性；臨界點(diǎn)理論

1 問題的提出

德國(guó)學(xué)者Hilger在其博士論文中提出了測(cè)度鏈分析理論，這種理論將連續(xù)分析和離散分析結(jié)合在一起,實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論方面的大突破.所謂測(cè)度鏈?zhǔn)侵笇?shí)數(shù)集R的任意非空子集，通常用“T”來表示，“T”可以是R、Z、R+、Cantor集、閉區(qū)間的并集等.

測(cè)度鏈上動(dòng)力方程廣泛地應(yīng)用于生物系統(tǒng)、金融分析、疾病控制等領(lǐng)域中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型.例如，美國(guó)學(xué)者Peterson和Thomas利用測(cè)度鏈上的動(dòng)力方程彌合了西尼羅河病毒傳播的差分方程模型和微分方程模型之間的空隙，并建立了更為全面和實(shí)用的數(shù)學(xué)模型.

測(cè)度鏈上動(dòng)力方程的基礎(chǔ)理論可參見文獻(xiàn)[1-2].近年來，許多學(xué)者研究了測(cè)度鏈上邊值問題解的存在性[3-8]，所用的工具為錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理.從2009年開始,臨界點(diǎn)理論被用來研究測(cè)度鏈上邊值問題解的存在性.文獻(xiàn)[9]研究了變號(hào)位勢(shì)下測(cè)度鏈上二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性；當(dāng)具有次二次或超二次位勢(shì)時(shí)，文獻(xiàn)[10-12]得到了測(cè)度鏈上二階Hamilton系統(tǒng)周期解存在的充分條件.

考慮測(cè)度鏈上二階Hamilton系統(tǒng)

(1)

周期解的存在性.其中：T>0；ρ(t)為后跳躍算子；H(t,u)=DuH(t,u)；[0，T]T表示[0,T]∩T;H:[0,T]T×RN→R滿足對(duì)每個(gè)x∈RN,H(t,x)關(guān)于t可測(cè)，對(duì)Δ-a.e.t∈[0,T]T,H(t,x)關(guān)于x連續(xù)可微，且存在a∈C(R+,R+)，b∈L1([0,T]T;R+)，使得|H(t,x)|≤a(|x|)b(t),|H(t,x)|≤a(|x|)b(t)對(duì)所有x∈RN和Δ-a.e.t∈[0,T]T成立.

若T=R,則系統(tǒng)(1)為二階Hamilton系統(tǒng)：

若T=Z,T≥2,則系統(tǒng)(1)為二階離散Hamilton系統(tǒng)：

其中Δu(t)=u(t-1)-u(t),Δ2u(t)=Δ(Δu(t)).

筆者將研究次線性條件下測(cè)度鏈上二階Hamilton系統(tǒng)(1)的周期解，利用臨界點(diǎn)理論中的鞍點(diǎn)定理建立系統(tǒng)(1)周期解存在性的新結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

定義1 稱實(shí)數(shù)集R的任意非空子集為測(cè)度鏈(或時(shí)間標(biāo)架)，通常用“T”來表示.

定義2 對(duì)于t∈T,定義向前跳躍算子σ:T→T為σ(t)=inf{τ∈T:τ>t},定義向后跳躍算子ρ:T→T為ρ(t)=sup{τ∈T:τt,則稱t是右稀的；若ρ(t)infT且ρ(t)=t,則稱t是左稠的；將既是右稠的,又是左稠的點(diǎn)稱為稠密點(diǎn).函數(shù)μ:T→[0,+∞)定義為μ(t)=σ(t)-t.

此外,若T有右稀的最小值m,則定義Tκ=T-{m}，否則,Tκ=T.若T有左稀的最大值M,則定義Tκ=T-{M}，否則,Tκ=T.

定義3 假設(shè)f:T→R,t∈Tκ.若存在一個(gè)實(shí)數(shù)θ,使得對(duì)于?>0,存在t的一個(gè)開領(lǐng)域U,對(duì)于所有的s∈U,都有|f(o(t))-f(s)-θ(σ(t)-s)|≤|σ(t)-s|成立,則稱f在t點(diǎn)是Δ-可微的,稱θ為f在t點(diǎn)的Δ-導(dǎo)數(shù),記為θ=fΔ(t).若對(duì)于所有的t∈Tκ,f在t點(diǎn)都是Δ-可微的,則稱f在Tκ上是Δ-可微的.

若T=R,則fΔ(t)=f′(t)；若T=Z,則fΔ(t)=Δf(t).

此外,設(shè)

‖u‖∞≤C0‖u‖.

(2)

(3)

φ′(u),v=(uΔ(t),vΔ(t))Δt-(H(t,u(t)),v(t))Δt?u,v∈(T).

定義5 設(shè)X為Banach空間,若泛函φ∈C1(X,R)滿足對(duì)任何點(diǎn)列{un}?X,由{φ(un)}有界,φ′(un)→0蘊(yùn)含{un}有收斂子列,則稱泛函φ滿足(PS)條件.

3 主要結(jié)果及其證明

定理1 設(shè)存在f,g∈L1([0,T]T;R+),0<α<1,使得

|H(t,x)|≤f(t)|x|α+g(t),

(4)

對(duì)所有x∈RN和Δ-a.e.t∈[0,T]T成立,且滿足

(5)

注1 (4)式表明非線性項(xiàng)H(t,x)關(guān)于變量x是次線性增長(zhǎng)的.當(dāng)極限值為+∞時(shí),(5)式為著名的Ahmad-Lazer-Paul型強(qiáng)制性條件.

|φ(un)|≤cφ′(un)→0，n→∞

(6)

由(2),(4)式,有

(7)

由(3),(6),(7)式,有

(8)

由(8)式可得

(9)

由(9)式,并注意到0<α<1,當(dāng)n→∞時(shí),有

(10)

由(7),(9)式,有

(11)

由(2),(4),(9)式,有

(12)

(13)

由(11),(12),(13)式,有

由0<α<1知,當(dāng)‖u‖→+∞時(shí),φ(u)→+∞.顯然存在常數(shù)ω,使得φ(u)≥ω.令e=0,則引理1中(ⅰ)成立.

另一方面,對(duì)y∈E1=RN,由(5)式,對(duì)?ε>0,當(dāng)‖y‖充分大時(shí),有

令ε充分小,當(dāng)‖y‖→+∞時(shí),φ(y)→-∞.因此存在正常數(shù)ρ,使得φ|?Bρ∩E1≤ω-1=σ,則引理1中(ⅱ)成立.

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(責(zé)任編輯 向陽潔)

PeriodicSolutionforSublinearNon-AutonomousSecondOrderHamiltonianSystemsonTimeScales

ZHANG Shengui

(College of Mathematics and Computer Science,Northwest University for Nationalities,Lanzhou 730030,China)

The existence of periodic solutions for non-automous second order Hamiltonian systems on time scales with sublinear nonlinearity is investigated.The periodic solutions of the system are converted into the critical points of a functional defined on a proper space,and the existence of periodic solutions is proved by critical point theory.

Hamiltonian systems on time scales;periodic solution;sublinear;critical point theory

1007-2985(2014)05-0001-05

2014-03-18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(31260098)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資助項(xiàng)目(31920130004)

張申貴(1980—),男,甘肅蘭州人，西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院副教授,主要從事非線性泛函分析研究.

O175.12

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.05.001