董林璽,俞 權(quán),包金艷,陶家平

(1.杭州電子科技大學(xué)射頻電路與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310018;2.中科院上海傳感技術(shù)聯(lián)合國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200050)

?

MEMS圓盤(pán)諧振器形變對(duì)電氣剛度影響分析*

董林璽1,2*,俞 權(quán)1,包金艷1,陶家平1

(1.杭州電子科技大學(xué)射頻電路與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310018;2.中科院上海傳感技術(shù)聯(lián)合國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200050)

電氣剛度是影響MEMS諧振器諧振頻率精度的因素之一。但是對(duì)于諧振器受到應(yīng)力時(shí),產(chǎn)生的形變量對(duì)電氣剛度的影響的理論研究報(bào)道甚少。鑒于此,本文對(duì)電容式盤(pán)結(jié)構(gòu)諧振器受徑向靜電力和縱向慣性力下的形變量以及電氣剛度的改變量進(jìn)行了系統(tǒng)的理論分析。研究結(jié)果表明,當(dāng)圓盤(pán)與電極間隙為50 nm,且電壓達(dá)到50 V時(shí),圓盤(pán)由于靜電力產(chǎn)生的徑向形變量可達(dá)間隙的2.05%,電氣剛度改變6.15%。當(dāng)圓盤(pán)半徑為100 μm,且受到10 000gn的縱向慣性力時(shí),其最大形變量可以達(dá)到圓盤(pán)厚度的2.4%,電氣剛度改變2.4%。本文分析結(jié)果對(duì)其他盤(pán)結(jié)構(gòu)諧振器的分析亦有重要借鑒意義。

MEMS圓盤(pán)諧振器;靜電力;慣性力;形變量;電氣剛度

微機(jī)電系統(tǒng)MEMS(Micro Electro Mechanical Systems),是微電子技術(shù)的拓寬和延伸,它是將微電子技術(shù)和精密機(jī)械加工技術(shù)相互融合,并將微電子與機(jī)械融為一體的系統(tǒng)。MEMS現(xiàn)已成為全世界增長(zhǎng)最快的市場(chǎng)之一,不斷開(kāi)拓汽車(chē)、醫(yī)學(xué)、航天和軍事市場(chǎng)[1-2]。而對(duì)于MEMS器件的研究是提高其性能的關(guān)鍵因素。在MEMS器件中,圓盤(pán)諧振器由于其頻率高,集成度高,Q值高,功耗小等優(yōu)勢(shì)成為學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一,廣泛應(yīng)用于振蕩器、濾波器等無(wú)線(xiàn)通信系統(tǒng)的元件中[3-4]。

在對(duì)圓盤(pán)諧振器的研究中,電氣剛度引起的靜電彈簧軟化效應(yīng)能使圓盤(pán)諧振頻率發(fā)生微小頻偏。因此,研究電氣剛度對(duì)提高諧振頻率精度,提升諧振器性能尤為重要。Clark T C Nguyen研究了電氣剛度產(chǎn)生原理并分析了它對(duì)圓盤(pán)諧振器諧振頻率偏移的影響[5]。Mehmet Akgul研究了圓盤(pán)諧振器陣列的電氣剛度調(diào)諧機(jī)制來(lái)提高陣列輸出電流[6]。但是他們研究電氣剛度時(shí),沒(méi)有考慮到圓盤(pán)受外界應(yīng)力時(shí),產(chǎn)生的形變會(huì)導(dǎo)致電氣剛度發(fā)生變化。鑒于此,本文分析了圓盤(pán)諧振器受靜電力和外界慣性力時(shí),產(chǎn)生的形變量對(duì)電氣剛度大小的影響。

1 圓盤(pán)諧振器運(yùn)行原理

中心支撐徑向模式圓盤(pán)諧振器原理圖如圖1所示。

圖1 中心支撐徑向模式圓盤(pán)諧振器原理圖

圓盤(pán)諧振器及電極由多晶硅制成。圓盤(pán)通過(guò)底面圓柱形錨懸空在基片上,兩邊電極包圍其圓盤(pán),并通過(guò)狹小的間隙(通常為真空)形成電容式換能器[7-8]。當(dāng)圓盤(pán)本身加載直流偏置電壓V,輸入電極加載與圓盤(pán)一階固有頻率相同的交流小信號(hào)電壓vi時(shí),圓盤(pán)與電極之間產(chǎn)生發(fā)射狀時(shí)變靜電力,使圓盤(pán)徑向擴(kuò)大和縮小。靜電力大小可以表示為[9]

(1)

其中C為圓盤(pán)與輸入電極電容,r為圓盤(pán)徑向形變。圓盤(pán)的這種諧振運(yùn)動(dòng)使輸出電極端產(chǎn)生了時(shí)變電容,進(jìn)而在輸出電極產(chǎn)生交流輸出電流。由于靜電彈簧軟化效應(yīng),圓盤(pán)振動(dòng)時(shí)的諧振頻率小于其固有頻率,其大小可以表示為[10]

(2)

其中f0為諧振頻率,f為固有頻率,mre為圓盤(pán)有效質(zhì)量,km為純機(jī)械剛度,ke為電氣剛度,其大小可以表示為

(3)

其中ε0為真空介電常數(shù),A為圓盤(pán)與電極重疊面積,d為圓盤(pán)與電極初始間隙,R為圓盤(pán)半徑,t為圓盤(pán)厚度。當(dāng)圓盤(pán)的純機(jī)械剛度和有效質(zhì)量不變時(shí),電氣剛度的變化決定了圓盤(pán)諧振頻率精度。

2 徑向靜電力下形變及電氣剛度分析

當(dāng)圓盤(pán)加載直流偏置電壓時(shí),產(chǎn)生的固定靜電力分量能使圓盤(pán)產(chǎn)生一定的徑向形變。此形變會(huì)導(dǎo)致檢測(cè)電容產(chǎn)生一定變化,從而改變電氣剛度大小。根據(jù)式(1)可得,其右邊第一部分靜電力分量與交流小信號(hào)電壓頻率相同,使圓盤(pán)發(fā)生諧振運(yùn)動(dòng)。第二部分為固定靜電力分量,使圓盤(pán)發(fā)生徑向固定形變。而輸出電極與圓盤(pán)之間也有固定的靜電力分量,大小與輸入電極和圓盤(pán)之間的靜電力相等。由于輸入輸出電極幾乎完全包圍圓盤(pán),因此可以認(rèn)為圓盤(pán)橫截面每個(gè)節(jié)點(diǎn)受到相等的固定靜電力。圓盤(pán)受徑向靜電力示意圖如圖2所示。

圖2 圓盤(pán)受徑向靜電力示意圖

現(xiàn)分析圓盤(pán)由于固定靜電力而產(chǎn)生的徑向形變量。由彈性力學(xué)的知識(shí)以及廣義胡克定律可得,當(dāng)圓盤(pán)的半徑為R,楊氏模量為E,泊松比為υ,橫截面受均勻應(yīng)力P時(shí),其平衡方程可以簡(jiǎn)化為[11]

(4)

其中u為徑向形變大小,r為圓盤(pán)某節(jié)點(diǎn)離圓盤(pán)中心的距離。方程邊界條件為圓盤(pán)中心和邊界的應(yīng)力載荷,即當(dāng)r=0時(shí),應(yīng)力σr=0,當(dāng)r=R時(shí),σr=P。通過(guò)廣義胡克定律中應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,可以得到其解為

(5)

對(duì)于MEMS圓盤(pán)諧振器,其驅(qū)動(dòng)力為靜電力,忽略邊緣效應(yīng),其大小為

(6)

當(dāng)靜電力作用于圓盤(pán)時(shí),由于圓盤(pán)橫截面每個(gè)節(jié)點(diǎn)所受靜電力相等,因此,其應(yīng)力P值大小為

(7)

在圓盤(pán)半徑處(r=R),圓盤(pán)的形變量可以表示為

(8)

由式(8)可以得到,圓盤(pán)橫截面上的徑向形變量與所加偏置電壓的平方成正比,與初始間隙的平方成反比,并與圓盤(pán)半徑、材料特性有關(guān),與圓盤(pán)厚度無(wú)關(guān)。此形變量將導(dǎo)致圓盤(pán)與電極初始間隙發(fā)生變化,從而改變了電氣剛度大小。其改變幅度可由ke對(duì)d的一階導(dǎo)數(shù)得到。

(9)

(10)

由式(10)可得,電氣剛度的改變量是圓盤(pán)與電極間隙改變量的3倍。以下通過(guò)ANSYS仿真分析圓盤(pán)在徑向靜電力下的形變量,并由此計(jì)算電氣剛度改變量。表1列出了仿真的圓盤(pán)材料特性及尺寸。

表1 圓盤(pán)諧振器材料特性及尺寸

現(xiàn)分析圓盤(pán)固定尺寸下徑向形變量與所加電壓的關(guān)系。根據(jù)式(8),可得圓盤(pán)邊界形變量與電壓之間的關(guān)系為

通過(guò)有限元仿真可得在不同電壓下圓盤(pán)邊界的形變量,將仿真值與理論值進(jìn)行對(duì)比,其結(jié)果如圖3所示。

圖3 理論值與仿真值形變量分析

上述仿真結(jié)果是以圓盤(pán)右邊界的節(jié)點(diǎn)x方向的形變值作為參考的,其y方向和z方向的形變量由于比較小,忽略不計(jì)。從上圖結(jié)果可知,理論值和仿真值十分得吻合,誤差很小。

實(shí)際上,由于器件的非理想性,理論分析與實(shí)際器件的運(yùn)行有一定的不同:理論分析是基于電極完全包圍圓盤(pán),圓盤(pán)橫截面所有節(jié)點(diǎn)受力相同而得出的。但是實(shí)際中,由于電極不能完全包圍圓盤(pán)(除非圓盤(pán)運(yùn)行在單端模式,圓盤(pán)本身進(jìn)行信號(hào)輸出),導(dǎo)致圓盤(pán)橫截面靜電力分布不均勻,使圓盤(pán)不能理想化地以徑向方向形變。當(dāng)電壓為16 V時(shí),圓盤(pán)徑向形變分布圖如圖4所示。

圖4 圓盤(pán)徑向形變分布圖

在分析提高圓盤(pán)諧振器性能時(shí),可以通過(guò)降低間隙和增加偏置電壓來(lái)降低運(yùn)動(dòng)電阻[12-13]。但這也會(huì)產(chǎn)生較大的徑向形變量,導(dǎo)致電氣剛度的改變不能忽略。由上述理論計(jì)算,當(dāng)間隙降為50 nm,偏置電壓為50 V時(shí),其形變量能達(dá)到間隙的2.05%,電氣剛度改變6.15%。此時(shí),電氣剛度的改變量對(duì)于諧振頻率的影響不能忽略。

3 縱向慣性力下形變及電氣剛度分析

圓盤(pán)諧振器不僅會(huì)在工作時(shí)由于靜電力產(chǎn)生徑向形變,而且會(huì)由于長(zhǎng)期處于慣性條件下而產(chǎn)生形變[14-15],從而改變圓盤(pán)諧振器的電氣剛度。本文根據(jù)圓盤(pán)薄板彎曲理論,研究了圓盤(pán)縱向形變量與所加靜態(tài)縱向慣性加速度的關(guān)系,并以此分析電氣剛度的改變量。

圓盤(pán)薄板彎曲的微分方程可以表示為[16]

D22u=q

(11)

2=++

(12)

D稱(chēng)為薄板的彎曲剛度,其大小可以表示為

(13)

u為板的縱向彎曲形變量,q為外界縱向靜態(tài)慣性載荷。圓盤(pán)受縱向慣性載荷簡(jiǎn)圖如圖5所示。

圖5 圓盤(pán)受縱向慣性載荷簡(jiǎn)圖

由于此次分析的慣性載荷關(guān)于圓盤(pán)圓面軸對(duì)稱(chēng),且載荷為靜力載荷,因此u與θ無(wú)關(guān)。此時(shí)微分方程可以表示為

(14)

根據(jù)圓盤(pán)錨點(diǎn)和邊界條件,可以計(jì)算其解為

(15)

當(dāng)r=R時(shí),圓盤(pán)的形變量最大,其值可以表示為

(16)

對(duì)于添加的慣性載荷,大小可以表示為F=ma,其中m為圓盤(pán)質(zhì)量,其大小為m=ρAt,其中ρ為圓盤(pán)密度。因此,q可以表示為

(17)

將式(13)和式(17)代入式(16),可得

(18)

由式(18)可以得到,圓盤(pán)最大縱向形變量與圓盤(pán)厚度,圓盤(pán)半徑,以及材料特性有關(guān),并與所加慣性加速度成線(xiàn)性正比例關(guān)系。此形變量將導(dǎo)致圓盤(pán)與電極重疊面積發(fā)生變化,從而改變了電氣剛度大小。其改變幅度可由ke對(duì)A的一階導(dǎo)數(shù)得到。

(19)

(20)

由式(20)可得,電氣剛度的改變量和圓盤(pán)與電極重疊面積改變量相等。以下通過(guò)ANSYS仿真分析圓盤(pán)在縱向慣性力下的形變量,并由此計(jì)算電氣剛度改變量。ANSYS可模擬靜態(tài)慣性加速度,當(dāng)a=g時(shí),其圓盤(pán)縱向形變分布圖如圖6所示。

圖6 圓盤(pán)縱向形變分布圖

根據(jù)表1中材料特性及尺寸,可得圓盤(pán)在縱向靜態(tài)慣性加速度下的最大形變量為

1.75×10-14a

對(duì)圓盤(pán)施加不同大小的慣性加速度載荷,可以得到圓盤(pán)邊界不同的最大形變值。把仿真值與理論值進(jìn)行對(duì)比,可得如圖7中的關(guān)系曲線(xiàn)。

圖7 理論值與仿真值的形變量比較

由上述理論分析及仿真結(jié)果可得,圓盤(pán)最大的形變量發(fā)生在圓盤(pán)邊界,其值與所加的慣性加速度成線(xiàn)性正比例關(guān)系。此形變量將使圓盤(pán)與電極重疊面積發(fā)生變化,導(dǎo)致電氣剛度同等程度改變。由上述分析可以得到,當(dāng)圓盤(pán)半徑變?yōu)?00 μm且受到10 000gn的慣性加速度時(shí),圓盤(pán)最大形變量為圓盤(pán)厚度的2.4%,電氣剛度改變2.4%。此時(shí),分析圓盤(pán)諧振器諧振頻率時(shí)此電氣剛度改變量需考慮在內(nèi)。

上述分析是基于圓盤(pán)的錨點(diǎn)是無(wú)窮小的不動(dòng)點(diǎn)的假設(shè)得到的。實(shí)際器件中,錨的有限尺寸會(huì)對(duì)圓盤(pán)的彎曲形變量產(chǎn)生重要影響。圖8顯示了當(dāng)a=g時(shí),圓盤(pán)邊界形變量與錨半徑之間的關(guān)系曲線(xiàn)。此圖表明,增大錨的半徑可以顯著降低圓盤(pán)向下彎曲形變量,從而減小電氣剛度的改變。但是增大錨半徑會(huì)增加從圓盤(pán)到基片的能量損耗,從而降低Q值[17]。因此,在設(shè)計(jì)錨的尺寸時(shí)需同時(shí)考慮對(duì)形變量和Q值的影響。

圖8 圓盤(pán)邊界形變量與錨半徑的關(guān)系曲線(xiàn)

4 靜電力和慣性力同時(shí)作用下的電氣剛度分析

當(dāng)徑向靜電力和縱向慣性力同時(shí)作用于圓盤(pán)諧振器時(shí),若忽略靜電力與慣性力之間的相互作用,電氣剛度的該變量可以表示為

(21)

(22)

(23)

由式(23)以及(20)和(10)可得,諧振器電氣剛度的改變量可以表示為由徑向靜電力和縱向慣性力導(dǎo)致的電氣剛度的改變量的線(xiàn)性疊加。此外,式(23)表明縱向慣性力導(dǎo)致的電氣剛度的降低可以抵消徑向靜電力導(dǎo)致的電氣剛度增加。在實(shí)際諧振頻率測(cè)量中,當(dāng)圓盤(pán)諧振器處于振動(dòng)環(huán)境時(shí),若所加電壓一定,可以得到其諧振頻率隨著縱向慣性力的增加而增加。當(dāng)所加慣性力一定時(shí),其諧振頻率隨著偏置電壓的增加而減小。并且由于固定徑向靜電力的形變作用,其諧振頻率減小幅度將越來(lái)越大。

5 結(jié)論

本文分析了圓盤(pán)諧振器受徑向靜電力和縱向慣性力作用下的形變量,得到了徑向形變量與所加電壓以及縱向形變量與慣性加速度之間的關(guān)系曲線(xiàn),并以此研究電氣剛度的改變大小。當(dāng)圓盤(pán)受到徑向靜電力時(shí),其邊界形變量會(huì)隨著間隙的降低以及電壓的增加而顯著增加。當(dāng)間隙降為50 nm且電壓達(dá)到50 V時(shí),其徑向形變量可以達(dá)到間隙的2.05%,電氣剛度改變6.15%。當(dāng)圓盤(pán)受到縱向慣性力時(shí),其邊界形變量最大,其值與所加慣性加速度成線(xiàn)性正比例關(guān)系。對(duì)于半徑為100 μm的圓盤(pán),當(dāng)慣性加速度為10 000gn時(shí),其最大形變量可以達(dá)到圓盤(pán)厚度的2.4%,電氣剛度改變2.4%。最后,本文分析了圓盤(pán)諧振器同時(shí)受到徑向靜電力和縱向慣性力時(shí)的電氣剛度改變量,得到了實(shí)際測(cè)量中圓盤(pán)諧振器諧振頻率的變化與偏置電壓和慣性力大小的關(guān)系。由于電氣剛度決定了圓盤(pán)諧振器諧振頻率精度,而圓盤(pán)受力下的形變使電氣剛度發(fā)生變化,因此本文結(jié)論可為未來(lái)設(shè)計(jì)高頻率精度的電容式盤(pán)結(jié)構(gòu)諧振器提供依據(jù)。

[1] 亢春梅,曹金名,劉光輝,等.國(guó)外MEMS技術(shù)的現(xiàn)狀及其在軍事領(lǐng)域中的應(yīng)用[J].傳感器技術(shù),2002,21(6):4-7.

[2]賈英茜,趙正平,楊擁軍,等.電容式RF MEMS諧振器[J].微納電子技術(shù),2010,47(2):99-104.

[3]孫鳳鳴,傅星,朱振宇,等.基于MEMS的微位移傳感器及其應(yīng)用研究[J].傳感技術(shù)學(xué)報(bào),2013,26(2):293-296.

[4]董自強(qiáng),趙博韜,石國(guó)超,等.一種超寬帶MEMS開(kāi)關(guān)的研制[J].傳感技術(shù)學(xué)報(bào),2014(3):312-315.

[5]Jing Wang,Ren Z,Nguyen C T C,et al.1.156-GHz Self-Aligned Vibrating Micromechanical Disk Resonator[J].IEEE Transactions on Ultrasonics,Ferroelectrics,and Frequency Control,2004,51(12):1607-1628.

[6]Mehmet Akgul Z R,Clark T C Nguyen.Voltage-Controlled Tuning to Optimize MEMS Resonator Arry-Composite Output Power[C]//Frequency Control and the European Frequency and Time Forum(FCS),2011:1-6.

[7]John R Clark,Wan-Thai Hsu,Mohamed A Abdelmoneum,et al.High-Q UHF Micromechanical Radial-Contour Mode Disk Resonators[J].Journal of Microelectromechanical Systems,2005,14(6):1298-1310.

[8]Abdelmoneum M A,Demieci M U,Nguyen T C.Stemless Wine-Glass-Mode Disk Micromechanical Resonators[C]//Proc of IEEE Int MEMS Conf,2003:698-701.

[9]趙劍,王洪喜,賈建援,等.計(jì)及邊緣效應(yīng)的靜電驅(qū)動(dòng)微結(jié)構(gòu)靜電力計(jì)算[J].微納電子技術(shù),2006,43(2):95-97.

[10]Bongsang Kim,Akgul M,Yang lin,et al.Acceleration Sensitivity of Small-Gap Capacitive Micromechanical Resonator Oscillators[C]//Frequency Control Symposium(FCS),2010:273-278.

[11]楊桂通.彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程[M].清華大學(xué)出版社,2006:86-89.

[12]Akgul M,Bongsang Kim.Oscillator Far-From-Carrier Phase Noise Reduction via Nano-Scale Gap Tuning of Micromechanical Resonators[C]//Solid-State Sensors,Actuators and Microsystems Conference,2009:798-801.

[13]Mustafa U Demirci,Clark T C Nguyen.Mechanically Corner-Coupled Square Microresonator Array for Reduced Series Motional Resistance[J].Journal of Microelectromechanical Systems,2006,15(6):1419-1436.[14]Lou Wenzhong,Song Renlong,Liu Yunjian.A Novel Multi-Direction High Shock Reliability Test on MEMS Devices[C]//Proceedings of the 2009 4th IEEE International Conference on Nano/Micro Engineered and Molecular Systems,Shenzhen,IEEE,2009:261-264.[15]崔九征,孫博,馮強(qiáng),等.強(qiáng)沖擊條件下MEMS封裝可靠性有限元分析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2011,47(24):177-185.

[16]陳明祥.彈塑性力學(xué)[M].科學(xué)出版社,2006:130-134.

[17]Li Sheng-Shian,Lin Yu-Wei,Xie Yuan,et al.Micromechanical“hollow-disk”ring resonators[C]//Micro Electro Mechanical Systems,2004.17th IEEE International Conference on.(MEMS).2004:821-824.

董林璽(1976-),男,博士,研究員,碩士生導(dǎo)師,主要從事超高精度MEMS傳感技術(shù)、RF MEMS器件、NEMS諧振器等方面的研究,已發(fā)表SCI/EI收錄論文二十余篇,donglinxi@hdu.edu.cn;

俞權(quán)(1990-),男,碩士,主要從事MEMS諧振器的研究;1024080438@qq.com。

AnalysisofImpactofDeformationonElectricalStiffnessforMEMSDiskResonator*

DONGLinxi1,2*,YUquan1,BAOJinyan1,TAOJiaping1

(1.The Key Laboratory of RF Circuits and System of Ministry of Education,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou 310018,China;2.State Key Laboratory of Transducer Technology,Chinese Academy of Sciences,Shanghai 200050,China)

Electrical stiffness is one of the factors that affect the resonant frequency accuracy of MEMS resonator.But there are few reports on the study of the impact of deformation on the electrical stiffness when the resonator is under the stress.Therefore,the deformation under the radial electrostatic force and longitudinal inertial force,and the variation on the electrical stiffness of capacitive disk resonator are systematically analyzed in this paper.The results show that when the gap between the disk and electrodes is 50 nm,and the voltage reaches 50 V,the radial deformation due to the electrostatic force can be 2.05% of the gap and the electrical stiffness changes 6.15%.When the longitudinal inertial force of 10 000gnis supplied,if the radius of disk is 100 μm,the biggest deformation can be 2.4% of the disk thickness and the electrical stiffness changes 2.4%.The results of this paper also have important references for other disk resonators.

MEMS disk resonator;electrostatic force;inertial force;deformation;electrical stiffness

項(xiàng)目來(lái)源:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60506015);浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Y107105);GHz頻率機(jī)械耦合陣列組合的盤(pán)結(jié)構(gòu)電容式微機(jī)械諧振器關(guān)鍵技術(shù)研究項(xiàng)目(61376117);規(guī)模集成振動(dòng)微機(jī)械諧振器的靜電調(diào)諧技術(shù)研究項(xiàng)目(LY13F040004)

2014-02-28修改日期:2014-05-26

10.3969/j.issn.1004-1699.2014.07.006

TP212

:A

:1004-1699(2014)07-0881-05