高永毅，唐 果，萬(wàn) 文

(湖南科技大學(xué),1.物理與電子科學(xué)學(xué)院 2.數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3、能源與安全工程學(xué)院,湖南 湘潭 411201)

殘余應(yīng)力問(wèn)題是目前國(guó)內(nèi)外機(jī)械制造、加工工程研究領(lǐng)域的重點(diǎn)研究問(wèn)題之一,已有不少關(guān)于殘余應(yīng)力研究的文獻(xiàn)資料；其研究主要是在殘余應(yīng)力的試驗(yàn)測(cè)定[1]、評(píng)估與評(píng)價(jià)[2]、數(shù)值模擬[3]、有限元分析[4]和消除方法[5]等方面,而從理論上討論殘余應(yīng)力對(duì)構(gòu)件固有參數(shù)影響的文獻(xiàn)還很少見(jiàn)到。本文作者在文獻(xiàn)[6]中以軸焊縫存在殘余應(yīng)力的矩形薄板為例,建立其殘余應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型；疊加矩形薄板各階振型函數(shù)構(gòu)成其位移模式,獲得以振型函數(shù)疊加系數(shù)表示的存在殘余應(yīng)力時(shí)四邊簡(jiǎn)支矩形薄板固有頻率一種計(jì)算方法；該方法計(jì)算麻煩,反應(yīng)問(wèn)題不直觀,很難在實(shí)際中應(yīng)用。所以本文將仍以對(duì)接焊接殘余應(yīng)力為研究對(duì)象,研究一種簡(jiǎn)單、方便和實(shí)用的具有對(duì)接焊接殘余應(yīng)力的矩形薄板固有頻率計(jì)算方法；并在該方法的基礎(chǔ)上分析討論焊接殘余應(yīng)力對(duì)矩形薄板固有頻率的影響。本文的研究將對(duì)殘余應(yīng)力的評(píng)估和判斷以及振動(dòng)時(shí)效的研究有很大的幫助。

1 具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的振動(dòng)微分方程

圖1 矩形薄板

討論如圖1所示的邊長(zhǎng)為a,b的等厚矩形薄板。假設(shè)有沿x軸的焊縫；因此有殘余應(yīng)力分布在板內(nèi)。該殘余應(yīng)力的分布,由參考文獻(xiàn)[7]測(cè)出。參考文獻(xiàn)[6]在參考文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上,建立了該殘余應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中：F,G為幅值；σx表示平行于x軸,即平行接合方向的殘余應(yīng)力；σy表示垂直于x軸,即垂直于接合方向的殘余應(yīng)力。

根據(jù)文獻(xiàn)[8],薄板振動(dòng)微分方程為

(2)

當(dāng)板彎曲時(shí)在板內(nèi)與x軸平行和垂直的殘余應(yīng)力有z方向的分量,參考文獻(xiàn)[6]得出了殘余應(yīng)力在z方向所產(chǎn)生的單位面積力q為

(3)

將式(3)代入式(2)得考慮殘余應(yīng)力影響的振動(dòng)微分方程為

(4)

式(4)為具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的振動(dòng)微分方程。

2 具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板固有頻率的計(jì)算方法

2.1 計(jì)算方法

設(shè)圖1所示的矩形簿板四邊為簡(jiǎn)支邊,其邊界條件為

(5)

因此,取滿(mǎn)足邊界條件的位移模式為[4-5]：

w(x,y,t)=T(t)W(x,y)

(6)

其中：

(7)

由Galerkin原理有：

(8)

將式(3)、(6)、(7)代入式(8)積分可得：

(9)

式(9)為具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的自由振動(dòng)方程。

由式(9)可得振型函數(shù)(7)所對(duì)應(yīng)的固有頻率為

(10)

在彈性力學(xué)中已得出沒(méi)有殘余應(yīng)力時(shí)四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的振型函數(shù)為

(11)

對(duì)應(yīng)的固有頻率公式為

(12)

將式(7)和式(11)、式(10)和式(12)比較可知,式(7)是具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的第一階振型函數(shù),式(10)是m=1,n=1所對(duì)應(yīng)的第一階固有頻率。由于式(11)給出的各階振型函數(shù)都滿(mǎn)足式(5)給出的邊界條件,所以分別取式(11)對(duì)應(yīng)的各階振型函數(shù)為式(7),并將式(3)、(6)、(7)代入式(8)積分可得各階振型函數(shù)所對(duì)應(yīng)的具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的自由振動(dòng)方程和固有頻率,例如：當(dāng)m=2,n=1時(shí),對(duì)應(yīng)的式(7)為

(13)

將式(3)、(6)、(13)代入式(8)積分可得：

(14)

式(14)是當(dāng)振型函數(shù)為式(13)時(shí),具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的自由振動(dòng)方程。

由式(14)可得振型函數(shù)式(13)所對(duì)應(yīng)的固有頻率為

(15)

當(dāng)m=1,n=3時(shí),對(duì)應(yīng)的式(7)為

(16)

將式(3)、(6)、(16)代入式(8)積分可得：

(17)

式(17)是當(dāng)振型函數(shù)為式(16)時(shí),具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的自由振動(dòng)方程。

由式(17)可得振型函數(shù)式(16)所對(duì)應(yīng)的固有頻率為

(18)

以此類(lèi)推可以得出具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的各階固有頻率。由此得出了具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的固有頻率計(jì)算方法,即：分別取沒(méi)有殘余應(yīng)力時(shí)矩形薄板的各階振型函數(shù)構(gòu)成其位移模式,然后利用Galerkin原理獲得各階振型函數(shù)所對(duì)應(yīng)的具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的自由振動(dòng)方程,最后得出其固有頻率。

2.2 焊接殘余應(yīng)力對(duì)矩形簿板固有頻率的影響分析

將式(10)、(15)和(18)與式(12)比較可知焊接殘余應(yīng)力對(duì)矩形簿板m=1,n=1對(duì)應(yīng)的第一階固有頻率的影響部分為

(19)

與m=2,n=1對(duì)應(yīng)的固有頻率的影響部分為：

(20)

與m=1,n=3對(duì)應(yīng)的固有頻率的影響部分為：

(21)

取與參考文獻(xiàn)(6)相同的參數(shù)a=b=1 m，h=0.004 m，E=200×109N/m2，ρ=7.7×103kg/m3，μ=0.3,F=39.2×106N/m2，G=19.6×106N/m2。利用式(12)可以計(jì)算出沒(méi)有殘余應(yīng)力影響時(shí)矩形簿板各階固有頻率；利用式(10)、(15)、(18)有殘余應(yīng)力影響時(shí)矩形簿板各階固有頻率；具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 矩形薄板(1 000 mm×1 000 mm×4 mm)理論計(jì)算結(jié)果

將表1的計(jì)算結(jié)果與參考文獻(xiàn)(6)的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較,其結(jié)果基本一致,所體現(xiàn)出的規(guī)律也是一致的,從而驗(yàn)證了本文提出的具有焊接殘余應(yīng)力的矩形簿板固有頻率計(jì)算方法是正確的。

3 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)式(19)、(20)和(21)以及表1的理論計(jì)算結(jié)果的分析可得出如下結(jié)論:

(1)得出了計(jì)算具有對(duì)接焊接殘余應(yīng)力的矩形薄板固有頻率的簡(jiǎn)單實(shí)用的方法。

(2)與無(wú)焊接殘余應(yīng)力矩形簿板比較,具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的各階固有頻率都可能增加,其對(duì)應(yīng)的幅頻特性曲線將發(fā)生右移。

(3)殘余應(yīng)力越大,矩形簿板固有頻率變化越大。

(4)階數(shù)m、n越高,矩形簿板固有頻率受殘余應(yīng)力影響越大。

(5)在相同殘余應(yīng)力的條件下,材料密度越大的矩形簿板固有頻率受殘余應(yīng)力的影響越小。

(6)在相同殘余應(yīng)力和材料不變的條件下,尺寸a、b越大的矩形簿板固有頻率受殘余應(yīng)力的影響越小。

由所得出的結(jié)論(1)、(2)可知,當(dāng)消除殘余應(yīng)力后,矩形簿板固有頻率將減少,其幅頻特性曲線將發(fā)生左移；這就是為什么在振動(dòng)時(shí)效后,判斷是否有效果必須看固有頻率是否左移的原因。

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