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        小小思想 引領(lǐng)方法

        2014-09-04 11:07:24賈彬
        初中生世界·七年級(jí) 2014年8期
        關(guān)鍵詞:質(zhì)數(shù)平行線交點(diǎn)

        賈彬

        證明有利于培養(yǎng)人的思維品質(zhì),培養(yǎng)人的推理意識(shí),形成分析事物之間因果聯(lián)系的習(xí)慣;有利于培養(yǎng)人的優(yōu)化意識(shí),形成從事物發(fā)展的眾多可能性中尋找最佳可能性的習(xí)慣;使人思考問題更合乎邏輯,更嚴(yán)密精確,更深入簡(jiǎn)潔,更善于創(chuàng)造……

        數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn),是數(shù)學(xué)的行為方式,具有模式化與可操作性的特征,可以選用作為解題的具體手段. 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂,它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得.

        證明中的邏輯推理離不開數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)思想有助于尋找邏輯推理的依據(jù)和途徑.

        二、 分類討論思想

        例2 小明是一個(gè)數(shù)學(xué)迷. 一天,他與同學(xué)一起研究質(zhì)數(shù)時(shí)得到這樣一個(gè)猜想:“若P為質(zhì)數(shù),P 3+5也為質(zhì)數(shù),則P 5+7一定為合數(shù). ”你能肯定他的這個(gè)猜想是正確的嗎?

        【思路分析】我們不妨從質(zhì)數(shù)的分類(奇質(zhì)數(shù)、偶質(zhì)數(shù))入手,將質(zhì)數(shù)分為奇質(zhì)數(shù)和偶質(zhì)數(shù)兩類來思考. 若P為奇質(zhì)數(shù),則P 3為奇數(shù),可得P 3≥27,∴P 3+5≥32,即P 3+5為大于或等于32的偶質(zhì)數(shù),這是不存在的,則P為偶質(zhì)數(shù),則P=2,∴P 5+7=39為一個(gè)合數(shù),問題變得很簡(jiǎn)單了.

        三、 轉(zhuǎn)化思想

        1. 將非常規(guī)圖形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決.

        (2) 連接AD,構(gòu)造出兩個(gè)第(1)小題的基本圖形,將陌生未知的第(2)小題轉(zhuǎn)化為已知的第(1)小題的結(jié)論來解決,由第(1)小題的結(jié)論可知∠F+∠2+∠3=∠DEF,∠1+∠4+∠C=∠ABC,兩式相加即可得出結(jié)論.

        【規(guī)律總結(jié)】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出三角形是解答第(1)小題的關(guān)鍵. 而第(2)小題構(gòu)造出第(1)小題中的基本圖形,可直接運(yùn)用第(1)小題中的結(jié)論解決問題.另外,在有關(guān)計(jì)算角度的問題中,要靈活運(yùn)用外角知識(shí),構(gòu)建圖中各角之間的聯(lián)系,使角度計(jì)算問題得以順利解決.

        四、 數(shù)學(xué)建模思想

        例5 地面上有10條公路(假設(shè)公路是筆直的,并且可以無限延伸),無任何三條公路交于同一個(gè)岔口,現(xiàn)有31位交警剛好滿足每個(gè)岔口有且只有一位交警執(zhí)勤,請(qǐng)你畫出公路的示意圖.

        【思路分析】把公路抽象成10條直線,岔口抽象成點(diǎn),由交警的人數(shù)及題意可知這10條直線剛好有31個(gè)交點(diǎn),而平面上的10條直線,若兩兩相交,最多可出現(xiàn)45個(gè)交點(diǎn)(=45),按題目要求只出現(xiàn)了31個(gè)交點(diǎn),即要減少14個(gè)交點(diǎn),通常有如下兩種方法:①多條直線共點(diǎn);②出現(xiàn)平行線.

        其中①不符合題意,故考慮方法②. 若在同一方向上有5條直線互相平行,則可減少10個(gè)交點(diǎn),若有6條直線平行,則可減少15個(gè)交點(diǎn),故在這個(gè)方向上最多可取5條平行線,這時(shí)還需要減去4個(gè)點(diǎn),轉(zhuǎn)一個(gè)方向取3條平行線,即可減少3個(gè)交點(diǎn),這時(shí)還剩下2條直線和1個(gè)需要減去的點(diǎn),只需讓其在第三個(gè)方向上互相平行. 如圖7所示的三組平行線即為所求公路的示意圖.

        【規(guī)律總結(jié)】

        1. 平面上n條直線,最多有n(n-1)個(gè)交點(diǎn);

        2. 平面內(nèi)兩直線不相交則平行,是兩直線平行的又一判定方法.

        3. 很多實(shí)際問題可以通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來解決.

        (作者單位:江蘇省無錫市江南中學(xué))

        證明有利于培養(yǎng)人的思維品質(zhì),培養(yǎng)人的推理意識(shí),形成分析事物之間因果聯(lián)系的習(xí)慣;有利于培養(yǎng)人的優(yōu)化意識(shí),形成從事物發(fā)展的眾多可能性中尋找最佳可能性的習(xí)慣;使人思考問題更合乎邏輯,更嚴(yán)密精確,更深入簡(jiǎn)潔,更善于創(chuàng)造……

        數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn),是數(shù)學(xué)的行為方式,具有模式化與可操作性的特征,可以選用作為解題的具體手段. 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂,它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得.

        證明中的邏輯推理離不開數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)思想有助于尋找邏輯推理的依據(jù)和途徑.

        二、 分類討論思想

        例2 小明是一個(gè)數(shù)學(xué)迷. 一天,他與同學(xué)一起研究質(zhì)數(shù)時(shí)得到這樣一個(gè)猜想:“若P為質(zhì)數(shù),P 3+5也為質(zhì)數(shù),則P 5+7一定為合數(shù). ”你能肯定他的這個(gè)猜想是正確的嗎?

        【思路分析】我們不妨從質(zhì)數(shù)的分類(奇質(zhì)數(shù)、偶質(zhì)數(shù))入手,將質(zhì)數(shù)分為奇質(zhì)數(shù)和偶質(zhì)數(shù)兩類來思考. 若P為奇質(zhì)數(shù),則P 3為奇數(shù),可得P 3≥27,∴P 3+5≥32,即P 3+5為大于或等于32的偶質(zhì)數(shù),這是不存在的,則P為偶質(zhì)數(shù),則P=2,∴P 5+7=39為一個(gè)合數(shù),問題變得很簡(jiǎn)單了.

        三、 轉(zhuǎn)化思想

        1. 將非常規(guī)圖形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決.

        (2) 連接AD,構(gòu)造出兩個(gè)第(1)小題的基本圖形,將陌生未知的第(2)小題轉(zhuǎn)化為已知的第(1)小題的結(jié)論來解決,由第(1)小題的結(jié)論可知∠F+∠2+∠3=∠DEF,∠1+∠4+∠C=∠ABC,兩式相加即可得出結(jié)論.

        【規(guī)律總結(jié)】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出三角形是解答第(1)小題的關(guān)鍵. 而第(2)小題構(gòu)造出第(1)小題中的基本圖形,可直接運(yùn)用第(1)小題中的結(jié)論解決問題.另外,在有關(guān)計(jì)算角度的問題中,要靈活運(yùn)用外角知識(shí),構(gòu)建圖中各角之間的聯(lián)系,使角度計(jì)算問題得以順利解決.

        四、 數(shù)學(xué)建模思想

        例5 地面上有10條公路(假設(shè)公路是筆直的,并且可以無限延伸),無任何三條公路交于同一個(gè)岔口,現(xiàn)有31位交警剛好滿足每個(gè)岔口有且只有一位交警執(zhí)勤,請(qǐng)你畫出公路的示意圖.

        【思路分析】把公路抽象成10條直線,岔口抽象成點(diǎn),由交警的人數(shù)及題意可知這10條直線剛好有31個(gè)交點(diǎn),而平面上的10條直線,若兩兩相交,最多可出現(xiàn)45個(gè)交點(diǎn)(=45),按題目要求只出現(xiàn)了31個(gè)交點(diǎn),即要減少14個(gè)交點(diǎn),通常有如下兩種方法:①多條直線共點(diǎn);②出現(xiàn)平行線.

        其中①不符合題意,故考慮方法②. 若在同一方向上有5條直線互相平行,則可減少10個(gè)交點(diǎn),若有6條直線平行,則可減少15個(gè)交點(diǎn),故在這個(gè)方向上最多可取5條平行線,這時(shí)還需要減去4個(gè)點(diǎn),轉(zhuǎn)一個(gè)方向取3條平行線,即可減少3個(gè)交點(diǎn),這時(shí)還剩下2條直線和1個(gè)需要減去的點(diǎn),只需讓其在第三個(gè)方向上互相平行. 如圖7所示的三組平行線即為所求公路的示意圖.

        【規(guī)律總結(jié)】

        1. 平面上n條直線,最多有n(n-1)個(gè)交點(diǎn);

        2. 平面內(nèi)兩直線不相交則平行,是兩直線平行的又一判定方法.

        3. 很多實(shí)際問題可以通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來解決.

        (作者單位:江蘇省無錫市江南中學(xué))

        證明有利于培養(yǎng)人的思維品質(zhì),培養(yǎng)人的推理意識(shí),形成分析事物之間因果聯(lián)系的習(xí)慣;有利于培養(yǎng)人的優(yōu)化意識(shí),形成從事物發(fā)展的眾多可能性中尋找最佳可能性的習(xí)慣;使人思考問題更合乎邏輯,更嚴(yán)密精確,更深入簡(jiǎn)潔,更善于創(chuàng)造……

        數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn),是數(shù)學(xué)的行為方式,具有模式化與可操作性的特征,可以選用作為解題的具體手段. 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂,它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得.

        證明中的邏輯推理離不開數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)思想有助于尋找邏輯推理的依據(jù)和途徑.

        二、 分類討論思想

        例2 小明是一個(gè)數(shù)學(xué)迷. 一天,他與同學(xué)一起研究質(zhì)數(shù)時(shí)得到這樣一個(gè)猜想:“若P為質(zhì)數(shù),P 3+5也為質(zhì)數(shù),則P 5+7一定為合數(shù). ”你能肯定他的這個(gè)猜想是正確的嗎?

        【思路分析】我們不妨從質(zhì)數(shù)的分類(奇質(zhì)數(shù)、偶質(zhì)數(shù))入手,將質(zhì)數(shù)分為奇質(zhì)數(shù)和偶質(zhì)數(shù)兩類來思考. 若P為奇質(zhì)數(shù),則P 3為奇數(shù),可得P 3≥27,∴P 3+5≥32,即P 3+5為大于或等于32的偶質(zhì)數(shù),這是不存在的,則P為偶質(zhì)數(shù),則P=2,∴P 5+7=39為一個(gè)合數(shù),問題變得很簡(jiǎn)單了.

        三、 轉(zhuǎn)化思想

        1. 將非常規(guī)圖形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決.

        (2) 連接AD,構(gòu)造出兩個(gè)第(1)小題的基本圖形,將陌生未知的第(2)小題轉(zhuǎn)化為已知的第(1)小題的結(jié)論來解決,由第(1)小題的結(jié)論可知∠F+∠2+∠3=∠DEF,∠1+∠4+∠C=∠ABC,兩式相加即可得出結(jié)論.

        【規(guī)律總結(jié)】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出三角形是解答第(1)小題的關(guān)鍵. 而第(2)小題構(gòu)造出第(1)小題中的基本圖形,可直接運(yùn)用第(1)小題中的結(jié)論解決問題.另外,在有關(guān)計(jì)算角度的問題中,要靈活運(yùn)用外角知識(shí),構(gòu)建圖中各角之間的聯(lián)系,使角度計(jì)算問題得以順利解決.

        四、 數(shù)學(xué)建模思想

        例5 地面上有10條公路(假設(shè)公路是筆直的,并且可以無限延伸),無任何三條公路交于同一個(gè)岔口,現(xiàn)有31位交警剛好滿足每個(gè)岔口有且只有一位交警執(zhí)勤,請(qǐng)你畫出公路的示意圖.

        【思路分析】把公路抽象成10條直線,岔口抽象成點(diǎn),由交警的人數(shù)及題意可知這10條直線剛好有31個(gè)交點(diǎn),而平面上的10條直線,若兩兩相交,最多可出現(xiàn)45個(gè)交點(diǎn)(=45),按題目要求只出現(xiàn)了31個(gè)交點(diǎn),即要減少14個(gè)交點(diǎn),通常有如下兩種方法:①多條直線共點(diǎn);②出現(xiàn)平行線.

        其中①不符合題意,故考慮方法②. 若在同一方向上有5條直線互相平行,則可減少10個(gè)交點(diǎn),若有6條直線平行,則可減少15個(gè)交點(diǎn),故在這個(gè)方向上最多可取5條平行線,這時(shí)還需要減去4個(gè)點(diǎn),轉(zhuǎn)一個(gè)方向取3條平行線,即可減少3個(gè)交點(diǎn),這時(shí)還剩下2條直線和1個(gè)需要減去的點(diǎn),只需讓其在第三個(gè)方向上互相平行. 如圖7所示的三組平行線即為所求公路的示意圖.

        【規(guī)律總結(jié)】

        1. 平面上n條直線,最多有n(n-1)個(gè)交點(diǎn);

        2. 平面內(nèi)兩直線不相交則平行,是兩直線平行的又一判定方法.

        3. 很多實(shí)際問題可以通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來解決.

        (作者單位:江蘇省無錫市江南中學(xué))

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