陳珊芳

本章主要學(xué)習(xí)定義、命題、定理以及逆命題、互逆命題等概念，要求從基本事實(shí)出發(fā)，證明有關(guān)圖形得出結(jié)論，這也是同學(xué)們能否學(xué)好幾何的關(guān)鍵內(nèi)容. 為了幫助同學(xué)們學(xué)好這一章，下面逐一剖析本章的三個(gè)難點(diǎn).

難點(diǎn)一：原命題、逆命題的理解

一些命題的條件與結(jié)論很清晰，而它的逆命題也只要交換它的條件與結(jié)論的位置即可推出，但是，如果一些命題的條件和結(jié)論不清晰，同學(xué)們對條件與結(jié)論就認(rèn)識(shí)不清，容易對學(xué)習(xí)造成一定的困擾.

例1 寫出下列命題的逆命題：

①對頂角相等；

②等角的補(bǔ)角相等；

③互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零.

【分析】為了分清命題的條件與結(jié)論，可以把命題改寫成“如果……，那么……”的形式，再把條件與結(jié)論的位置互換，即可得出逆命題.

改寫原命題：①如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等；③如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和為零.

得出逆命題：①如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角（或相等的兩個(gè)角是對頂角）；②如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角；③如果兩個(gè)數(shù)的和為零，那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】要寫出原命題的逆命題，關(guān)鍵是分清原命題的條件與結(jié)論. 如果條件與結(jié)論不明顯可以采用 “如果…，那么…”的形式來加以分析.

難點(diǎn)二：互逆命題的真假辨析

真、假命題的辨析關(guān)鍵是要充分理解一些定義、定理. 如平行線的性質(zhì)與判斷、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系等等. 而真、假命題的正確辨析則是判斷互逆命題真假的重要依據(jù). 命題④根據(jù)概念可知原命題、逆命題均為真命題. 故正確答案為A.

【點(diǎn)評(píng)】要判斷一個(gè)命題是真命題，必須要進(jìn)行證明，但若要判斷一個(gè)命題是假命題，則只要舉一個(gè)反例即可，此類題要求對題目中涉及的定義、概念能正確理解.

難點(diǎn)三：推理能力的培養(yǎng)

在了解了定義、定理的基礎(chǔ)上，要完成證明的過程，還必須注重對推理能力的培養(yǎng)，同學(xué)們只有具備了一定的合情推理、演繹推理能力才能說學(xué)好了這個(gè)章節(jié). 學(xué)習(xí)過程中推理能力的培養(yǎng)要遵循小步子、多層次的原則，按由易到難、由淺入深逐步進(jìn)行.

（一） 因果邏輯的形成

數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，因此我們在學(xué)習(xí)中應(yīng)該關(guān)注一些生活中趣味性強(qiáng)的例子，來幫助我們打開因果邏輯的大門.

例3 有一天，某集市一珠寶店發(fā)生了一起盜竊案，經(jīng)過了兩個(gè)多月的偵查，查明作案人肯定是A、B、C、D中的一個(gè)，在審訊中，這四個(gè)人有這樣的口供：

A說：“珠寶被盜的那天，我在別的城市. 所以，我不可能作案. ”

B說：“D是罪犯.”

C說：“B是罪犯，三天前我看見他在黑市上賣珠寶.”

D說：“B同我有仇，有意害我，我不是罪犯. ”

經(jīng)過調(diào)查，這四個(gè)人中只有一個(gè)人說的是真話，你判斷出罪犯是誰了嗎？

【分析】B說D是罪犯，D說：我不是罪犯，可推理出B和D中有一個(gè)說了真話，因?yàn)锳、B、C、D中只有一個(gè)說了真話，所以A、C都是錯(cuò)的，A說自己不是罪犯，所以，只能A是罪犯了.

【點(diǎn)評(píng)】通過簡單生活中相關(guān)聯(lián)的事例，讓同學(xué)們對推理有一定的認(rèn)識(shí)，明白原來推理是這么一回事，從而為下一步的深入學(xué)習(xí)打下感性認(rèn)識(shí). .

對于第③、④小題，參照第②小題的方法和結(jié)論，可得答案分別是180°的3倍、180°的6倍.

【點(diǎn)評(píng)】（1） 證明時(shí)要注意寫完整該方法所必須滿足的條件，不要漏寫.

（2） 證明時(shí)往往需要通過添加輔助線構(gòu)作輔助圖形，把一個(gè)陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，借助新生成圖形的性質(zhì)及結(jié)論尋找到證明的途徑. 一般來說，證明的方法和途徑不是唯一的，輔助線的添加方法也是多樣的.

例6 小明用如圖7所示的方法畫出了45°的角：作兩條互相垂直的直線MN、PQ，點(diǎn)A、B分別為MN、PQ上任意一點(diǎn)，作∠OAB的角平分線交∠ABP的平分線的反向延長線于點(diǎn)C，則∠C就是所求的45°的角，你認(rèn)為對嗎？請給出證明.

【分析】此題的實(shí)質(zhì)是求△AOB的外角的角平分線與內(nèi)角的角平分線的夾角∠C的度數(shù). 用兩次外角定理加角平分線定理：

【點(diǎn)評(píng)】在做此類證明時(shí)，不僅要學(xué)會(huì)從已知條件出發(fā)向結(jié)論探索，也要學(xué)會(huì)從結(jié)論出發(fā)向已知條件探索，或者從已知條件和結(jié)論兩個(gè)方向相互逼近.

總之，證明的過程是一個(gè)在充分理解的基礎(chǔ)上，綜合應(yīng)用各種方法進(jìn)行推理、演繹的過程. 同學(xué)們要具有一定的想象能力，特別是在使用輔助手段中，要求同學(xué)們能夠靈活處置.

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學(xué)）

本章主要學(xué)習(xí)定義、命題、定理以及逆命題、互逆命題等概念，要求從基本事實(shí)出發(fā)，證明有關(guān)圖形得出結(jié)論，這也是同學(xué)們能否學(xué)好幾何的關(guān)鍵內(nèi)容. 為了幫助同學(xué)們學(xué)好這一章，下面逐一剖析本章的三個(gè)難點(diǎn).

難點(diǎn)一：原命題、逆命題的理解

一些命題的條件與結(jié)論很清晰，而它的逆命題也只要交換它的條件與結(jié)論的位置即可推出，但是，如果一些命題的條件和結(jié)論不清晰，同學(xué)們對條件與結(jié)論就認(rèn)識(shí)不清，容易對學(xué)習(xí)造成一定的困擾.

例1 寫出下列命題的逆命題：

①對頂角相等；

②等角的補(bǔ)角相等；

③互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零.

【分析】為了分清命題的條件與結(jié)論，可以把命題改寫成“如果……，那么……”的形式，再把條件與結(jié)論的位置互換，即可得出逆命題.

改寫原命題：①如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等；③如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和為零.

得出逆命題：①如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角（或相等的兩個(gè)角是對頂角）；②如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角；③如果兩個(gè)數(shù)的和為零，那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】要寫出原命題的逆命題，關(guān)鍵是分清原命題的條件與結(jié)論. 如果條件與結(jié)論不明顯可以采用 “如果…，那么…”的形式來加以分析.

難點(diǎn)二：互逆命題的真假辨析

真、假命題的辨析關(guān)鍵是要充分理解一些定義、定理. 如平行線的性質(zhì)與判斷、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系等等. 而真、假命題的正確辨析則是判斷互逆命題真假的重要依據(jù). 命題④根據(jù)概念可知原命題、逆命題均為真命題. 故正確答案為A.

【點(diǎn)評(píng)】要判斷一個(gè)命題是真命題，必須要進(jìn)行證明，但若要判斷一個(gè)命題是假命題，則只要舉一個(gè)反例即可，此類題要求對題目中涉及的定義、概念能正確理解.

難點(diǎn)三：推理能力的培養(yǎng)

在了解了定義、定理的基礎(chǔ)上，要完成證明的過程，還必須注重對推理能力的培養(yǎng)，同學(xué)們只有具備了一定的合情推理、演繹推理能力才能說學(xué)好了這個(gè)章節(jié). 學(xué)習(xí)過程中推理能力的培養(yǎng)要遵循小步子、多層次的原則，按由易到難、由淺入深逐步進(jìn)行.

（一） 因果邏輯的形成

數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，因此我們在學(xué)習(xí)中應(yīng)該關(guān)注一些生活中趣味性強(qiáng)的例子，來幫助我們打開因果邏輯的大門.

例3 有一天，某集市一珠寶店發(fā)生了一起盜竊案，經(jīng)過了兩個(gè)多月的偵查，查明作案人肯定是A、B、C、D中的一個(gè)，在審訊中，這四個(gè)人有這樣的口供：

A說：“珠寶被盜的那天，我在別的城市. 所以，我不可能作案. ”

B說：“D是罪犯.”

C說：“B是罪犯，三天前我看見他在黑市上賣珠寶.”

D說：“B同我有仇，有意害我，我不是罪犯. ”

經(jīng)過調(diào)查，這四個(gè)人中只有一個(gè)人說的是真話，你判斷出罪犯是誰了嗎？

【分析】B說D是罪犯，D說：我不是罪犯，可推理出B和D中有一個(gè)說了真話，因?yàn)锳、B、C、D中只有一個(gè)說了真話，所以A、C都是錯(cuò)的，A說自己不是罪犯，所以，只能A是罪犯了.

【點(diǎn)評(píng)】通過簡單生活中相關(guān)聯(lián)的事例，讓同學(xué)們對推理有一定的認(rèn)識(shí)，明白原來推理是這么一回事，從而為下一步的深入學(xué)習(xí)打下感性認(rèn)識(shí). .

對于第③、④小題，參照第②小題的方法和結(jié)論，可得答案分別是180°的3倍、180°的6倍.

【點(diǎn)評(píng)】（1） 證明時(shí)要注意寫完整該方法所必須滿足的條件，不要漏寫.

（2） 證明時(shí)往往需要通過添加輔助線構(gòu)作輔助圖形，把一個(gè)陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，借助新生成圖形的性質(zhì)及結(jié)論尋找到證明的途徑. 一般來說，證明的方法和途徑不是唯一的，輔助線的添加方法也是多樣的.

例6 小明用如圖7所示的方法畫出了45°的角：作兩條互相垂直的直線MN、PQ，點(diǎn)A、B分別為MN、PQ上任意一點(diǎn)，作∠OAB的角平分線交∠ABP的平分線的反向延長線于點(diǎn)C，則∠C就是所求的45°的角，你認(rèn)為對嗎？請給出證明.

【分析】此題的實(shí)質(zhì)是求△AOB的外角的角平分線與內(nèi)角的角平分線的夾角∠C的度數(shù). 用兩次外角定理加角平分線定理：

【點(diǎn)評(píng)】在做此類證明時(shí)，不僅要學(xué)會(huì)從已知條件出發(fā)向結(jié)論探索，也要學(xué)會(huì)從結(jié)論出發(fā)向已知條件探索，或者從已知條件和結(jié)論兩個(gè)方向相互逼近.

總之，證明的過程是一個(gè)在充分理解的基礎(chǔ)上，綜合應(yīng)用各種方法進(jìn)行推理、演繹的過程. 同學(xué)們要具有一定的想象能力，特別是在使用輔助手段中，要求同學(xué)們能夠靈活處置.

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學(xué)）

本章主要學(xué)習(xí)定義、命題、定理以及逆命題、互逆命題等概念，要求從基本事實(shí)出發(fā)，證明有關(guān)圖形得出結(jié)論，這也是同學(xué)們能否學(xué)好幾何的關(guān)鍵內(nèi)容. 為了幫助同學(xué)們學(xué)好這一章，下面逐一剖析本章的三個(gè)難點(diǎn).

難點(diǎn)一：原命題、逆命題的理解

一些命題的條件與結(jié)論很清晰，而它的逆命題也只要交換它的條件與結(jié)論的位置即可推出，但是，如果一些命題的條件和結(jié)論不清晰，同學(xué)們對條件與結(jié)論就認(rèn)識(shí)不清，容易對學(xué)習(xí)造成一定的困擾.

例1 寫出下列命題的逆命題：

①對頂角相等；

②等角的補(bǔ)角相等；

③互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零.

【分析】為了分清命題的條件與結(jié)論，可以把命題改寫成“如果……，那么……”的形式，再把條件與結(jié)論的位置互換，即可得出逆命題.

改寫原命題：①如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等；③如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和為零.

得出逆命題：①如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角（或相等的兩個(gè)角是對頂角）；②如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角；③如果兩個(gè)數(shù)的和為零，那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】要寫出原命題的逆命題，關(guān)鍵是分清原命題的條件與結(jié)論. 如果條件與結(jié)論不明顯可以采用 “如果…，那么…”的形式來加以分析.

難點(diǎn)二：互逆命題的真假辨析

真、假命題的辨析關(guān)鍵是要充分理解一些定義、定理. 如平行線的性質(zhì)與判斷、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系等等. 而真、假命題的正確辨析則是判斷互逆命題真假的重要依據(jù). 命題④根據(jù)概念可知原命題、逆命題均為真命題. 故正確答案為A.

【點(diǎn)評(píng)】要判斷一個(gè)命題是真命題，必須要進(jìn)行證明，但若要判斷一個(gè)命題是假命題，則只要舉一個(gè)反例即可，此類題要求對題目中涉及的定義、概念能正確理解.

難點(diǎn)三：推理能力的培養(yǎng)

在了解了定義、定理的基礎(chǔ)上，要完成證明的過程，還必須注重對推理能力的培養(yǎng)，同學(xué)們只有具備了一定的合情推理、演繹推理能力才能說學(xué)好了這個(gè)章節(jié). 學(xué)習(xí)過程中推理能力的培養(yǎng)要遵循小步子、多層次的原則，按由易到難、由淺入深逐步進(jìn)行.

（一） 因果邏輯的形成

數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，因此我們在學(xué)習(xí)中應(yīng)該關(guān)注一些生活中趣味性強(qiáng)的例子，來幫助我們打開因果邏輯的大門.

例3 有一天，某集市一珠寶店發(fā)生了一起盜竊案，經(jīng)過了兩個(gè)多月的偵查，查明作案人肯定是A、B、C、D中的一個(gè)，在審訊中，這四個(gè)人有這樣的口供：

A說：“珠寶被盜的那天，我在別的城市. 所以，我不可能作案. ”

B說：“D是罪犯.”

C說：“B是罪犯，三天前我看見他在黑市上賣珠寶.”

D說：“B同我有仇，有意害我，我不是罪犯. ”

經(jīng)過調(diào)查，這四個(gè)人中只有一個(gè)人說的是真話，你判斷出罪犯是誰了嗎？

【分析】B說D是罪犯，D說：我不是罪犯，可推理出B和D中有一個(gè)說了真話，因?yàn)锳、B、C、D中只有一個(gè)說了真話，所以A、C都是錯(cuò)的，A說自己不是罪犯，所以，只能A是罪犯了.

【點(diǎn)評(píng)】通過簡單生活中相關(guān)聯(lián)的事例，讓同學(xué)們對推理有一定的認(rèn)識(shí)，明白原來推理是這么一回事，從而為下一步的深入學(xué)習(xí)打下感性認(rèn)識(shí). .

對于第③、④小題，參照第②小題的方法和結(jié)論，可得答案分別是180°的3倍、180°的6倍.

【點(diǎn)評(píng)】（1） 證明時(shí)要注意寫完整該方法所必須滿足的條件，不要漏寫.

（2） 證明時(shí)往往需要通過添加輔助線構(gòu)作輔助圖形，把一個(gè)陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，借助新生成圖形的性質(zhì)及結(jié)論尋找到證明的途徑. 一般來說，證明的方法和途徑不是唯一的，輔助線的添加方法也是多樣的.

例6 小明用如圖7所示的方法畫出了45°的角：作兩條互相垂直的直線MN、PQ，點(diǎn)A、B分別為MN、PQ上任意一點(diǎn)，作∠OAB的角平分線交∠ABP的平分線的反向延長線于點(diǎn)C，則∠C就是所求的45°的角，你認(rèn)為對嗎？請給出證明.

【分析】此題的實(shí)質(zhì)是求△AOB的外角的角平分線與內(nèi)角的角平分線的夾角∠C的度數(shù). 用兩次外角定理加角平分線定理：

【點(diǎn)評(píng)】在做此類證明時(shí)，不僅要學(xué)會(huì)從已知條件出發(fā)向結(jié)論探索，也要學(xué)會(huì)從結(jié)論出發(fā)向已知條件探索，或者從已知條件和結(jié)論兩個(gè)方向相互逼近.

總之，證明的過程是一個(gè)在充分理解的基礎(chǔ)上，綜合應(yīng)用各種方法進(jìn)行推理、演繹的過程. 同學(xué)們要具有一定的想象能力，特別是在使用輔助手段中，要求同學(xué)們能夠靈活處置.

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學(xué)）