張朝明

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》關(guān)于課程的總目標(biāo)中指出，要讓學(xué)生“學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認(rèn)識；數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題的策略和程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映。人們通常將數(shù)學(xué)思想與方法看成一個(gè)整體概念——數(shù)學(xué)思想方法。在變化中尋找不變的量是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要思想方法 ，它廣泛存在于小學(xué)數(shù)學(xué)之中。下面具體談?wù)勎以谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是怎樣滲透“變與不變”這一思想方法的。

一、在“變與不變”中揭示概念、尋找規(guī)律、歸納性質(zhì)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，簡單枚舉推理（也叫做不完全歸納推理）是運(yùn)用得較多的一種推理方法。即從一些個(gè)別或者特殊事物出發(fā)，概括出一般性概念、規(guī)律或性質(zhì)。很多數(shù)學(xué)結(jié)論，都是先通過歸納推理得到結(jié)果，再輔以演繹推理加以證明。比如，費(fèi)馬達(dá)定理、龐加萊猜想等，幾百年前就發(fā)現(xiàn)了“結(jié)論”，直到20世紀(jì)末21世紀(jì)初才被數(shù)學(xué)界證明。所以很多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為，數(shù)學(xué)結(jié)論是看出來的，而不是證出來的，看出來的數(shù)學(xué)結(jié)果不一定是正確的，但指引了數(shù)學(xué)研究的方向；而且看的過程表現(xiàn)出很大的創(chuàng)造性，這正是數(shù)學(xué)不斷創(chuàng)造新成果的一種重要方式。但問題是，到底該怎么去“看”呢？是否能更快更容易地“看出數(shù)學(xué)結(jié)論”呢？

在教學(xué)中，我將“變與不變”這一隱含的思想外顯，讓學(xué)生在“看”這一活動(dòng)中變得有的放矢。

在變與不變中揭示概念，可以讓學(xué)生更好地抓住概念的本質(zhì)特征。例如： “梯形的認(rèn)識”這一內(nèi)容，不管四條邊的長度怎么變化，四個(gè)角的大小怎么變化，只要抓住“只有一組對邊平行的四邊形”這個(gè)不變的本質(zhì)，就能正確地認(rèn)識“梯形”了。

至于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些規(guī)律或性質(zhì)，幾乎都可以讓“變與不變”來指導(dǎo)我們進(jìn)行歸納概括。例如：在四年級“商不變的性質(zhì)”這一節(jié)課中，學(xué)生在觀察完一系列的算式后發(fā)現(xiàn)：被除數(shù)和除數(shù)變化了，但商不變，那么這里面隱藏了什么性質(zhì)呢？學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出性質(zhì)以后，教師可以適當(dāng)將這種隱性的方法凸顯出來，明確指出以后可以用“什么變了，什么不變，變化的量是按照怎樣的規(guī)律進(jìn)行變化的”模式來進(jìn)行歸納總結(jié)。那么在以后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就會(huì)有意識地按照“變與不變”的方法來觀察和總結(jié)，做到不再盲目，有章可循，使數(shù)學(xué)中隱含的規(guī)律、性質(zhì)更加容易被發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用。

二、在“變與不變”中探討各種公式的由來

平面圖形是小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”這一領(lǐng)域的主要內(nèi)容，在這一內(nèi)容的教學(xué)過程中，我們較多地提到了“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想方法，但很少有老師提出：將圖形轉(zhuǎn)化以后，學(xué)生怎么去“發(fā)現(xiàn)”計(jì)算方法呢？例如：平行四邊形的面積計(jì)算的教學(xué)，學(xué)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形以后，怎樣去觀察發(fā)現(xiàn)呢？我認(rèn)為，抓住“什么變了” 和“什么不變”來探究，就很容易“發(fā)現(xiàn)”平行四邊形的面積計(jì)算公式了。如上所述，如果我們在教學(xué)中有意識地將這種內(nèi)隱的思想方法顯現(xiàn)出來，學(xué)生在推導(dǎo)三角形、梯形、圓的面積計(jì)算公式以及圓柱的體積計(jì)算方法時(shí)，就會(huì)自覺地運(yùn)用這一方法去發(fā)現(xiàn)，去探究。

即便是圓的周長的探討，我認(rèn)為也可以如此。在學(xué)生提出圓的周長與其直徑的長短相關(guān)以后，學(xué)生就會(huì)通過研究幾個(gè)大小不同的圓的周長與直徑來探索圓周率。為了找到其中不變的或者規(guī)律性的東西，學(xué)生會(huì)用這兩組數(shù)據(jù)中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)去相加、相減或相乘、相除，通過這一系列的計(jì)算后才會(huì)發(fā)現(xiàn)，只有周長和直徑相除才可以得到一個(gè)相對不變的商（考慮測量誤差），才能發(fā)現(xiàn)隱藏的規(guī)律。

三、在“變與不變”中解決較復(fù)雜問題

世界上的事物總是在變化著的，而“變化”中又總蘊(yùn)含著“聯(lián)系”和“不變”的因素，從錯(cuò)綜復(fù)雜的“變化”中發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系”和“不變”，往往是我們解決問題的突破口。

如：盈虧問題、立體圖形中等積變化問題、牛吃草問題以及其他較復(fù)雜的計(jì)算問題等，都是學(xué)生感覺比較困難的問題，但是如果學(xué)生學(xué)會(huì)了在變化中尋找不變量，在變化中尋找不變的規(guī)律，就可能會(huì)將問題變得相對簡單。

在高等數(shù)學(xué)中，這樣的例子更多。如拓?fù)鋵W(xué)（以七橋問題為例）正是研究拓?fù)洳蛔兞康膶W(xué)科。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中注意滲透“什么是變的，什么是不變的”這一思想方法，是非常重要的。而且，不僅在數(shù)學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)藏著“變與不變”的思想， 這種變化中的不變問題也普遍存在于生活之中：比如物理學(xué)中的能量守恒定律；比如人臉隨年齡變化，但其基本特征不變的規(guī)律?？梢哉f，“變與不變” 思想不僅僅是一種數(shù)學(xué)思想方法，也是我們在日常生活中分析問題、解決問題的一種常用的思想方法。

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