廖明建，李映輝

（1.中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽621999；2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都610031）

徑向壓力作用下夾層圓板自由振動理論解

廖明建1，李映輝2

（1.中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽621999；2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都610031）

基于小撓度薄板理論，建立徑向均布壓力作用下夾層圓板的振動控制方程。采用分離變量法導(dǎo)出夾層圓板的固有頻率及振型解析式，計算徑向均布壓力作用下周邊固支夾層圓板固有頻率和振型，討論徑向均布壓力和夾心層比率對固有頻率的影響。研究表明夾層圓板的固有頻率隨徑向壓力增大而減小，臨界壓力隨階次的增大而增大；作用徑向壓力的夾層圓板固有頻率隨夾心層比率增大，先緩慢增大，到峰值后減小，該趨勢與無徑向壓力時相同。

振動與波；夾層圓板；固有頻率；徑向均布壓力

本文擬基于小撓度薄板理論，建立徑向均布壓力作用下夾層圓板的振動控制方程，采用分離變量法導(dǎo)出夾層圓板的固有頻率及振型的理論解。在此基礎(chǔ)上，計算周邊固支夾層圓板固有頻率和振型，討論徑向壓力和夾心層厚度對固有頻率的影響。

1 夾層圓板力學(xué)模型

圖1為徑向作用均布壓力P的夾層圓板模型。夾層圓板由上下兩層對稱約束層和夾心層組成。約束層彈性模量Ec，泊松比mc，密度rc，厚度h/2；夾心層彈性模量Ej，泊松比mj，密度rj，厚度H，夾層板等效密度ρ=(rch+rjH)/(H+h)。

圖1 夾層圓板模型

假定夾層圓板各層均為各向同性材料，處于小撓度狀態(tài)，徑向壓力與橫向撓曲無關(guān)。采用如圖1所示的坐標(biāo)系，夾層圓板平衡方程[8]為

其中Nr、Nq、Nrq為相應(yīng)方向的膜內(nèi)力；Qr、Qq、Mr、Mq、Mrq為相應(yīng)方向的剪力和力矩，w為板中面橫向位移，q為橫向荷載。

板內(nèi)任意一點的徑向、環(huán)向位移分別為

夾層板應(yīng)變與撓度w關(guān)系為

各層的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為

其中c表示約束層，j表示夾心層。

夾層板的彎矩和扭矩分別為

受壓夾層板的膜內(nèi)力求解屬于平面應(yīng)力問題，由文獻(xiàn)[9]可得

將(5)和(6)代入(1)，得徑向均布壓力作用下夾層圓板的橫向振動方程為

其中D為廣義彎曲剛度，?2為極坐標(biāo)下調(diào)和算子，表達(dá)式分別為

2 夾層圓板振動特性

2.1 夾層圓板固有振型

若方程(7)中q=0，即得徑向均布壓力作用下夾層圓板的自由振動方程。采用分離變量求解，令

將式(9)代入方程(7)，可得振型方程

式中

其中w為系統(tǒng)固有圓頻率。

令方程(10)的解為

把式(12)代入方程(10)得

式(13)均是貝塞爾方程[10]，其解為

其中Jm(ar)、Ym(ar)、Im(ar)、Km(ar)分別為實宗量的第一類及第二類貝塞爾函數(shù)、虛宗量的第一類及第二類貝塞爾函數(shù)。

對于完整的夾層圓板，在圓心處振型為有限值。若將坐標(biāo)軸置于振型對稱軸上，則式(12)簡化為

其中系數(shù)Am和Cm由夾層圓板的邊界條件確定。

2.2 周邊固支夾層圓板的固有頻率

周邊固支邊界條件為

將式(15)代入式(16)，可得齊次線性方程組

式中

由齊次線性方程組非零解條件，得頻率方程

通過求解頻率方程可得其n個正根φmn，然后將φmn代入式(11)，可求出徑向均布壓力作用下周邊固支夾層圓板的各階固有頻率

將φmn代入式(15)，可求出夾層圓板各階振型。

3 算例

3.1 理論解的有效性驗證

首先，為驗證本文方法的正確性，計算了徑向壓力為零時夾層圓板的各階固有頻率和振型。本算例中夾層圓板的幾何尺寸和材料參數(shù)數(shù)值如表1。

表2給出了各階固有頻率及其對應(yīng)固有振型的理論計算結(jié)果，并與有限元結(jié)果進(jìn)行了比較。表中m為節(jié)徑數(shù)，n為節(jié)圓數(shù)。從表2可見，理論解與有限元結(jié)果比較接近。后文在此基礎(chǔ)上主要討論徑向均布壓力和夾層厚度參數(shù)對夾層圓板的振動特性的影響。

3.2 徑向壓力對固有頻率的影響

圖2給出了周邊固支夾層圓板各階固有頻率與徑向均布壓力的變化關(guān)系。算例中幾何參數(shù)和材料參數(shù)如表1。固有頻率為零時對應(yīng)的徑向壓力即為夾層板失穩(wěn)的臨界載荷。從圖2可見，徑向壓力對夾層圓板各階頻率影響趨勢相同，均表現(xiàn)出隨徑向壓力增大，固有頻率減小；臨界載荷隨階次的增大而增大。

表1 夾層圓板的幾何尺寸和材料參數(shù)

表2 周邊固支夾層圓板固有頻率(P=0)

3.3 夾心層比率對固有頻率的影響

圖2 徑向壓力對固有頻率的影響

夾心層比率定義為夾心層厚度占夾層板總厚度的比值。圖3給出了半徑1.0 m、總厚度0.01 m固支夾層圓板在徑向均布壓力P=0和P=2 000 N/m時各階固有頻率隨夾心層比率的變化。算例中材料參數(shù)見表1。從圖3可見，作用徑向壓力時的夾層圓板各階頻率均表現(xiàn)出隨夾心層比率增大，先緩慢增大，到峰值后減小的趨勢。該趨勢與無徑向壓力時相同；在夾心層比率一定時，有徑向壓力作用時夾層圓板的固有頻率會比無徑向壓力時固有頻率小。

圖3 夾心層比率對固有頻率的影響

4 結(jié)語

根據(jù)小撓度薄板理論，建立了徑向均布壓力作用下夾層圓板的振動控制方程，采用分離變量法導(dǎo)出了夾層圓板的固有頻率及振型的理論解，討論了徑向均布載荷和夾心層厚度對固有頻率的影響，得到如下結(jié)論：

(1)夾層圓板的固有頻率隨徑向壓力增大而減??；臨界壓力隨階次的增大而增大；

(2)作用徑向壓力時的夾層圓板各階頻率隨夾心層比率的變化趨勢與無徑向壓力時相同，均表現(xiàn)出隨夾心層比率增大，先緩慢增大，到峰值后減小的趨勢。

本文研究結(jié)果既可用于研究不考慮徑向壓力時夾層圓板的振動特性，又可用于驗證其它數(shù)值解法的正確性。

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Analytical Solution of Free Vibration of Sandwich Circular Plate Subjected to Radial Compression

LIAO Ming-jian1,LI Ying-hui2

（1.Institute of System Engineering,CAEP,Mianyang 621999,Sichuan China; 2.School of Mechanics and Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China)

Based on the basic assumptions of elastic thin plates,the vibration control equation of a sandwich circular plate subjected to uniform radial compression is established.The analytical expressions of natural frequencies and vibration modes are derived by employing the method of separate variables.The natural frequencies and modes of a clamped sandwich circular plate are calculated.The influence of radial compression and core ratio on natural frequency is discussed.It is concluded that the natural frequency decreases with the radial compression increasing,the critical compressive force increases with the increase of orders,and the natural frequency of the plate increases at first and then decreases with the increase of core ratio.

vibration and wave;sandwich circular plate;natural frequency;uniform radial compression

1006-1355(2014)03-0011-04

O326

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.03.003

夾層板結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、強(qiáng)度高、剛度大等諸多優(yōu)點，在航空、航天等重要工業(yè)中應(yīng)用廣泛。飛行器結(jié)構(gòu)中應(yīng)用的夾層圓板通常既承受面力，又承受橫向載荷，因此研究面力作用下夾層圓板的彎曲振動問題在飛行器設(shè)計中有重要的實際意義。目前對夾層結(jié)構(gòu)的研究主要集中在振動特性、非線性振動和穩(wěn)定性等方面。徐中[1]采用假設(shè)模態(tài)法研究了夾層約束阻尼梁結(jié)構(gòu)的振動特性。李智等[2]采用理論模態(tài)分析技術(shù)研究了懸臂復(fù)合層板的動態(tài)特性。Vinson[3]運用經(jīng)典疊層板理論研究了復(fù)合材料夾層矩形板的振動特性問題；王盛春等[4]研究了四邊簡支條件下正交各向異性蜂窩夾層板的固有特性；杜國君[5]利用修正迭代法討論了夾層板參數(shù)對夾層圓板非線性振動的影響；杜國君等[6]采用假設(shè)模態(tài)法和變分法研究了均布載荷作用下夾層圓板大幅度振動時初撓度和夾層板剪切參數(shù)對其振動特性的影響；杜國君等[7]采用假設(shè)模態(tài)法和變分法研究了復(fù)合載荷下夾層圓板的非線性振動和屈曲問題。對于面內(nèi)徑向壓力作用下夾層圓板結(jié)構(gòu)的橫向振動特性的研究較少。

2013-06-12

國家自然科學(xué)基金（11072204）；中央高校業(yè)務(wù)費專項（SWJTU11ZT15）；中國工程物理研究院科學(xué)技術(shù)發(fā)展基金重點資助項目（2010A0203007）

廖明建（1976-），男，重慶市合川人，碩士，從事結(jié)構(gòu)振動與噪聲控制研究。

E-mail:liaomj@caep.ac.cn