李秀芳,孫 芳,焦永剛

（南開大學(xué)，天津 300000)

一、研究背景

2011年5月，《關(guān)于發(fā)展變額年金保險試點的通知》和《變額年金保險管理暫行辦法》頒布，同年6月-7月，兩家首批變額年金試點公司工銀安盛人壽（原金盛人壽）和中美聯(lián)泰大都會人壽分別推出“保得贏”和“步步穩(wěn)贏”的變額年金產(chǎn)品。2012年3月，華泰人壽推出“吉年保利”變額年金產(chǎn)品。2013年5月，中美聯(lián)泰大都會人壽公布的變額年金單位價格顯示，穩(wěn)贏利益投資賬戶賣出價較去年同期增長1.5-2個百分點（數(shù)據(jù)來源：21財經(jīng)聚合搜索）。工銀安盛人壽的和諧投資賬戶賣出價較去年同期增長約0.5個百分點。但是，變額年金同時是一款風(fēng)險較大的產(chǎn)品，在金融危機中易受到較大沖擊，其風(fēng)險成為首要考慮的問題。

關(guān)于具有最低收益保證變額年金的定價問題吸引了很多國內(nèi)外學(xué)者。早在1977年，Boyle和Schwartz等人將金融中的布萊克-斯科爾頓模型利用到了年金的定價問題。 Milevsky、Posner（2001）用風(fēng)險中性理論對最低身故利益保證（Guaranteed Minimum Death Benefit，GMDB）進行了定價。Mudavanhu、Zhou（2002）在 GMDB 定價模型中考慮了死亡率、失效率以及退保因素。國內(nèi)變額年金保險市場發(fā)展還處于初級階段，關(guān)于變額年金領(lǐng)域的研究和文獻較少。李冰清、廖樸（2012）研究了變額年金業(yè)務(wù)的風(fēng)險問題。劉迪（2011）研究了具有最低提取利益保證變額年金的定價，但是沒有考慮保單持有人在保險期限內(nèi)的生存和死亡概率，不符合實際。李方方（2012）在常利率和波動率下考慮了最低提取利益保證的重置條款、獎勵條款、懲罰條款加入了定價模型。

2003年，在美國市場上出現(xiàn)的一種新型的GMWB產(chǎn)品，即永久性有最低提取保證的變額年金（Guaranteed Lifelong Withdrawal Benefits，GLWB）。該產(chǎn)品保證保單持有人每年可以領(lǐng)取最低給付保證額度的年金直至死亡，每年取款額有限制，而總?cè)】铑~無限制。提供GLWB的變額年金保險產(chǎn)品除了風(fēng)險較高之外，可以有效地降低投保人的長壽風(fēng)險，一定程度上非常符合當(dāng)前消費者需求，如今已經(jīng)逐漸占領(lǐng)了美國變額年金保險市場，但是相關(guān)的定價研究較少。Gabriella Piscopo（2009）研究了在固定利率和固定波動率下GLWB的定價。本文在已有的研究基礎(chǔ)上，對永久性最低領(lǐng)取利益保證變額年金產(chǎn)品進行定價研究，改進Gabriella Piscopo（2009）定價模型中常利率和常數(shù)波動率的弊端，運用Regime-Switching模型進行數(shù)值模擬，考慮經(jīng)濟狀態(tài)轉(zhuǎn)變對保證費用的影響，得出更公平、更符合實際的定價，為國內(nèi)保險公司設(shè)計開發(fā)此類產(chǎn)品提供一些建議和理論指導(dǎo)。

二、變額年金的定價

假設(shè)年齡為的人初始時刻以躉繳一筆保費購買變額年金產(chǎn)品，保單持有人每年可以領(lǐng)取最低提取保證額度的年金。

1、資產(chǎn)模型與假設(shè)

假設(shè)市場是無套利市場，持續(xù)交易，忽略交易費用,允許賣空，無稅收。在風(fēng)險中性概率空間中（W，F(xiàn)t｛｝，Q），Q為風(fēng)險中性測度。記St表示t時刻保單持有人變額年金賬戶中未提取任何費用前的資產(chǎn)價值，在風(fēng)險中性測度Q下滿足如下隨機微分方程：

變額年金賬戶提供兩種支出：保險公司最低給付保證的費用（為賬戶余額的一定比例，記為a）和保單持有人在時刻的提取款gt。因此考慮上述兩種支出后，投保人變額年金賬戶可描述為：

Wt表示t時刻變額年金賬戶余額。（1）式在t＜t0時成立，其中t0表示W(wǎng)t第一次達到0時的時刻。若t＜t0，則Wt=0。在有最低給付保證的變額年金產(chǎn)品中，若t＞t0，即Wt=0時，投保人每年可以獲得最低給付保證 G。提取款 gt在 t＜t0時，原則上可以?。?，Wt］的任意值，但是若時gt＞G，保險公司收取額外的保險費用，目的是不鼓勵投保人過早提取完年金。

我們進一步假設(shè)死亡事件與金融事件為不相關(guān)事件。Tx令表示年齡為x歲的人的剩余壽命，tPx表示x歲的人在t年后仍然生存的概率，即tPx=P（Tx＞t），t=0,1,L,n-x。 進一步，我們用tPx表示x歲的人在接下來t年內(nèi)死亡的概率，特別地對t=1，我們簡單地用qx表示x歲的人在一年內(nèi)死亡的概率，即qx=P（Tx＜t）。因此，對于x歲的人在t年后的一年內(nèi)死亡的概率表示為tpxqx+t，即tpxqx+t=P（t＜Tx＜t+1）。

2、GLWB公平保證費用定價

上述的投資動態(tài)模型與Chen和Forsyth（2008）、Gerber和 Shiu （2003）等人的定價模型一致。追隨前面的保險文獻，我們假設(shè)存在一風(fēng)險中性測度，在此風(fēng)險測度下支付流可以用風(fēng)險中性計算公式定價為期望貼現(xiàn)值，而這種風(fēng)險中性測度的存在意味著市場為無套利的。我們討論在靜態(tài)決策下GLWB的公平保證費用定價問題。假設(shè)投保人以最低保證額度領(lǐng)取年金，即gt=G。在靜態(tài)決策下（1）式表示為：

其中對于 t3t0，Wt=0

GLWB允許投保人在生存時每年領(lǐng)取最低給付保證的年金，死亡時將賬戶余額全部返還。因此保單持有人既享有生存利益又享有死亡價值。V0令表示GLWB在t=0時的貼現(xiàn)價值，則V0應(yīng)為保單持有人生存時的領(lǐng)取的總年金期望貼現(xiàn)值與其死亡時年金賬戶余額期望貼現(xiàn)值之和，即V0=LB0+DB0（其中LB0表示保單持有人生存時的領(lǐng)取的總年金貼現(xiàn)值，DB0表示保單持有人死亡時能夠遺留下的遺產(chǎn)貼現(xiàn)值）。

其中n為保單持有人可能活的最大年齡。下面計算DB0。因為永久性最低給付保證變額年金承諾在保單持有人死亡時若賬戶余額不為空，則賬戶余額全部返還。假設(shè)保單持有人在時間t=T時死亡，則保險公司返還給保單持有人指定的遺產(chǎn)繼承人的金額應(yīng)為 Max（WT，0），即：

DBT=Max（WT，0）

通過 Karatzas和 Shreve（1992），可推導(dǎo)出：

為了化簡上式，引入測度Qs，利用測度變換從Q 到 Qs，

Xt在新測度下的表達式為：

因此，我們考慮（4）和（5）中的關(guān)于死亡時間和WT兩種期望得到：

由（3）和（6），我們得到：

由公平原則，得：

由上述方程可得到公平保證費用a。

顯然，若保單持有人考慮動態(tài)策略，即不再以最低保證額度領(lǐng)取年金，則保險公司收取的費用應(yīng)大于上述的費用a。

三、運用Regime-Switching模型對GLWB定價的模擬分析

下面我們利用Regime-Switching模型模擬變額年金的定價，并進行相關(guān)敏感分析。

假設(shè)表示時刻的金融市場的虛擬狀態(tài)變量，且隨機過程是Markov過程，且是一個半鞅。和分別表示市場狀態(tài)為時的市場利率與波動率，且假設(shè)Xt表示t時刻的金融市場的虛擬狀態(tài)變量，且隨機過程｛X（t）:t≥ ｝0 是Markov過程，且是一個半鞅。rXt和σXt分別表示市場狀態(tài)為Xt時的市場利率與波動率，且

其中r1、r2和 σ1、σ2均為常數(shù)， 而且我們知道，在經(jīng)濟狀態(tài)較好時市場利率大波動率小，經(jīng)濟狀態(tài)差時正好相反，因此又有內(nèi)在關(guān)系：r1≥r2、σ1≤σ2。根據(jù)劉迪（2011），假設(shè)經(jīng)濟狀態(tài)轉(zhuǎn)變時間間隔Δ＝1/12，馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為：表示投保人的保證收益率。 根據(jù) Gabriella、Piscopo（2012），保證收益率取g=0.05（美國變額年金市場投保人的保證收益率）。假設(shè)初始經(jīng)濟狀態(tài)為X0=e1，則公平保證費用對利率和波動率的敏感性分析，如下表所示：

四、模擬分析

首先，假設(shè)保險公司設(shè)計的GLWB產(chǎn)品的銷售對象是60歲的男性，令g=G w0

表1 公平保證費用對利率和波動率的敏感性分析

其中0.064為2009年的保險公司行業(yè)收益率，0.0339為2012年的保險公司行業(yè)收益率,0.049為兩者的平均值。

由表1可以看出，當(dāng)不變，增加50%時，公平保證費用減少86%。當(dāng)不變，增加50%時，公平保證費用減少41%。因此，保證費隨著利率的增加而減少，其中對公平保證費用的影響幅度更大。因此，為了獲得充足保證費用、降低風(fēng)險，保險公司對未來經(jīng)濟狀態(tài)的變化需正確評估，采取合理的利率水平。同時，公平保證費用隨著波動率的增加而增加，其中的影響更為顯著。當(dāng)保單持有人選擇高風(fēng)險資產(chǎn)投資時，變額年金賬戶余額不足，風(fēng)險會增加，保險公司必須通過增加保費來保證最低利益的給付。

公平保證費用對Regime-switching模型的敏感性分析如表2所示：

表2 Regime-switching模型的敏感性分析

從組合B與組合A的對比中可以發(fā)現(xiàn)：若采用Regime-switching考慮經(jīng)濟狀態(tài)對利率的影響，考慮經(jīng)濟狀態(tài)有向好的狀態(tài)發(fā)展的可能，則公平保證費用由225降為93。采用Regime-switching考慮經(jīng)濟狀態(tài)對利率和波動率的影響，則組合A與組合C的比較發(fā)現(xiàn)，不考慮經(jīng)濟狀態(tài)向發(fā)展的可能，公平保證費用提高1.52倍。因此，考慮經(jīng)濟狀態(tài)的轉(zhuǎn)變對公平保證費用的影響，則保單持有人可享受經(jīng)濟狀態(tài)好轉(zhuǎn)帶來的收益，繳納的保證費用更加公平。由上表，可以看出經(jīng)濟狀態(tài)轉(zhuǎn)變對公平保證費用有較大影響。因此，保險公司在對GLWB產(chǎn)品進行定價時，要考慮經(jīng)濟變化帶來的風(fēng)險，正確評估所處的經(jīng)濟狀態(tài)以及未來經(jīng)濟發(fā)展的趨勢，得到更為公平的保證費用。

表3 不同取款率下對投保人初始年齡的敏感性分析

上表顯示，若投保人初始領(lǐng)取年金年齡較低，則為了避免繳納過高的保證費用，最低保證取款率不應(yīng)過高。死亡率隨著年齡的變化有著顯著的變化，由于GLWB產(chǎn)品的領(lǐng)取時期較長，GLWB產(chǎn)品的公平保證費用對投保人初始領(lǐng)取年金年齡很敏感。表3顯示，在取款率相等的情況下，保證費用隨著投保人初始領(lǐng)取年金年齡的增加而減少。因此，為了降低費用，建議投保人推遲初始領(lǐng)取年金的年齡。若65歲以后開始領(lǐng)取年金，由于費用低廉，可以適當(dāng)選擇提高取款率，從而獲得好的生活品質(zhì)。因此，可建議保單持有人在6歲以后開始領(lǐng)取年金。

綜上，年齡和死亡率對GLWB產(chǎn)品的公平保證費用影響嚴重。長壽風(fēng)險對GLWB產(chǎn)品產(chǎn)生較大影響，保險公司在設(shè)計產(chǎn)品時避免死亡率預(yù)測失誤，及時更新生命表，嚴格限制投保人初始領(lǐng)取年金的年齡，必要時需尋找合適的再保險來轉(zhuǎn)移風(fēng)險。

五、結(jié)論

隨著人均壽命的增加和通貨膨脹的加劇，長壽風(fēng)險帶來的影響越來越受到人們的關(guān)注，對于消費者來說，購買永久性年金可以有效地降低長壽風(fēng)險。GLWB產(chǎn)品既可以轉(zhuǎn)移長壽風(fēng)險，還可以享受投資帶來的收益，滿足消費者的需求。本文對該類產(chǎn)品進行定價研究，改進了Gabriella Piscopo（2009）的定價模型，在模型中考慮經(jīng)濟狀態(tài)的轉(zhuǎn)變對公平保證費用的影響。對結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)，利率和波動率等市場相關(guān)量的變動對GLWB產(chǎn)品的保證費用影響很大，因此，為了獲得充足保證費用，保險公司要謹慎的對利率和波動率進行假設(shè)，采取合理的利率和波動率。對Regime-switching模型的敏感性分析得出，經(jīng)濟狀態(tài)的變化給GLWB產(chǎn)品的保證費用有影響。保險公司為了降低經(jīng)濟狀態(tài)轉(zhuǎn)變帶來的風(fēng)險，在定價時需考慮經(jīng)濟狀態(tài)變化，從而獲得更為充足，公平的費用。同時，取款率和投保人領(lǐng)取年金的初始年齡對公平保證費用也有重大影響，尤其是年齡和死亡率對GLWB產(chǎn)品的公平保證費用影響嚴重。

綜上，保險公司在設(shè)計GLWB產(chǎn)品時，尤其要考慮市場風(fēng)險、長壽風(fēng)險對保證費用的影響，采取合理的風(fēng)險對沖方法，有效降低風(fēng)險。

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